广东省东莞市虎门外语学校2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷 Wor...

广东省东莞市虎门外语学校2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=（）

    A．    {﹣1，0，1，2，3}    B．    {﹣1，2}    C．    {0，1，3}    D．    {x|﹣1≤x≤2}

2．（5分）下列函数中，在区间（1，+∞）上是增函数的是（）

    A．    y=﹣x+1    B．    y=﹣    C．    y=x2﹣4x+3    D．    y=

3．（5分）设A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（）

    A．        B．        C．        D．    

4．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）

    A．    1    B．    0    C．    ﹣1    D．    1或﹣1

5．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，且最小值是2014，那么函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）

    A．    增函数且最小值为﹣2014    B．    增函数且最大值为﹣2014

    C．    减函数且最小值为﹣2014    D．    减函数且最大值为﹣2014

6．（5分）下列函数中，值域为（﹣∞，0）的是（）

    A．    y=﹣x2    B．        C．        D．    

7．（5分）某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km），以后每1km价为1.8元 （不足1km按1km计价），则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为下列图中的（）

    A．        B．        C．        D．    

8．（5分）若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式为（）

    A．    g（x）=2x+1    B．    g（x）=2x﹣1    C．    g（x）=2x﹣3    D．    g（x）=2x+7

9．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）

    A．    ﹣2    B．    2    C．    ﹣98    D．    98

10．（5分）若函数f（x）=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（）

    A．    （0，4]    B．        C．        D．    

二.填空题（每小题5分，共30分）

11．（5分）已知函数f （x）=，则f （4）=．

12．（5分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．

13．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的递减区间是．

14．（5分）函数y=的定义域是．

15．（5分）函数f（x），g（x）分别由下表给出

x    1    2    3        x    1    2    3

f（x）    1    3    1        g（x）    3    2    1

则f（g（1））的值为．

16．（5分）已知函数h（x）=f（x）+x﹣1是奇函数且f（2）=3，若g（x）=f（x）﹣1，则g（﹣2）=．

三.解答题.

17．（10分）已知集合A={x|﹣4≤x＜8}，函数y=的定义域构成集合B，求：

（Ⅰ）A∩B；   

（Ⅱ）（∁RA）∪B．

18．（10分）已知集合P={x|x2﹣2x﹣3=0}，S={x|ax+2=0}，若S⊆P，求实数a的值．

19．（10分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=﹣．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求证：f（）=f（x）；

（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

20．（10分）设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4）且过点A（2，2）的抛物线的一部分．

（1）求函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上的解析式；

（2）在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；

（3）写出函数f（x）的值域和单调区间．

21．（12分）已知0≤x≤1，f（x）=，f（x）的最小值为m．

（1）用a表示m；

（2）求m的最大值及此时a的值．

22．（13分）若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．

（1）已知是[0，+∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；

（2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

广东省东莞市虎门外语学校2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=（）

    A．    {﹣1，0，1，2，3}    B．    {﹣1，2}    C．    {0，1，3}    D．    {x|﹣1≤x≤2}

考点：    交集及其运算． 

专题：    集合．

分析：    由A与B，求出两集合的交集即可．

解答：    解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={﹣1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，2}．

故选：B．

点评：    此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）下列函数中，在区间（1，+∞）上是增函数的是（）

    A．    y=﹣x+1    B．    y=﹣    C．    y=x2﹣4x+3    D．    y=

考点：    函数单调性的判断与证明． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    利用函数的导数逐个判断可以得到答案．

解答：    解：y=﹣x+1的导数y′=﹣1＜0，在区间（1，+∞）上是减函数，故A不正确；

y=﹣的 导数y′=＞0，在区间（1，+∞）上是增函数，故B正确；

y=x2﹣4x+3导数y′=2x﹣4，当1＜x＜2时，y′＜0，故y=x2﹣4x+3在区间（1，+∞）上不是增函数，故C不正确；

y=的 导数y′=﹣《0，在区间（1，+∞）上是减函数，故D不正确；

故选B．

点评：    本题考查基本初等函数的单调性，重点考查函数的图象与性质，解决的方法是导数法，也可以用函数的图象判断．

3．（5分）设A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    函数的图象． 

专题：    数形结合．

分析：    仔细观察图形，正确选取中x的取值范围必须是[0，2]，y的取值范围必须是[1，2]，由此进行选取．

解答：    解：A 和B中y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故A和B都不成立；

C中x的取值范围不是[0，2]，y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故C不成立；

D中，0≤x≤2，1≤y≤2，符合题意，

故选D．

点评：    本题考查函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细求解．

4．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）

    A．    1    B．    0    C．    ﹣1    D．    1或﹣1

考点：    交集及其运算． 

专题：    计算题．

分析：    由M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，知，由此能求出a的值．

解答：    解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，

∴，解得a=﹣1．

故选C．

点评：    本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

5．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，且最小值是2014，那么函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）

