2022广西柳州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分．）

1．（3分）（2022•柳州）2022的相反数是（　　）

A．﹣2022    B．2022    C．    D．

2．（3分）（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）

A．50°    B．60°    C．70°    D．110°

3．（3分）（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）

A．①    B．②    C．③    D．④

4．（3分）（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（　　）

A．180°    B．270°    C．360°    D．540°

5．（3分）（2022•柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．（3分）（2022•柳州）为了驰援上海人民抗击新冠肺炎疫情，柳州多家爱心企业仅用半天时间共筹集到了包柳州螺蛳粉，通过专列统一运往上海，用科学记数法将数据表示为（　　）

A．0.22×106    B．2.2×106    C．22×104    D．2.2×105

7．（3分）（2022•柳州）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．（3分）（2022•柳州）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）

A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况    

B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间    

C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试    

D．为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查

9．（3分）（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（　　）

A．a（a+2）    B．a（a﹣2）    C．（a+2）2    D．（a+2）（a﹣2）

10．（3分）（2022•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．16π    B．24π    C．48π    D．96π

11．（3分）（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（　　）

A．（1，1）    B．（1，2）    C．（2，1）    D．（2，2）

12．（3分）（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　）

A．1    B．2    C．4    D．6

二、填空题（本大题典6小题，每小题3分，满分18分．请将答案直接写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）

13．（3分）（2022•柳州）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 　   　．

14．（3分）（2022•柳州）为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为：8，8，8，8.5，7.5，9．则这组数据的众数为 　   　．

15．（3分）（2022•柳州）计算：　   　．

16．（3分）（2022•柳州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 　   　°．

17．（3分）（2022•柳州）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 　   　m．

18．（3分）（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 　   　．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过程．请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑．在草稿纸、试卷上答题无效．）

19．（6分）（2022•柳州）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．

20．（6分）（2022•柳州）解方程组：．

21．（8分）（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．

你选取的条件为（填写序号） 　   　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　   　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；

（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．

22．（8分）（2022•柳州）他在主持召开农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实他的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．

（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

23．（8分）（2022•柳州）在他视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 　   　；

（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）

24．（10分）（2022•柳州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．

25．（10分）（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求sin∠FHG的值；

（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．

26．（10分）（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

（1）求b，c，m的值；

（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

2022年广西柳州市中考数学试卷

答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分．）

1．（3分）（2022•柳州）2022的相反数是（　　）

A．﹣2022    B．2022    C．    D．

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

解：2022的相反数是﹣2022．

故选：A．

【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．

2．（3分）（2022•柳州）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）

A．50°    B．60°    C．70°    D．110°

【分析】由两直线平行，同位角相等可知∠2＝∠1．

解：∵a∥b，

∴∠2＝∠1＝70°．

故选：C．

【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的计算．

3．（3分）（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）

A．①    B．②    C．③    D．④

【分析】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案．

解：根据题意可得，

从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．

故选：B．

【点评】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．

4．（3分）（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（　　）

A．180°    B．270°    C．360°    D．540°

【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．

解：四边形ABCD的内角和为360°．

故选：C．

【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．

5．（3分）（2022•柳州）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据“面动成体”进行判断即可．

解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到圆柱体，

故选：B．

【点评】本题考查认识立体图形，理解“面动成体”是正确判断的前提．

6．（3分）（2022•柳州）为了驰援上海人民抗击新冠肺炎疫情，柳州多家爱心企业仅用半天时间共筹集到了包柳州螺蛳粉，通过专列统一运往上海，用科学记数法将数据表示为（　　）

A．0.22×106    B．2.2×106    C．22×104    D．2.2×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．

解：＝2.2×105．

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7．（3分）（2022•柳州）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．

解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线（穿过圆中心竖直的直线或水平的直线），图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．

故选：D．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

8．（3分）（2022•柳州）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（　　）

A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况    

B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间    

C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试    

D．为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查

【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．

解：A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题意；

B、了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意；

C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意；

D、为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故D不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．

9．（3分）（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（　　）

A．a（a+2）    B．a（a﹣2）    C．（a+2）2    D．（a+2）（a﹣2）

【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．

解：a2+2a＝a（a+2）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

10．（3分）（2022•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　　）

A．16π    B．24π    C．48π    D．96π

【分析】先求出弧AA′的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．

解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，

所以扇形的面积为8π×12＝48π，

即圆锥的侧面积为48π，

故选：C．

【点评】本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．

11．（3分）（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（　　）

A．（1，1）    B．（1，2）    C．（2，1）    D．（2，2）

【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），建立适当的平面直角坐标系，即可解答．

解：建立如图所示的平面直角坐标系：

∴教学楼的坐标是（2，2），

故选：D．

【点评】本题考查了点的坐标，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．

12．（3分）（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（　　）

A．1    B．2    C．4    D．6

【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．

解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，

∴点P在直线y＝2上，如图所示，

当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，

当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，

∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，

y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，

∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．

则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．

故选：B．

【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y＝2有助于判断P的位置．

二、填空题（本大题典6小题，每小题3分，满分18分．请将答案直接写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）

13．（3分）（2022•柳州）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 　﹣2m　．

【分析】根据正负数的意义求解．

解：由题意，水位上升为正，下降为负，

∴水位下降2m记作﹣2m．

故﹣2m．

【点评】本题考查正负数的意义，理解为正的量是求解本题的关键．

14．（3分）（2022•柳州）为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到6个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为：8，8，8，8.5，7.5，9．则这组数据的众数为 　8　．

