2022年高考数学二轮复习第一部分专题攻略 专题二 三角函数、解三角形 第1讲三角函数的图象与性质

微专题1　三角函数图象的平移伸缩

『常考常用结论』

1．“五点法”作图

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．

2．图象变换

y＝sin x向左(φ>0)或向右(φ<0),平移|φ|个单位y＝sin (x＋φ)

横坐标变为原来的(ω>0)倍,纵坐标不变y＝sin (ωx＋φ)

纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变y＝A sin (ωx＋φ)．

『保分题组训练』

1．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin     B．y＝sin x－

C．y＝sin     D．y＝sin x＋

2．要得到函数y＝cos 的图象，只需将y＝cos 3x的图象(　　)

A．向右平移    B．向左平移

C．向右平移    D．向左平移

3．[2021·河北保定一模]已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin 的图象，只需(　　)

A．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位

B．先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位

C．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的

D．先将函数f(x)图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍

4．(多选题)要得到函数y＝sin (2x＋)的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　)

A．每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度

B．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)

D．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)

『提分题组训练』

1．[2021·河北张家口三模]为了得到函数f＝sin x＋cos x的图象，可以将函数g＝cos x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度    B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度    D．向左平移个单位长度

2．[2021·山东潍坊学情调研]将函数f(x)＝sin 的图象向右平移a(a>0)个单位得到函数g(x)＝cos 的图象，则a的值可以为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

3．函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移的单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，则ω的最小值是(　　)

A．    B．1    C．2    D．

4．[2021·山东青岛期末检测](多选题)要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin 的图象C2怎样变化得到(　　)

A．将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向左平移个单位

B．将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向右平移个单位

C．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位

D．先作C2关于x轴对称图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位

『常考常用结论』

1．三角函数的单调区间

y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；

y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；

y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．

2．三角函数的奇偶性与对称性

y＝A sin (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．

y＝A cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

y＝A tan (ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．

3．三角函数的周期

(1)y＝A sin (ωx＋φ)和y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为，y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为.

(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个最小正周期．

『保分题组训练』

1．下列函数中，周期为π，且在区间单调递增的是(　　)

A．y＝    B．y＝sin |x|

C．y＝cos 2x    D．y＝sin 2x

2．已知函数f(x)＝cos ，则下列说法错误的是(　　)

A．f(x)的最小正周期是π

B．f(x)的图象关于点对称

C．f(x)在上为减函数

D．f(x)的一条对称轴是x＝

3．[2021·山东济宁质量检测](多选题)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有性质(　　)

A．在上单调递增，为偶函数

B．最大值为1，图象关于直线x＝－对称

C．在上单调递增，为奇函数

D．周期为π，图象关于点对称

4．[2021·辽宁朝阳二模] (多选题)已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是(　　)

A. f(x)的图象关于直线x＝对称

B. f(x)的周期为

C．(π，0)是f(x)的一个对称中心

D. f(x)在区间上单调递增

『提分题组训练』

1．[2021·淄博一模]已知f(x)＝cos x(cos x＋sin x)在区间[－，m]上的最大值是，则实数m的最小值是(　　)

A．      B．

C．－    D．

2．将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为(　　)

A．    B．

C．    D．－

3．[2021·湖南六校联考](多选题)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为，则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的一个对称点为(，0)

B．当x∈时，函数f(x)的最小值为－

C．若sin4α－cos4α＝－，则f(α＋)的值为

D．要得到函数f(x)的图象，只需要将g(x)＝2cos2x的图象向右平移个单位

4．[2021·山东烟台一模](多选题)已知函数f(x)＝2|sin x|＋|cos x|－1，则(　　)

A．f(x)在上单调递增

B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴

C．方程f(x)＝1在[0，π]上有三个实根

D．f(x)的最小值为－1

『保分题组训练』

1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则函数表达式可写成(　　)

A．y＝2sin       B．y＝sin 

C．y＝sin     D．y＝2sin 

2．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝A sin ωx图象(　　)

A．向左平移个单位长度    B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度    D．向右平移个单位长度

3．设函数f＝sin 的部分图象如图所示，且满足f＝0.则f的最小正周期为(　　)

A．    B．16

C．    D．

4．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)＝(　　)

A．sin     B. sin 

C. sin     D. sin 

『提分题组训练』

1．智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音．

已知某噪音的声波曲线y＝A sin (A>0，ω>0)在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为(　　)

A．y＝2sin 

B．y＝sin 

C．y＝sin 

D．y＝2sin 

2．[2021·山东德州一模](多选题)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)

A．g(x)的最小正周期为

B．g(x)在区间上单调递增

C．g(x)的图象关于直线x＝对称

D．g(x)的图象关于点成中心对称

3．[2021·石家庄一模](多选题)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图，把函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数y＝g(x)的图象，下列结论正确的是(　　)

A．φ＝

B．函数g(x)的最小正周期为π

C．函数g(x)在区间上单调递增

D．函数g(x)关于点中心对称

专题二　三角函数、解三角形

第1讲　三角函数的图象与性质

微专题1　三角函数图象的平移伸缩

保分题组训练

1．解析：函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin (x＋)的图象．

故选C.