    A．    增函数且最小值为﹣2014    B．    增函数且最大值为﹣2014

    C．    减函数且最小值为﹣2014    D．    减函数且最大值为﹣2014

考点：    奇偶性与单调性的综合． 

专题：    计算题；函数的性质及应用．

分析：    由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．

解答：    解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，

所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，

且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=2014，

则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣2014，

故选B．

点评：    本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．

6．（5分）下列函数中，值域为（﹣∞，0）的是（）

    A．    y=﹣x2    B．        C．        D．    

考点：    函数的值域． 

专题：    计算题；函数的性质及应用．

分析：    根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，可得本题答案．

解答：    解：对于A，因为函数y=﹣x2的最大值为0，所以y=﹣x2的值域为（﹣∞，0]，故A不正确；

对于B，因为函数y=3x﹣1是单调增函数，所以当时，y＜3×﹣1=0，

故函数y=3x﹣1，当时的值域为（﹣∞，0），故B正确；

对于C，因为函数中y≠0，故函数的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），得C不正确；

对于D，因为函数的最大值为0，所以的值域为（﹣∞，0]，故D不正确．

故选：B

点评：    本题给出几个函数，求值域为（﹣∞，0）的函数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于基础题．

7．（5分）某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km），以后每1km价为1.8元 （不足1km按1km计价），则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x（km）之间的函数图象大致为下列图中的（）

    A．        B．        C．        D．    

考点：    函数的图象． 

专题：    计算题；函数的性质及应用．

分析：    根据题意可知函数图象为分段的常数函数，观察图象即可直接判定．

解答：    解：∵出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是3km），

∴（0，3]对应的值都是5，

∵以后每1km价为1.8元，

∵不足1km按1km计价，

∴3＜x≤4时，y=5+1.8=6.8，4＜x≤5时，y=5+1.8+1.8=8.6，

故选：B

点评：    本题考查函数图象，由实际问题抽象出函数图象、理解实际问题的变化与函数图象变化的对应是解题的关键，本题采取了将实际问题的函数模型求出，再寻求函数图象的方法，理解本题中计费的方式是解题的难点

8．（5分）若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式为（）

    A．    g（x）=2x+1    B．    g（x）=2x﹣1    C．    g（x）=2x﹣3    D．    g（x）=2x+7

考点：    函数解析式的求解及常用方法． 

专题：    计算题．

分析：    由g（x+2）=f（x），把f（x）的表达式表示为含有x+2的基本形式即可．

解答：    解：∵f（x）=2x+3，

∴g（x+2）=f（x）=2x+3=2（x+2）﹣1，

即g（x）=2x﹣1

故选：B．

点评：    本题考查了求简单的函数解析式的问题，是基础题．

9．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（）

    A．    ﹣2    B．    2    C．    ﹣98    D．    98

考点：    函数的周期性；奇函数；函数奇偶性的性质． 

分析：    利用函数周期是4且为奇函数易于解决．

解答：    解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4

所以f（7）=f（3）=f（﹣1），

又f（x）在R上是奇函数，

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，

故选A．

点评：    本题考查函数的奇偶性与周期性．

10．（5分）若函数f（x）=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是（）

    A．    （0，4]    B．        C．        D．    

考点：    二次函数的性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    根据二次函数单调性、最值结合图象判断m的取值范围．

解答：    解：f（x）=x2﹣3x﹣4图象开口向上，对称轴为，

，f（0）=﹣4，f（3）=﹣4，

又因为所给值域中包括最小值，

所以m的取值范围是，

故选B．

点评：    本题考察二次函数的单调性、最值，用数形结合思想来解决该问题．

二.填空题（每小题5分，共30分）

11．（5分）已知函数f （x）=，则f （4）=0．

考点：    函数的值． 

专题：    计算题．

分析：    根据已知函数解析式，先求f（4），然后根据f（4）的所在范围进一步求解即可

解答：    解：由题意可知，f（4）=f（2）=f（0）=0

故答案为：0

点评：    本题 主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是明确函数的解析式，属于基础试题

12．（5分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．

考点：    交集及其运算． 

专题：    计算题．

分析：    因为A∩B={3}，所以3∈{a+2，a2+4}即a+2=3或a2+4=3，解出a即可．

解答：    解：因为A∩B={3}，

根据交集的运算推理得：3是集合A和集合B的公共元素，

而集合A中有3，所以得到a+2=3或a2+4=3（无解，舍去），

解得a=1．

故答案为1

点评：    考查学生灵活运用集合的运算推理解决问题的能力．

13．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+2是偶函数，则f（x）的递减区间是（﹣∞，0]．

