广州市花都区2011届高三年级调研考试 理数

数学试题（理）

考试时间 120分钟   满分150分

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．已知集合,则集合的子集个数是        （    ）

A．1个    B．2个    C．3个        D．4个

2．已知数列满足  ，则数列一定是    （    ）

    A．公差为的等差数列              B．公差为的等差数列

    C．公比为的等比数列               D．公比为的等比数列

3．函数的最小正周期是，则        （    ）

    A．    B．        C．        D．

4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰

直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体

的体积为        （    ）

A．                       B．          

C．                  D．

5．已知函数在定义域内可导，其导函数的图象如右图，则函数的单调递增区间为            （    ）

A．    

B．]

C．      

D．

6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株树

木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频

率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周

长小于110cm的株数n是    （    ）

    A．30             B．60

 C．70               D．80

7．如图，平面内有三个向量其中与的  

夹角为60°, 与、与的夹角都为30°,

且∣∣=∣∣=1, ∣∣=,若=+,

则的值为                （    ）

A．4           B．        C．        D．2                                       

8．奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（    ）

    A．    B．

    C．        D．

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．已知向量且，则

10．已知函数的图象经过点和原点，则．

11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的=     ．

12．在中，已知,则的最大角

的大小为         ．

13．在区间上随机取两个实数，，则事件“”的概率为_____  

14．若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为_________.

三、解答题

15．（本题满分12分）已知，且．

   （1）求实数的值；

   （2）求函数的最大值和最小值．

16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要

回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互.

   （1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；

   （2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望和方差.

17．（本小题满分12分）  如图，在正方体中，分别为棱的中点.

   （1）试判截面的形状，并说明理由；

   （2）证明：平面平面．

18．（本小题满分14分）等差数列中，，前项和为，等比数列各项均

为正数，，且，的公比

   （1）求与； 

   （2）求数列的前项和

19．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为．

   （1）求的值；

   （2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若动点满足

且点的轨迹与抛物线交于两点.

   （1）求证：；

   （2）在轴上是否存在一点，使得过点的直线交抛物线于两点，并以线段为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

参

一、选择题

9.    10.   11．  12．  13．  14. 

三、解答题

15．解：（1）由已知，得    --------4分

   （2）                         --------5分

                       -------6分

                            --------7分

                           --------9分

当,即时       --------11分

函数的最大值为1.                                  --------12分

16．解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过

决赛”为事件C，则

那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率

．                  -------6分

（2）可能取值为1，2，3．                              -------7分

    的分布列为：

的数学期望

                    -------11分

的方差

．-------12分

17．解：（1）截面MNC1A1是等腰梯形，                            --------2分

    连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点， 

    所以MN//AC，MN≠AC                                      

又是梯形，--------4分

易证                   --------6分

是等腰梯形                                     --------7分

   （2）正方体ABCD—A1B1C1D1中

                                            --------9分

，，

                                  --------12分

平面MNB⊥平面BDDB                              --------14分

（注：对建立空间坐标系完成的，请酌情评分）

18．解：（1）由已知可得

 ，                           --------3分

解方程组得，或（舍去），                    --------5分

                                --------7分

  （2）

            --------10分 

 -14分

19．解：（1）

，                                        --------2分

，．                              --------4分

∴，且

．                      --------6分

解得．                                             --------7分

   （2），                                 --------8分

令，

则，令，

得（舍去）．  --------9分

当时，，   ∴  是减函数          --------11分

则方程在内有两个不等实根的充要条件是

   --------13分

解不等式组得取值范围是  

．                       --------14分

20．解：（1）由知点的轨迹是过两点的直线，         --------1分

故点的轨迹方程是：

，

即           --------3分

          --------5分

，故

                       --------7分

   （2）假设存在，使得过点的直线交抛物线于两点，并以线段为直径的圆都过原点。                        --------8分

，由题意，直线的斜率不为零， 所以，可设直线的方程为，代入得

                  --------10分

即

同时，

       --------12分

则

又，解得，满足式

   此时，以为直径的圆都过原点，      

设弦的中点为

   消去得,即为所求圆心的轨迹方程。  --------14分