平面向量及其应用练习题(有答案)

1．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（    ）

A．

B．若且，则

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向

D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

2．已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（    ）

A． ．

C． ．

3．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝，a＝7，则以下判断正确的是（    ）

A．△ABC的外接圆面积是； ．bcos C＋ccos B＝7；

C．b＋c可能等于16； ．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7 .

4．在中，若，，，则C的值可以是（    ）

A．30° ．60° ．120° ．150°

5．在中，角，，所对各边分别为，，，若，，，则（    ）

A． ． ． ．

6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．在向量上的投影为

7．已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（    ）

A． ．

C．与的方向相反 ．与都是单位向量

8．在下列结论中，正确的有（    ）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 ．平行向量又称为共线向量

C．两个相等向量的模相等 ．两个相反向量的模相等

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．在中，，

B．在锐角中，不等式恒成立

C．在中，若，则必是等腰直角三角形

D．在中，若，，则必是等边三角形

10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（    ）

A． ． ． ．

11．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（      ）

A．若，则存在实数使得

B．若，则

C．若，则在方向上的投影向量为

D．若存在实数使得，则

12．设、、是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ）

A． ．

C． ．

13．如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（    ）

A． ． ． ．

14．下列命题中正确的是(    )

A．单位向量的模都相等

B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C．若与满足，且与同向,则

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．中，，，则此三角形的外接圆半径是（    ）

A．4 ． ． ．

17．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则在上的投影为

B．若，则

C．若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件

D．若，则与的夹角为锐角；若，则与的夹角为钝角

18．若△ABC中，，则此三角形的形状是（    ）

A．直角三角形 ．等腰三角形 ．等边三角形 ．等腰直角三角形

19．下列说法中说法正确的有（    ）

①零向量与任一向量平行；②若，则；③④；⑤若，则，，为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

A．①④ ．①②④ ．①②⑤ ．③⑥

20．在中，、、分别是角、、的对边，若，则的面积为（    ）

A． ． ． ．

21．已知在四边形中， ，则四边形的形状是(    )

A．矩形 ．梯形 ．平行四边形 ．以上都不对

22．在中，为中点，且，若，则（    ）

A． ． ． ．

23．在中，若，则为（    ）

A．正三角形 ．直角三角形 ．等腰三角形 ．无法确定

24．若向量，满足条件，，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 ．直角三角形 ．等边三角形 ．不能确定

25．在△ABC中，M是BC的中点．若＝，＝，则＝(   )

A． ． ． ．

26．在中，若，那么一定是（    ）

A．等腰直角三角形 ．等腰三角形

C．直角三角形 ．等边三角形

27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且，AE与BF交于点P，若，则（    ）

A． ． ． ．

28．设，，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则（    ）

A． ． ．-2 ．2

29．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为(    )

A． ． ． ．

30．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且，，则①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正确的等式的个数为(  )

A．1 ．2 ．3 ．4

31．如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则（    ）

A． ． ． ．

32．在梯形中，，，，，则（   ）

A． ． ． ．

33．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ）

A．

B．

C．

D．

34．中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（    ）

A．6 ． ． ．

35．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （    ）

A． ．

C． ．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题

1．AC

【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.

【详解】

对于A，由平面向量数量积定义可知

解析：AC

【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.

【详解】

对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，

对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，

对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，

则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；

对于D，已知，且与的夹角为锐角，

可得即可得，解得，

当与的夹角为0时，，所以

所以与的夹角为锐角时且，故D错误；

故选:AC.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.

2．BCD

【分析】

本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.

【详解】

解：因为，

所以B是的中点，P是的

解析：BCD

【分析】

本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.

【详解】

解：因为，，

所以B是的中点，P是的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；

因为，故选项B正确；

因为，所以，，故选项D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.

3．ABD

【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．

【详解】

对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；

对于B，根据正弦定

解析：ABD

【分析】

根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．

【详解】

对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；

对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故B正确．

对于C，

，故C错误．

对于D，设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故D正确．

故选：ABD.

【点睛】

本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．

4．BC

【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.

【详解】

由正弦定理可得，所以，

又，所以，

所以或.

故选：BC.

【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

解析：BC

【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.

【详解】

由正弦定理可得，所以，

又，所以，

所以或.

故选：BC.

【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5．BC

【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.

【详解】

解：根据正弦定理得： ，

由于，所以或.

故选：BC.

【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC

【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.

【详解】

解：根据正弦定理得： ，

由于，所以或.

故选：BC.

【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

6．AB

【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．

【详解】

图2中的正八边形，其中，

对于；故正确．

对于，故正确．

对于，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．

对于

解析：AB

【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．

【详解】

图2中的正八边形，其中，

对于；故正确．

对于，故正确．

对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．

对于在向量上的投影，，故错误．

故选：．

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

7．AC

【分析】

根据共线向量的定义判断即可.

【详解】

对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；

对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；

对于C选项，若与的方向相反，

解析：AC

【分析】

根据共线向量的定义判断即可.

【详解】

对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；

对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；

对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；

对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.

故选：AC.

【点睛】

本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.

8．BCD

【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；    

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD

【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C. 相等向量方向相同，模相等，正确；

D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；

故选：

【点睛】

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

9．ABD

【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得

解析：ABD

【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.

【详解】

对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；

对于，在锐角中，，，

，，

，因此不等式恒成立，正确；

对于，在中，由，利用正弦定理可得：，

，

，，

或，

或，

是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.