答案：C

2．解析：将y＝cos 3x的图象向右平移个长度单位，可得函数y＝cos ＝cos 的图象．

故选C.

答案：C

3．解析：对于A：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x，故A错误；

对于B：先将函数f(x)图象上点的横坐标变为原来的，得到y＝2sin 2x，再右移个单位，得到y＝2sin 2，即为y＝2sin ，故B正确；

对于C: 先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y＝2sin ，再将点的横坐标变为原来的，得到y＝2sin ，故C错误；

对于D: 先将函数f(x)图象向右平移个单位，得到y＝2sin ，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin ，故D错误．

故选B.

答案：B

4．解析：(1)先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确．

(2)先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，所以C选项正确，D选项错误．故选BC.

答案：BC

提分题组训练

1．解析：f＝sin x＋cos x＝cos ＝cos .

故选A.

答案：A

2．解析：由题意知，g(x)＝cos ＝sin ，

其图象向左平移a个单位得到函数f(x)＝sin ，

而函数f(x)＝sin ，所以有2a＋＝＋2kπ，

a＝－π＋kπ，取k＝1得a＝π.

故选C.

答案：C

3．解析：∵函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象向左平移个单位，所得到的图象与原函数图象的对称轴重合，

∴＝k·＝，即ω＝k，k∈Z，

令k＝1，可得ω的最小值为，

故选D.

答案：D

4．解析：对于A，将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向左平移个单位，可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象C1，故选项A正确；

对于B，将y＝sin 的图象C2沿x轴方向向右平移个单位也可得到，y＝sin ＝sin＝cos 2x的图象C1，故选项B正确；

对于C，先作C2关于x轴对称，得到y＝－sin 的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位，得到y＝－sin ＝－sin ＝cos 2x的图象C1，故选项C正确；

对于D，先作C2关于x轴对称，得到y＝－sin 的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位，得到的y＝－sin ＝－sin ＝－cos 2x图象，故选项D不正确．故选ABC.

答案：ABC

微专题2　三角函数的性质

保分题组训练

1．解析：对于A，y＝的图象是将y＝sin x的图象中y轴下方的图象翻折到上方得到的，故最小正周期为π；

当x∈时，y＝sin x>0，∴y＝＝sin x在上单调递减，故A不正确；

对于B，当x＝－时，y＝sin |x|＝－1，当x＝－时，y＝sin |x|＝1≠－1，所以周期不是π，故B不正确；

对于C，y＝cos 2x的最小正周期为＝π，当x∈时，2x∈，y＝cos 2x单调递增，故C正确；

对于D，y＝sin 2x的最小正周期为＝π，当x∈时，2x∈，y＝sin 2x不是单调递增的，故D不正确．

故选C.

答案：C

2．解析：对于函数f(x)＝cos ，它的最小正周期为＝π，故A正确；令x＝－，可得f(x)＝0，所以f(x)的图象关于点对称，故B正确；当x∈时，2x＋∈，故f(x)在上为减函数，故C正确；令x＝，可得f(x)＝0，故x＝不是f(x)的一条对称轴，故D错误．

故选D.

答案：D

3．解析：g(x)＝sin 2＝sin ＝－cos 2x，

x∈，则2x∈，g(x)＝－cos 2x单调递增，为偶函数，A正确，C错误；

最大值为1，当x＝－时2x＝－3π，为对称轴，B正确；

T＝＝π，取2x＝＋kπ，∴x＝，k∈Z，当k＝1时满足，图象关于点对称，D正确．

故选ABD.

答案：ABD

4．解析：因为函数f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin 2x|，

画出函数图象，如图所示；

由图可知，f(x)的对称轴是x＝，k∈Z；

所以x＝是f(x)图象的一条对称轴， A正确；

f(x)的最小正周期是，所以B正确；

f(x)是偶函数，没有对称中心，C错误；

由图可知，f(x)＝|sin 2x|在区间上是单调减函数，D错误．

故选AB.

答案：AB

提分题组训练

1．解析：f(x)＝cos x(cos x＋sin x)＝sin x cos x＋cos 2x＝sin 2x＝sin (2x＋)＋，

由x∈[－，m]得2x＋∈[－，2m＋]，

当2x＋＝2kπ＋，k∈Z时取得最大值，

故2m＋，即m≥.

则实数m的最小值是.

故选D.

答案：D

2．解析：∵函数y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，

将函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，

得到函数y＝2sin ，函数关于y轴对称，

∴2φ＋＝kπ＋，∴φ＝，

当k＝0时，min＝.

故选A.

