高一数学函数单调性与奇偶性

知识梳理

1.单调性的意义：

所谓单调性，即指当函数自变量发生变化时，因变量的变化同自变量变化是同个方向还是相反方向。

（1）若是相同方向，即 y与x相同方向变化，为增函数；

（2）若是相反方向，即 y与x相反方向变化，为减函数；

2.函数单调性的证明方法：

增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，则称函数在区间上是增函数。

减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，则称函数在区间上是减函数。

证明格式：

1取任意两个数属于定义域D，且令（反之亦可）；

2作差并因式分解；

3判定的正负性，并由此说明函数的增减性；

例 1用定义法判定下列函数的增减性：

①；   ②；   ③；   ④；   ⑤；

练习：1.判断函数在定义域上的单调性；

2.证明函数在R上是增函数；

例 2已知函数，求证：函数的单调减区间为，增区间为，并画出图像；

练习：证明函数在上是增函数。

3.复合函数的单调性

复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性；

例 3判断函数的单调性：

  （1）；     （2）；    （3）；

练习：①；   ②；  ③；  ④；

4.函数的单调性的等价关系

设那么

上是增函数；

上是减函数。

例 4定义在（a，c）上的函数f(x)，在区间（a，b）及（b，c）上均为增函数，函数f (x)在区间（a，c）上是否为增函数如何？请举例说明。

例 5定义在R上的函数,,当时，且对任意的都有

(1)求证： ；

(2)求证：对任意的恒有 ；

(3)求证：f(x)是R上的增函数 ；

(4)若,求的取值范围

相关练习

1、设的图像关于原点对称，且在内是增函数，又，则的解集是……………

 A     B  

C      

2、若的图像关于y轴对称，且在上是减函数，则的大小关系

A >   B <

C   D 

3、已知函数在上是增的，则……………………(     )

A            

4、若函数f(x)关于y轴对称，在时是增的，试解关于a的不等式：f(a-2)+f(a2-4)＜0。

5、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2

(1)判断f(x)的单调性; 

(2)求f(x)在区间[－2,1]上的值域.

函数奇偶性

知识梳理

图像性质引入：

例 1观察分析以下函数图像所具有的对称性

（1）； （2）； （3）； （4）；

定义：图像关于y轴对称的函数叫偶函数，如；图像关于原点对称的函数叫奇函数，如；

思考：有没有函数既关于y轴对称，又关于原点对称？

函数奇偶性的判定：

偶函数：如果对于定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。

奇函数：如果对于定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。

例 2判断下列函数的奇偶性：

（1）； （2）；  （3）；  （4）；

练习

1． 判断下列函数的奇偶性：

（1）；  （2）；  （3）；  （4）；

2． 已知函数是奇函数，则函数是_______函数；函数是_______函数；

3． 设函数在R上有定义，下列函数①，②，③，④中必为奇函数的有________

例 3已知函数是奇函数，当时函数的解析式为，求：

以及当时的解析式；

性质应用：已知函数是偶函数，若，则，

例 4已知函数是偶函数，且当时函数为增函数，证明：当时函数为减函数；

练习

1． 已知函数是奇函数，且当时函数为增函数，证明：当时函数也为增函数；（问函数在整个R上是增函数吗？试用定义说明）

例 5设函数为奇函数，则___________。

练习

1．若函数是偶函数，则的单调减区间是_________________     

2．若函数是偶函数，则的递减区间是_____________

3．已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（   ）

A．0               B．             C．1               D．

4．已知函数为偶函数，则的值是（      ）

A                      B                 C                        D

5．函数是偶函数，则=                

例 6设其中为常数，如，则等于_______________

练习

1. 设其中为常数，如，则等于（      ）

    A.－17                  B.－7                 C.14                       D.21            

2. 如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（      ）

    A．最大值               B．最小值    C.没有最大值    D. 没有最小值

3. 已知是定义在上的偶函数，它在上递减，那么一定有（      ）

A．        B． 

 C．        D．

4. 设函数是定义在上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，。求的取值范围

例 7已知函数，当时，恒有。 

(1)求证：是奇函数； 

（2）如果，，并且，试求在区间上的最值。 

练习

1.已知函数的定义域为，且对任意,都有，且当，恒成立，。

(1)证明：函数是上的减函数； 

（2）证明：函数是奇函数； 

（3）试求函数在上的值域。