高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(答案)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )

A ．(－7，－4)

B ．(7,4)

C ．(－1,4)

D ．(1,4)

【答案】 A

2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )

A ．－32

B ．－53

C ．53

D ．32

【答案】 A

3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )

A ．－32a 2

B ．－34a 2

C ．34a 2

D ．32

a 2 【答案】 D

4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．

的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2

【答案】 B

5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )

A ．π3

B ．π2

C ．2π3

D ．5π6

【答案】 C

6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )

A ．|b |＝1

B ．a ⊥b

C ．a ·b ＝1

D ．(4a ＋b )⊥BC →

【答案】 D

7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )

A ．0

B ．2

C ．5

D ．25

【答案】 C

8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )

A ．43a ＋23b

B ．23a ＋43b

C ．23a －43b

D ．－23a ＋43

b 【答案】 B

9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )

A ．150°

B ．120°

C ．60°

D ．30°

【答案】 B

10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )

A ．3

B ．2

C ．32

D ．33

【答案】 B

11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )

A ．(－3,0)

B ．(3,0)

C ．(2,0)

D ．(4,0)

【答案】 B

12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|

＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形

【答案】 A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)

13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.

【答案】 －6

14．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．

【答案】 －3

15．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．

【答案】 －5

16．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.

【答案】 12 －16

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．

【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．

因为0°<θ<120°，所以－12

18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．

(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．

【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，

∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143

OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，

又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，

则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.

19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四

边形ABCD 的面积．

【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.

又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，

又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.

20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．

(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52

，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．

(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.

∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |

＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.

21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.

(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；

(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．

【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，

所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .

(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧

cos α＋cos β＝0， ①

sin α＋sin β＝1， ②

由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.

代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6

.

22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．

(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；

(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？

【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.

∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，

∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，

∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．

(2)由(1)得，AM →·BN →＝12

MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.