对于，由于，，由余弦定理可得：，

可得，解得，可得，故正确.

故选：.

【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

10．ABC

【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，将向量用坐标表示，即可求解.

【详解】

第四个顶点为，

当时，

解得，此时第四个顶点的坐标为；

当时，

解得

解析：ABC

【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.

【详解】

第四个顶点为，

当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为；

当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为；

当时，，

解得，此时第四个项点的坐标为．

∴第四个顶点的坐标为或或．

故选:ABC.

【点睛】

本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

11．AB

【分析】

根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

当时，则、方向相反且，则存在负实数

解析：AB

【分析】

根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；

若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；

若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.

故选：AB.

【点睛】

本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.

12．AB

【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.

【详解】

对于A选项，A选项错误；

对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；

对于C选项，

解析：AB

【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.

【详解】

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误；

对于C选项，，C选项正确；

对于D选项，，D选项正确.

故选：AB.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

13．BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定答即可；

【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；

与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定答即可；

【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；

与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误；

等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确；

故选：.

【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

14．AD

【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】

单位向量的模均为1，故A正确；

向量共线包括同向和反向，故B不正确；

向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；

根据

解析：AD

【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】

单位向量的模均为1，故A正确；

向量共线包括同向和反向，故B不正确；

向量是矢量，不能比较大小，故C不正确；

根据相等向量的概念知，D正确.

故选：AD

【点睛】

本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．C

【分析】

在中，根据，，由余弦定理求得，再由平方关系得到，然后由正弦定理求解.

【详解】

在中，，，

由余弦定理得：，

所以，

由正弦定理得：，

所以，

此三角形的外接圆半径是

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

17．C

【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.

【详解】

因为，所以的夹角为0或者，则在上的投影为，故A不正确；设，则有，但，故B不正确；

且，又是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且，所以，故C正确；时，的夹角可能为0，故D不正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.

18．A

【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.

【详解】

中，，

已知等式变形得：，即，

整理得：，即，

或（不合题意，舍去），

，

则此三角形形状为直角三角形．

故选：

【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．

19．A

【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果.

【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

对于②：若，则，必须有，故②错误；

对于③：，与不共线，故③错误；

对于④：，根据三角不等式的应用，故④正确；

对于⑤：若，则为一个三角形的三个顶点，也可为，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.

综上：①④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

20．A

【分析】

首先由条件和正弦定理判断是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.

【详解】

由正弦定理可知 

已知，所以和，

所以，，所以是等腰直角三角形，

由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，

所以.

故选：A

【点睛】

本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型.

21．B

【分析】

计算得到，得到，为平行四边形，得到答案.

【详解】

，则.

设，故，为平行四边形，故为梯形.

故选：.

【点睛】

本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.

22．B

【分析】

选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.

【详解】

， ，

，

，，.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.

23．C

【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得 ，从而可得答案．

【详解】

解：在中， ，

，

为等腰三角形，

故选：C．

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．

24．C

【分析】

根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.

【详解】

由，可知点是的外心，

又，可知点是的重心，

所以点既是的外心，又是的重心，

故可判断该三角形为等边三角形，

故选：C

【点睛】

本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.

25．D

【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果.

【详解】

在中，M是BC的中点，

又，

所以，

故选D.

【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.

26．B

【分析】

利用两角和与差公式化简原式，可得答案．

【详解】

因为，

所以

所以

所以

所以,

所以,

所以.

所以三角形是等腰三角形.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．

27．A

【分析】

设出，求得，再利用向量相等求解即可.

【详解】

连接AF，因为B，P，F三点共线，

所以，

因为，所以，

所以.

因为E是BC的中点，

所以.

因为，

所以，

则，

解得.

故选：A

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

28．A

【分析】

根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，点，，， O为坐标原点，

根据与在方向上的投影相同，则,

即，可得，解得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

29．D

【分析】

根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．

【详解】

∵非零向量，满足，

∴平方得，即 ，

则，由，

平方得得，即则， 

则向量与的夹角的余弦值 ， ，

故选D.

【点睛】

本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键．

30．D

【分析】

本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．

【详解】

①如图可知＝＋＝＋＝－－

＝－－，故①正确．

②＝＋＝＋

＝＋，故②正确．

③＝＋＝＋＝＋(－－)

＝－＋，故③正确．

④＋＋＝－＋＋

＝－(＋)＋＋

＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正确．

故选D.

【点睛】

本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．

31．B

【分析】

由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.

【详解】

如图所示，因为点D在线段上，所以存在，使得，

因为M是线段的中点，所以：

，

又，所以，，

所以.

故选：B.

【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

32．A

【解析】

分析：根据向量加法、减法法则将转化为即可求解.

详解：由题可得：=,故选A.

点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息是解题关键.

33．C

【分析】

利用已知条件得到为垂心，再根据四边形内角为及对顶角相等，得到，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到，进而求出的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.

【详解】

如图，因为，

所以，同理，，

所以为的垂心。

因为四边形的对角互补，所以，

．

同理，，

，

．

，

．

又

．

由奔驰定理得.

故选C．

【点睛】

本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.

34．B

【分析】

由条件和余弦定理得到，再根据三角形的面积公式计算结果.

【详解】

由条件可知：，①

由余弦定理可知：，②

所以由①②可知，，即，

则的面积为.

故选：B

【点睛】

本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.

35．D

【分析】

构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．

【详解】

解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，

为的外心，，即为斜边的中点，

又为中点，，

为中点，

．

故选：．

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．