2021年新高考全国二卷数学试题及答案(WORD版)

新高考Ⅱ卷·数学

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数213i i

--在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A

B =（ ） A ．{3} B ．{1,6}

C ．{5,6}

D ．{1,3}

3．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）

A ．1

B ．2

C ．

D ．4

4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为00km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）

A ．26%

B ．34%

C ．42%

D ．50%

5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）

A ．20+

B ．

C ．563

D ．3 6．某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）

A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

7．已知581log 2,log 3,2a b c ===

，则下列判断正确的是（ ）

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．a b c <<

8．已知函数()f x 的定义域为R ，(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则（ ）

A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

B ．(1)0f -=

C ．(2)0f =

D ．(4)0f = 二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列统计量中，能度量样本12,,

,n x x x 的离散程度的是（ ） A ．样本12,,

,n x x x 的标准差 B ．样本12,,,n x x x 的中位数 C ．样本12,,,n x x x 的极差 D ．样本12,,

,n x x x 的平均数 10．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）

11．已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）

A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切

B ．若点A 在圆

C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离

D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切

12．设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+

+⋅+⋅，其中{0,1}i a ∈，记01()k n a a a ω=+++．则（ ）

A ．(2)()n n ωω=

B ．(23)()1n n ωω+=+

C ．(85)(43)n n ωω+=+

D ．()

21n n ω-= 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>，离心率2e =，则双曲线C 的渐近线方程为_______． 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．

①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．

15．已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．

16．已知函数12()1,0,0x f x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||

AM BN 取值范围是_______． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．

18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,1,2a b c b a c a =+=+．

（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；

（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．

19．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,5,3AD QD QA QC ====．

（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；

（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．

20．已知椭圆C 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，右焦点为F ，且离心率为3． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线

的充要条件是||MN =

．

21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．

（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；

（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．

22．已知函数2

()(1)x f x x e ax b =--+．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点 ①2

1,222e a b a <≤>； ②1

0,22a b a <<≤．

参

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．AC 10．BC 11．ABD 12．ACD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．y = 14．2

()()f x x x =∈R 答案不唯一． 15．V 16．(0,1) 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17．n 的最小值为7．

18． 当2a =时，ABC 为钝角三角形．

19．略

20．（1）2

213

x y +=． （2）略

21．（1）()00.410.320.2311E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．

（2）略

（3）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．

22．略