解题技巧专题练习：等腰三角形中辅助线的作法

——形成精准思维模式，快速解题

类型一　利用“三线合一”作辅助线

一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且BE＝BC，若∠EAB＝20°，则∠BAC＝__________.

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

(1)求证：DE＝DF；

(2)若∠A＝90°，图中与DE相等的有哪些线段(不说明理由)？

3．如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB.

二、构造等腰三角形

4．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为      (     )

A．0.4cm2  B．0.5cm2

C．0.6cm2  D．0.7cm2

5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.求证：BD＝2CE.

类型二　巧用等腰直角三角形构造全等

6．(2016·铜仁中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE＝DF.

类型三　等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等

7．如图，已知AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB＋CD.

8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D.

(1)求证：PD＝DQ；

(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．

参与解析

1．40°

2．(1)证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

(2)解：若∠BAC＝90°，图中与DE相等的有线段DF，AE，AF，BE，CF.

3．证明：如图，作EF⊥AC于F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°.∴EB⊥AB.

4．B

5．证明：如图，延长BA和CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.

6．证明：如图，连接CD.∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠BDF，∴△ECD≌△FBD(ASA)，∴DE＝DF.

7．证明：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－∠DEB＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝∠DEB－∠ACB＝180°－36°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.

8．(1)证明：如图，过P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF.∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(ASA)，∴PD＝DQ.

(2)解：∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝AC.又∵AC＝1，∴DE＝.