高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)

例1  （1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．

解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．

评析  函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．

（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．

分析  要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．

解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．

评析  这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．

例2  判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝ - 

（2）f（x）＝（x-1） ．

解：（1）f（x）的定义域为R．因为

f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜

      ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．

所以f（x）为奇函数．

（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

评析  用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：

（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．

（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．

例3  已知函数f（x）＝ ．

（1）判断f（x）的奇偶性．

（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．

解：因为f（x）的定义域为R，又

f（-x）＝ ＝ ＝f（x），

所以f（x）为偶函数．

（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．

其证明：取x1＜x2＜0，

f（x1）-f（x2）＝ - ＝ ＝ ．

因为x1＜x2＜0，所以

x2-x1＞0，x1+x2＜0，

x21+1＞0，x22+1＞0，

得  f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．

评析  奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．

例4  已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝ 在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．

分析  根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝ - ＝ 的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．

解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．

∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，

∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．                 ①

又∵f（x）是奇函数，

∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）      ②

由①、②得  f（x2）＞f（x1）＞0．于是

F（x1）-F（x2）＝ ＞0，即F（x1）＞F（x2），

所以F（x）＝ 在（-∞，0）上是减函数．

评析  本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．

避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．

例5  讨论函数f（x）＝ （a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．

分析  根据函数的单调性定义求解．

解：设-1＜x1＜x2＜１，则

f（x1）-f（x2）＝ - 

         ＝ 

∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，

∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，

（1-x21）（1-x22）＞0

于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．

故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．

评析  根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：

（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；

（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；

（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．

例6  求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．

解：设0＜x1＜x2≤k，则

f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2- 

          ＝ 

∵0＜x1＜x2≤k，

∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，

∴f（x1）-f（x2）＞0

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．

评析  函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））

类似可以证明：

函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．

例7  判断函数f（x）＝ 的奇偶性．

分析  确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．

解：由 得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．

∴f（x）＝ ，

∴f（-x）＝ ＝ ＝f（x）．

且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝ 是偶函数，不是奇函数．

评析  由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．

函数奇偶性练习

　　一、选择题

1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（　　）

　　A．奇函数　　　　B．偶函数　　　C．既奇又偶函数　　　　D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（　　）　

　　A．，b＝0　　　　B．a＝－1，b＝0  　　C．a＝1，b＝0　　　　　D．a＝3，b＝0

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（　　）

　　　A．y＝x（x－2）　　　B．y ＝x（｜x｜－1）　C．y ＝｜x｜（x－2）　　D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（　　）

　　A．－26　　　　B．－18　　　　C．－10　　　　D．10

5．函数是（　　）

　　A．偶函数　　　B．奇函数　　　　C．非奇非偶函数　　　　D．既是奇函数又是偶函数

6．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，

则f（x）在（－∞，0）上有（　　）

　　　　A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　　C．最小值－1　　　　　　D．最大值－3

二、填空题

7．函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）　．

8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．

9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．

10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．

三、解答题

11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，

试证f（x）是偶函数．

13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

求证f（x）是偶函数．

函数的奇偶性练习参

1．　解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，为奇函数，

　　∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·满足奇函数的条件．　　答案：A

　2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．

　　又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故选A．

3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，

　　∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．

　　∴即f（x）＝x（|x|－2）

　　答案：D

4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，

　　f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26．　　答案：A

5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0．　　答案：B

6．解析：、g（x）为奇函数，∴为奇函数．

　　又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5，　　∴f（x）－2有最大值3．

　　∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3，　∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1．　　答案：C

7．答案：奇函数

8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，

　　∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．

9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

　　可得，联立，∴．

　　答案：       10．答案：0    11．答案：

12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，

　　∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．

13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．

　　f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．

　　当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，

　　∴f（x）＝x3－2x2＋1．

　　因此，

　　点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．

14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．

　　因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．

　　点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．

15．解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，

　　f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．

　　又令x1＝x2＝－1，

　　∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，

　　∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，

　　∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．

点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．