初中数学_中考专题——动点问题之三点共线求线段最值教学设计学情分析教...

考点分析：

出题背景将动点放在三角形、菱形、矩形、正方形、圆、抛物线中，进行综合考察。题目灵活多变，新题层出不穷。所用知识点“两点之间线段最短”、“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”、“垂线段最短”……判断动点轨迹时会用到“平行线之间的距离处处相等”、“90°的圆周角所对的弦是直径”、“到定点的距离等于定长的点都在圆周上”……。考的较多的还是“将军饮马问题”和“圆周上的旋转”。

教学目标：

1、理解并掌握实际生活中最短问题的实质就是垂线段最短；两点之间，线段最短；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

2、培养学生动手操作进行模拟实验的意识，发展、提高学生的空间想象能力，渗透模型解题法。

重点、难点分析：

教学重点：借助两大变换转实现三点共线，进而达到化“折”为“直”。

教学难点：

①在旋转变换中，通过空间想象发现动点的运动轨迹；

②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。

②正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；

教学过程

一、三点共线之轴对称——诗词中数学

通过《诗词大会》之——“看图说诗”引入“将军饮马”问题，进而分析模型特点——两定一动一直线，归纳解题方法原理——“两点之间线段最短”、“三角形任意两边之和大于第三边”，进而归纳解题模型：1、确定对称轴——动点所在直线2、作对称点；3、连线。

【设计意图】：通过《诗词大会》之“看图说诗”这个小活动，打破初四复习课的单调，提高学生的学习兴趣，丰富数学的文化内涵，引出第一个数学模型——轴对称型的三点共线。

1、（2017安顺）正方形ABCD的边长为1，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为___

【设计意图】：直接套用解题模型，体现了模型解题法的优越性。

2、如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE 上的动点，则DQ+PQ的最小值是________．

【设计意图】：是模型解题的变式和升级——以正方形为背景、两个动点的两条线段和最小问题，找出问题本质利用对称化“折”为“直”，再用“两点之间线段最短”，实现共线，总结出数学模。

3、（2017安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3=.动点P满足S⊿PAB= s矩形，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为__________.

【设计意图】：是模型解题的另一种变式和升级——以矩形形为背景、隐藏了对称轴的两条线段和最小问题，利用“平行线之间的距离处处相等”找出隐藏的对称轴，利用对称化“折”为“直”，再用“两点之间线段最短”，实现三点共线，总结出数学模型。

4、(2017菏泽）矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是______

5、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3), B(-2,0),过点A、O、B的抛物线解析式

问题：在抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

【设计意图】：以坐标系、抛物线为背景，三角形周长最小，看似三条线段和最小，实质仍是两条线段和最小问题，仍是利用对称实现共线时和最小，学会扒开问题表面，找到问题本质，突出数学模型思想的重要性。

二、三点共线之旋转

6、（2016泸州））如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a 的最大值是___．

【设计意图】：以坐标系、圆为背景，通过挖掘隐含条件将a的最大值转化为线段AP的最大值，通过旋转，结合视频教学给出第二大解题模型，求圆外一点到圆上一点线段的最大值，实质仍是通过旋转实现三点共线，当线段两个端点位于圆心同侧时线段最长，当位于圆心异侧时线段最短，等于两边只差。所用知识还是“三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边”。

7、(2017贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【设计意图】：本题通过空间想象探究出动点P的运动轨迹——圆，是难点。通过动手操作进行模拟实验和视频教学动态呈现，培养学生空间观念，教会学生学习抓住旋转过程中的不变量，找到问题本质，进而巩固解题模型。

8、边长为4正方形ABCD中，AG垂直于CE，线段DH的最小值？

【设计意图】：利用“90°的圆周角所对的弦是直径”确定出点H的轨迹——圆，学习抓住旋转过程中的不变量，找到问题本质，内化数学模型。

能力提升：

已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【设计意图】：理解数学模型，给出具体数据能准确计算。巩固提高本节课知识，提高灵活抓住问题本质的解题能力。