答案：A

3．解析：函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象上，

对称中心与对称轴x＝的最小距离为＝，∴ω＝2.

再根据2×＋φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝－，故 f(x)＝2cos .

令x＝，可得f(x)＝－1≠0，故A错误；

当x∈时，2x－∈，故当2x－＝时，函数f(x)的最小值为－，故B正确；

若sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝－，∴cos 2α＝，sin 2α＝＝，

则f＝2cos＝－2sin ＝－2sin 2αcos ＋2cos 2αsin ＝，故C正确；

将g(x)＝2cos 2x的图象向右平移个单位，可得y＝2cos 的图象，故D错误．

故选BC.

答案：BC

4．解析：A选项，当x∈，f(x)＝2sin x＋cos x－1，f(x)不单调，A错误，

B选项，f(π－x)＝2|sin (π－x)|＋|cos (π－x)|－1＝2|sin x|＋|cos x|－1＝f(x)，

∴x＝是它的一条对称轴，B正确．

C选项，f(x)＝1，即2|sin x|＋|cos x|＝2，当x∈，即2sin x＋cos x＝2，sin x＝1或sin x＝，有两个零点；当x∈，2sin x－cos x＝2，sin x＝，有1个零点，共3个零点；

D选项，若f(x)min＝－1，即2|sin x|＋|cos x|＝0，需要|sin x|＝0，且|cos x|＝0矛盾，D错误．

故选BC.

答案：BC

微专题3　由图象求三角函数的解析式

保分题组训练

1．解析：由图可知A＝2，因为图象过点，所以2sin φ＝1，所以取φ＝，

因为图象过点，所以2sin ＝0，所以ω＋＝2kπ，k∈Z，

即ω＝k－，k∈Z，当k＝1时，ω＝2，所以y＝2sin .故选D.

答案：D

2．解析：根据函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象，

可得A＝1，T＝＝，即T＝π，∴ω＝＝3.

将代入，可得f()＝sin (3×＋φ)＝0，

则3×＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，

又|φ|<，∴φ＝，故f(x)＝sin (3x＋)．

故把g(x)＝sin 3x的图象向左平移个单位长度，

即可得到f(x)＝sin (3x＋)的图象．故选C.

答案：C

3．解析：因为f＝0，

所以sin ＝0⇒2ω－＝kπ(k∈Z)⇒ω＝kπ＋(k∈Z)，

设函数f＝sin 的最小正周期为T，由图可知，

因为ω>0，所以有，⇒π<ω<，

因为ω＝kπ＋(k∈Z)，所以所以ω＝π，因此T＝＝，故选A.

答案：A

4．解析：依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f(x)＝sin 的图象．

答案：B

提分题组训练

1．解析：由题图2可知：y＝f(x)＝A sin 过(0，1)，两点，

所以有y＝f(0)＝A sin ＝1⇒A＝1⇒A＝2，

f＝2sin ＝0⇒ω＋＝kπ(k∈Z)⇒ω＝(k－)π(k∈Z)，

当k＝1时，y＝f(x)＝2sin ，显然A不符合题意，此时函数的周期为＝2，要想抵消噪音，只需函数y＝f(x)＝2sin 向左或向右平移一个单位长度即可，

即得到y＝f(x＋1)＝2sin ＝－2sin ，

或y＝f(x－1)＝2sin ＝2sin ，故选项D符合，

显然选项B，C的振幅不是2，不符合题意，

故选D.

答案：D

2．解析：根据函数的图象：周期T＝＝，解得T＝π，

故ω＝2.

进一步求得A＝2.

当x＝时，f＝2sin ＝－1，由于|φ|＜π，

所以φ＝.

所以f(x)＝2sin ，

函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 的图象，

故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；

对于B：由于x∈，所以3x＋∈，故函数g(x)在区间上单调递减，故B错误；

对于C：当x＝时，g＝2sin ＝－2，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；

对于D：当x＝时，g＝2，故D错误．

故选AC.

答案：AC

3．解析：根据函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象，

可得T＝＞，且T＜，∴ω∈.

把(0，)代入，可得2sin φ＝，∴φ＝，或 φ＝.

再把根据图象经过最高点，可得ω·＋φ＝2kπ＋，k∈Z.

当φ＝时，ω·＝2kπ＋，k∈Z，求得ω＝，不满足条件ω∈，

故φ＝，故A错误．

此时，由ω·＝2kπ＋，k∈Z，求得ω＝－，

令k＝1，可得ω＝2，满足条件ω∈，故f(x)＝2sin .

把函数f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，

可得到函数y＝g(x)＝2sin 的图象，

故g(x)的最小正周期为＝π，故B正确．

当x∈，2x＋∈，故g(x)单调递增，故C正确．

令x＝－，求得g(x)＝－≠0，故g(x)的图象不关于点中心对称，故D错误．

故选BC.

答案：BC