【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步...

所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．

在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．

， cos A = ， =

（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2

锐角三角函数

我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、

b a

c c b

的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出

锐角三角函数之间的三个特殊关系．

一、余角关系

由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A

＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．

因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以

很轻松地进行三角函数之间的转换．

例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =

＝2，求 BC 的长．

解：由于∠A ＋∠B ＝90°，

1

2

BD 2 1

BC BC 2

所以 BC ＝4．

二、平方关系

a b 由定义知 sin A = c c

1 2 ，BD

所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2

+ c c c 2

的平方）．

又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，

所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2

=1．

应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．

例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．

=

⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a

， cos A = ，

得 = c = ⨯ = = tan A ．

所以原式 = = =- ．

5 12 5 12

所以 sin B = = ．应选(B)．

5

解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．

所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）

⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭

3 2 ．

三、相除关系

b c c

a

sin A a c a cos A b c b b

c

利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．

例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α

的值．

解：因为 tan α = sin α cos α

= 2 ，所以 sin α =2cos α ，

6cos α + cos α 6 + 1 7

4cos α - 10cos α 4 - 10 6

求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根

据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．

四、设参数法

例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =

(A)

(B) (C) (D)

13 13 12 5

5 12 ，那么 sin B 等于（ ）

分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．

因为 tan A = a 5 =

b 12

，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1

b 12

c 13

五、等线段代换法

例 5

如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰

好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．

分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，

又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，

图 2

113911

，即=，所以C E=，

在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．

所以tanα=．

C

344

5

所以DB

==，所以tanα=，选(A)．

在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5

六、等角代换法

例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B

点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，

且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）

B

（A）（B）（C）（D）

311119

A

分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α

根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE

=

BD ED611-CE

C E

图3

D

11

3

11

CE11

AC39

11

9

七、等比代换法

例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）

(A)

(B)(C)(D)

435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，

由Rt△C D△B∽Rt ACB，

BC33

DC AC44图4

（ ：

锐角三角函数测试

1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．

7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=

α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（

）

A 、②③

B.①②③

C.②

D. ③

8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系

为(

)A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanA

C.tanA ′=tanA

D.不确定.

9（中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．

（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。

（3）比较大小（在空格处填写“＜”，或“＞”，或“＝” 号） 若 a ＝45°，则 sin α cos α ；若 α ＜45°，则 sin α cos α ； 若 α ＞45°，则 sin α cos α 。

（ 4 ）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大 小．sin10° 、cos30°、sin50° 、cos70°

10、在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5,BC=6.求 sinB 、cosB 、tanB 。

11、已知α 为锐角 4tan 2α -3=0,求 tan α .

所以上述 tan α = -

3

参

1 解：由正弦函数的正变关系可知 sin41°＜sin42°．

2 解：由余切函数的反变关系可知 cot30°＜cot22°．

3 解：由以上规律可得 sin25°＜cos25°．

4 解：由以上规律可得 tan52°＞cot52°．

5 解：化同名，∵cot41°= tan49°． ∴tan48°＜cot41°． ∴sin36°＞cos55°．

6 解：化同名，∵cos55°= sin35°．

7 分析：sin α 是一个数学符号△就象 ABC 一样，不能理解为△与 ABC 是积的关系.因此

①错；在△ABC 中，若∠C=90°，则 sinA= a c a

,c= ,所以②不正确；所以 A 、B 和 C 均

sin A

不正确，而③正确.所以正确答案是选 D.

注意:sin α ·sin α =(sin α )2 可以写成 sin 2α 的形式.其它类推.

8 分析 锐角三角函数值等于相应边的比.因此，与边长度无关，与边的比值有关或说与

角大小有关.其正确答案是选 C.

注意:锐角三角函数值与边长度无关与角的大小有关.

9

10 如图,过 A 作 AD ⊥BC 于 D,则 BD=3,∵AB=5,∴AD= AB 2 - BD 2 =4,

∴sinB= AD 4 BD 3 AD 4

= ,cosB= = ,tanB= = .

AB 5 AB 5 BD 3

注意:已知三角形、四边形的边求锐角α 三角函数，首先把α 放入直角三角形中.

11 分析:锐角三角函数等于相应直角三角形边的比,显然 tan α ＞0,sin α ＞0,cos α ＞

3

应该舍去,其正确答案是 tan α = . 2 2