学情分析在七、八年级先后学习了轴对称、平移和旋转。对此知识的理解仅限于了解性质，还没有达到综合应用的程度，特别是结合动点问题实现三点共线求线段最值类问题。

结合近几年17地市中考题型来看(1)试题凸显新颖,有一定的思维量;(2)动静结合,操作性强.九年级学生对几何已经具备一定的分析·推理能力，对于常用数学思想方法的运用也相对熟练，但缺乏数学建模能力或数学建模思想应用缺失。每类问题都可以根据相关的数学理论建立相关的解题模型,依照模型可以方便解决相关最值问题，所以应引导他们学会建立数学模型来解决初中几何中常见的最值问题。经过适当点拨与强化学生可以掌握基本模型，并会运用模型解决常见的几何最值问题。

效果分析

本节课通过选取典型例题，重组材料，阶梯性设计题组的形式展开教学，整节课随机选择十名同学展示解题思路和过程，引导学生归纳总结出数学模型，从学生展示情况来看学案设计合理有层次，能逐步深入，学生掌握情况可喜。但课堂时间有限导致学生不能全面全员参与，在这一方面还要逐步完善。

这节课，放手让学生在探究活动中去经历、体验、讨论，难点部分——旋转，教师运用几何画板动态演示、微视频“翻转课堂”，加上学生的模拟实验课堂展示，在这样丰富多彩的探究过程中，解题模型的出现水到渠成。

再分段先建立不同的最值数学模型，然后将模型放入组合图形中进行提炼模型，应用模型，不断强化建模—用模解决问题这一思路，通过效果来看学生能较好地使用不同模型解决常见的几何最值问题，图形性质掌握较好，在下面的讨论中学生还有不同的解决方法，真正做到了活学活用。教师科学设置问题素材，使探究的最值问题具有层次性和探究性，例如在和最小的探究中就设计了两边和最小，三角形周长和最小，四边形周长和最小有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等方面的能力。

教材分析

随着新课程的实施，“建立数学模型”解题的意识和要求逐步增强，动点问题结合几何最值问题因能综合考查特殊三角形、特殊四边形、圆、一次函数、二次函数以及轴对称、相似三角形等重要知识,具有较强的灵活性、创新性和挑战性,故一直备受全国各地中考命题者的青睐.但这类问题综合性强，要求学生具备较强的建模能力、数学转化能力，而学生常常难以建立合适的数学模型，无法掌握动态过程中的数量关系,导致对解题造成一定困难. 本整节课选取典型例题，阶梯性设置题组讲练结合，重在方法的总结，形成解决一类问题的通性通法。

评测练习

1、已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

2．(2016咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标

为________

3.（2017淄博模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD

边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，

连接A′C. 则A′C长度的最小值是______

教学反思

动点问题之三点共线求线段线段最值问题是最近几年中考的一个热点，因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法。

教师在重组材料，设计题组时，采用循序渐进，由易到难，每一个题目乍看看似相同，细看都各有特色，让学生不断体验模型解题有优越性，但是乐趣在于要活动，因为其变化无穷。

教学时能结合题意，借助相关的概念、图形的性质结合几何画板动态演示、微视频“翻转课堂”，将最值问题化归与转化为相应的数学模型（线段公理、垂线段最短、三角形三边关系等）进行分析与突破，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维，让学生解题时总有“似曾相识”之感，快速准确地找到解法。

在整堂课的教学中，所有的例题和习题都由学生主动探究并完成书写，老师只是在必要时作适当启发，使学生在老师设置的教学情境中，掌握学习的主动权，一直处于一种自主探索知识的状态，产生一种满足、快乐、自豪的积极情绪体验，从而增强学习的信心，提高学习兴趣，产生自我激励、自我要求上进的心理，使其成为进一步学习的内部动力。

在学习过程中，学生能较快的掌握模型及其基本理论依据，但学生在数学语言的上表述还不够精确，另外各环节时间分配上不够合理，存在贪多的问题，环节上有浅尝辄止的感觉，不能让学生充分的思考，讨论，发表不同意见等。今后教学中，是一个需要改进的地方，另外对学生的评价也应多样化，充分调动学生积极性。

课标分析：

从数学的角度培养学生的观察能力、问题意识即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力，套用模型解题，重点培养学生的空间观念、几何直观和模型思想。