【分析】根据众数的定义求解即可．

解：这组数据中8出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数是8，

故8．

【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

15．（3分）（2022•柳州）计算：　　．

【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．

解：；

故．

【点评】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键，是一道基础题．

16．（3分）（2022•柳州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是 　30　°．

【分析】根据圆周角定理得出∠ACB∠AOB，再求出答案即可．

解：∵∠AOB＝60°，

∴∠ACB∠AOB＝30°，

故30．

【点评】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，注意：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

17．（3分）（2022•柳州）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 　50　m．

【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．

解：∵sinα，堤坝高BC＝30m，

∴sinα，

解得：AB＝50．

故50．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．

18．（3分）（2022•柳州）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 　22　．

【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．

解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，

作MH⊥CD于H，

∵∠EDF＝∠GDM，

∴∠EDG＝∠FDM，

∵DE＝DF，DG＝DM，

∴△EDG≌△DFM（SAS），

∴MF＝EG＝2，

∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，

∴△DGC≌△DMH（AAS），

∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，

∴CM2，

∵CF≥CM﹣MF，

∴CF的最小值为22，

故22．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过程．请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑．在草稿纸、试卷上答题无效．）

19．（6分）（2022•柳州）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．

【分析】直接利用有理数的乘法运算法则以及绝对值的性质化简，再利用有理数的加减运算法则得出答案．

解：原式＝﹣3+4+4

＝5．

【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

20．（6分）（2022•柳州）解方程组：．

【分析】先消元，再求解．

解：①+②得：3x＝9，

∴x＝3，

将x＝3代入②得：6+y＝7，

∴y＝1．

∴原方程组的解为：．

【点评】本题考查解二元一次方程组，正确消元是求解本题的关键．

21．（8分）（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．

你选取的条件为（填写序号） 　①　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　SSS　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；

（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．

【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；

（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．

（1）解：在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，

选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．

故①，SSS；（答案不唯一）．

（2）证明：∵△ABC≌△DEF．

∴∠A＝∠EDF，

∴AB∥DE．

【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．

22．（8分）（2022•柳州）他在主持召开农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实他的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．

（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

【分析】（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买1件乙种农机具所需费用，再将其代入（x+1）中即可求出购买1件甲种农机具所需费用；

（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过46万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

解：（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，

依题意得：，

解得：x＝2，

经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，

∴x+1＝2+1＝3．

答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．

（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，

依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，

解得：m≤6．

答：甲种农机具最多能购买6件．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

23．（8分）（2022•柳州）在他视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 　　；

（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，再由概率公式求解即可．

解：（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为，

故；

（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，

∴这两个班抽到不同卡片的概率为．

【点评】本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

24．（10分）（2022•柳州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．

【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k2值，从而得到反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；

（2）利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．

解：（1）∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A（3，4），B（﹣4，m）．

∴4，

解得k2＝12，

∴反比例函数解析式为y，

∴m，

解得m＝﹣3，

∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），

∴，

解得，

∴一次函数解析式为y＝x+1；

（2）∵A（3，4），

∴OA5，

∴OA＝OD，

∴OD＝5，

∴△AOD的面积10．

【点评】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．

25．（10分）（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求sin∠FHG的值；

（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．

【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；

（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；

（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．

（1）证明：连接OF．

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA，

∵，

∴∠CAF＝∠FAB，

∴∠CAF＝∠AFO，

∴OF∥AC，

∵AC⊥CD，

∴OF⊥CD，

∵OF是半径，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，

∴∠AFB＝90°，

∵OF⊥CD，

∴∠OFB＝∠AFB＝90°，

∴∠AFO＝∠DFB，

∵∠OAF＝∠OFA，

∴∠DFB＝∠OAF，

∵GD平分∠ADF，

∴∠ADG＝∠FDG，

∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，

∴∠FGH＝∠FHG＝45°，

∴sin∠FHG；

（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．

∵HD平分∠ADF，

∴HM＝HN，

∵，

∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，

∴FH＝FG＝4，

∴2，

设DB＝k，DF＝2k，

∵∠FDB＝∠ABF，∠DFB＝∠DAF，

∴△DFB∽△DAF，

∴DF2＝DB•DA，

∴AD＝4k，

∵GD平分∠ADF，

∴，

∴AG＝8，

∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，

∴AB6，

∴⊙O的直径为6．

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

26．（10分）（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

（1）求b，c，m的值；

（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；

（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值；

（2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解；

（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为yx，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解．

解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，

得，

解得．

∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，

令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴B（5，0），

∴m＝5；

（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，

∴对称轴为x＝2，

设D（x，﹣x2+4x+5），

∵DE∥x轴，

∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），

∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，

∴四边形DEFG是矩形，

∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，

∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，

∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；

（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，

由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，

∵B（5，0），C（0，5）．

∴OB＝OC，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵CH⊥对称轴于H，

∴CH∥x轴，

∴∠BCH＝45°，

∴∠BCH＝∠OCB，

∴∠NCK＝∠MCH，

∴△MCH≌△NCK（AAS），

∴NK＝MH，CK＝CH，

∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，

∴对称轴为x＝2，M（2，9），

∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，

∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，

∴N（﹣4，3），

设直线BN的解析式为y＝mx+n，

∴，解得，

∴直线BN的解析式为yx，

∴Q（0，），

设P（2，p），

∴PQ2＝22+（p）2＝p2p，

BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，

BQ2＝52+（）2＝25，

分两种情况：

①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，

∴9+p2＝p2p25，解得p，

∴点P的坐标为（2，）；

②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，

∴p2p9+p2+25，解得p＝﹣9，

∴点P′的坐标为（2，﹣9）．

综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．

【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用．