考点：    函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．

解答：    解：因为f（x）为偶函数，所以f（﹣x）=f（x）．

即kx2﹣（k﹣1）x+2=kx2+（k﹣1）x+2，

所以2（k﹣1）x=0，所以k=1．

则f（x）=x2+2，其递减区间为（﹣∞，0]．

故答案为：（﹣∞，0]．

点评：    本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题．

14．（5分）函数y=的定义域是（﹣∞，﹣2]．

考点：    函数的定义域及其求法． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．

解答：    解：要使函数f（x）有意义，则，

即2﹣x≥4，

解得﹣x≥2，

解得x≤﹣2，

即函数定义域为（﹣∞，﹣2]；

故答案为：（﹣∞，﹣2]；

点评：    本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．

15．（5分）函数f（x），g（x）分别由下表给出

x    1    2    3        x    1    2    3

f（x）    1    3    1        g（x）    3    2    1

则f（g（1））的值为1．

考点：    函数的值． 

专题：    计算题；函数的性质及应用．

分析：    观察表格，得到g（1）=3，f（3）=1，由此能够求出f（g（1））．

解答：    解：∵函数f（x），g（x）分别由下表给出

x    1    2    3        x    1    2    3

f（x）    1    3    1        g（x）    3    2    1

∴g（1）=3，f（3）=1，

∴f（g（1））=f（3）=1．

故答案为：1．

点评：    本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

16．（5分）已知函数h（x）=f（x）+x﹣1是奇函数且f（2）=3，若g（x）=f（x）﹣1，则g（﹣2）=﹣1．

考点：    函数奇偶性的性质． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    利用奇函数的性质即可得出．

解答：    解：∵函数h（x）=f（x）+x﹣1是奇函数，

∴f（2）+2﹣1+f（﹣2）﹣3﹣1=0，

化为f（2）+f（﹣2）=3．

∵f（2）=3，∴f（﹣2）=0．

∵g（x）=f（x）﹣1，

∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣1=﹣1．

故答案为：﹣1．

点评：    本题考查了奇函数的性质，属于基础题．

三.解答题.

17．（10分）已知集合A={x|﹣4≤x＜8}，函数y=的定义域构成集合B，求：

（Ⅰ）A∩B；   

（Ⅱ）（∁RA）∪B．

考点：    交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法． 

专题：    计算题．

分析：    （Ⅰ）求出函数y=的定义域确定出B，求出A与B的交集即可； 

（Ⅱ）由全集R，以及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．

解答：    解：函数y=中x﹣5≥0，即x≥5，

∴B={x|x≥5}，

由A={x|﹣4≤x＜8}，得到：

（Ⅰ）A∩B={x|5≤x＜8}；

（Ⅱ）∁RA={x|x＜﹣4或x≥8}，

∴（∁RA）∪B={x|x＜﹣4或x≥5}．

点评：    此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

18．（10分）已知集合P={x|x2﹣2x﹣3=0}，S={x|ax+2=0}，若S⊆P，求实数a的值．

考点：    集合的包含关系判断及应用． 

专题：    集合．

分析：    先解出集合A，根据S⊆P，S是P的子集，﹣1∈S或3∈S．

解答：    解：P={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}…（2分）

当a=0时，S=∅，满足S⊆P…（4分）

当a≠0时，S={x|ax+2=0}={﹣}

由S⊆P得，﹣=﹣1，或﹣=3…（6分）

所以a=2，或a=﹣…（8分）

综上，a=0，或a=2，或a=﹣…（10分）

点评：    本题主要考查集合间的关系，属于基础题．

19．（10分）已知函数f（x）=是奇函数，且f（2）=﹣．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求证：f（）=f（x）；

