17函数的周期性与类周期问题

一、周期性的定义以及典型周期形式

1.周期性的定义：存在一个非零常数T,对任意的,恒有成立，则函数为周期函数，是函数的一个周期，则也是周期，

最小正周期：若是一个最小的正数，则是函数的最小正周期。

周期的关系式体现了函数的平移思想，可以从平移角度去理解。由于是平移关系的周期函数的关系中变量的系数为同号关系。

2.几种常见的函数周期形式：（默认）

（1），周期为

（2），周期为

（3）,周期为

（4），或，周期为

（5）若，则函数的周期        

典型例题

1.函数对任意满足条件，若，则等于（ ）

A 

2.函数对任意满足条件，若，则等于（ ）

A.   B.2    C. 

3.的定义域为R,满足，若，则=        

4.函数对任意满足条件，若，则等于（ ）

A. 1   B.-2    C.

5.（2009山东）等于在R上的函数，则等于（ ）

A. -1   B.0   C.1    D.2                           变式：若求呢？ （ ）

6.（2010重庆）已知函数满足且，则=           

二、对称性，奇偶性，周期性的几个关系：

1.对称性的两种形式：

（1）若函数关于对称，则满足，等价形式：或，

（2）若函数关于对称，则满足，

等价形式： 或，或

推广：函数关于对称，则。

2.对称性与周期性的关系：

知识点：（1）若关于和都对称，（设），函数是周期函数，，

（2）若关于点和点都对称，（设），函数是周期函数，，

（3）若关于点和直线都对称，（设），函数是周期函数，

3.奇偶性，对称性与周期的关系

知识点：（1）奇函数关于对称，则周期T=             

（2）偶函数关于对称，则周期T=                

（3）奇函数关于点对称，则周期T=                

（4）偶函数关于点对称，则周期T=                

典型例题：

例1（2009全国）的定义域为R，若与都是奇函数，则（  ）

A.是偶函数  B.是奇函数  C.=  D. 是奇函数

2.（2018全国）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则=（  ）

A. -50   B.0   C.2    D.50

3.若偶函数满足，且在时，则关于的方程在[0，]上根的个数是

A.1  B.2  C.3  D.4

解:因为得，即函数的周期T=2,

画出x∈[0,1]上的图像，然后将它关于y轴对称，这样就得到了f(x)在[-1,1]上的图像.

结合函数的周期性作出函数和的图象，由图象知有3个交点。

练习1.函数是定义域为上的函数，满足，且，则（  ）

A.周期为20的奇函数 周期为20的偶函数

C.周期为40的奇函数 周期为40的偶函数

2.函数是定义域为上的奇函数，且为偶函数，则=（  ）

A.4  B.3  C.0  D.2

三、类周期函数

类周期函数的定义：若满足或或这样的形式，我们称之为类周期函数，将2换成m，得类周期的一般形式。

另外一种形式为或

[结论总结： (1)若满足,则只需在向右平移(每次平移2个单位)的过程中，纵坐标向下平移k个单位(k> 0)或向上平移|k|个单位(k<0),在向左平移(每次平移2个单位)的过程中，纵坐标向上平移k个单位(k>0)或向下平移k个单位(k<0).

(2)若f(x)满足f(x) = kf(2x),则只需横坐标每次缩短为原来的的过程中，纵坐标变为原来的k倍。在横坐标每次伸长2倍的过程中，纵坐标变为原来的.

[注] 如果不能熟练应用类周期来作图的，为了保险起见，可以取一些特殊值来验证，确保作图的正确性。

例1.(2019罗庄高一期中)设函数的定义域为R，满足，且当时，，当时，函数f（x）的值域是（　　）

A.  B.  

例2.（2011四川改编）已知定义在上的函数满足 当时，，设在上的最大值为，（）,则          

3.（2019全国）设函数满足，且当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（  ）

  B.  

4.（2019汕头一模）设函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数对任意的零点个数（  ）

  B.4    C.6    D.8

5.已知函数的定义域为R，且，当x∈[0，π）时，．若存在x0∈（-∞，m]，使得，则m的取值范围为             

练习1.设函数 f(x)的定义域为R,对任意的实数x∈R,都有且，若，则(    )。 

A.2017  B.2018  C.2019 D.2020

变式：（拔高）定义在R上的函数满足，，，且当时，，则=