（3）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

考点：    函数与方程的综合运用；奇偶性与单调性的综合． 

专题：    计算题；证明题．

分析：    （1）利用函数f（x）=是奇函数，可得q=0，即，根据f（2）=﹣，可得p=2，从而可求函数f（x）的解析式；

（2）根据，可得，从而有f（）=f（x）；

（3）增函数．设x1＜x2，x1，x2∈（0，1），再作差，变形，从而定号下结论．

解答：    解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴

∴q=0，∴

∵f（2）=﹣，∴p=2

∴

（2）证明：∵

∴

∴f（）=f（x）；

（3）增函数

设x1＜x2，x1，x2∈（0，1）

=﹣

∵x1＜x2，x1，x2∈（0，1）

∴f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函数f（x）在（0，1）上单调增

点评：    本题以函数的性质为载体，考查函数的解析式，考查函数单调性的判断与证明，注意掌握步骤：取值、作差、定号，下结论．

20．（10分）设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4）且过点A（2，2）的抛物线的一部分．

（1）求函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上的解析式；

（2）在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；

（3）写出函数f（x）的值域和单调区间．

考点：    函数奇偶性的性质；函数的图象． 

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （1）当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4），用点斜式可求得其解析式；然后根据f（x）是偶函数，求出f（x）在（﹣∞，﹣2）上的解析式即可；

（2）首先根据一次函数及二次函数的图象画出函数f（x）右侧的图象，再根据偶函数图象的对称性，画出函数f（x）的整个图象即可；

（3）由（2）中函数图象可知，函数的最大最大值为4，进而求出函数的值域和单调区间即可．

解答：    解：（1）当x＞2时，设f（x）=a（x﹣3）2+4．

∵f（x）的图象过点A（2，2），

∴f（2）=a（2﹣3）2+4=2，∴a=﹣2，

∴f（x）=﹣2（x﹣3）2+4；

设x∈（﹣∞，﹣2），则﹣x＞2，

∴f（﹣x）=﹣2（﹣x﹣3）2+4．

又因为f（x）在R上为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），

∴f（x）=﹣2（﹣x﹣3）2+4，

即f（x）=﹣2（x+3）2+4，x∈（﹣∞，﹣2）．

（2）图象如下图所示：

（3）由图象观察知f（x）的值域为{y|y≤4}，

单调增区间为（﹣∞，﹣3]和[0，3]，

单调减区间为[﹣3，0]和[3，+∞）．

点评：    本题主要考查了函数奇偶性质的运用，考查了分段函数及其函数的图象，属于中档题．

21．（12分）已知0≤x≤1，f（x）=，f（x）的最小值为m．

（1）用a表示m；

（2）求m的最大值及此时a的值．

考点：    二次函数的性质． 

专题：    函数的性质及应用；导数的概念及应用．

分析：    （1）通过对a分类讨论，利用导数即可求出；

（2）由表达式利用导数即可求出其最大值．

解答：    解：（1）∵，

①当a＞2时，，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在x=1处取得最小值f（1）=1﹣a+=．

②当0＜a＜2时，，令f′（x）=0，解得x=，列表如下：

由表格可知：f（x）在x=处取得极小值，也是最小值．

③当a=2时，在x∈[0，1]上，f′（x）=2（x﹣1）≤0，∴函数f（x）单调递减，在x=1处取得最小值0．

综上可知：m=．

（2）①当0＜a≤2时，m′（a）==，当0＜a＜1时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增；当1＜a≤2时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减．

可知当a=1时，m（a）取得极大值，也是最大值；

②当a＞2时，m（a）=在（2，+∞）上单调递减，m（a）＜m（2）=0．

综上可知：只有当a=1时，m（a）取得最大值．

点评：    熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．

22．（13分）若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．

（1）已知是[0， +∞）上的正函数，求f（x）的等域区间；

（2）试探究是否存在实数m，使得函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：    函数的值域． 

专题：    新定义．

分析：    （1）因为是[0，+∞）上的正函数，然后根据正函数的定义建立方程组，解之可求出f（x）的等域区间；

（2）根据函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+m+1=0在区间内有实数解进行求解．

解答：    解：（1）因为是[0，+∞）上的正函数，

且在[0，+∞）上单调递增，

所以当x∈[a，b]时，

即

解得a=0，b=1，

故函数f（x）的“等域区间”为[0，1]；

（2）因为函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数，

所以当x∈[a，b]时，

即

两式相减得a2﹣b2=b﹣a，

即b=﹣（a+1），

代入a2+m=b得a2+a+m+1=0，

由a＜b＜0，

且b=﹣（a+1）

得，

故关于a的方程a2+a+m+1=0在区间内有实数解，

记h（a）=a2+a+m+1，

则

解得．

点评：    本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．