高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、观察法：

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出的值域。

解：由算术平方根的性质知，故。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数的值域。（答案：）

二、反函数法：

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数的反函数为：，其定义域为的实数，故函数y的值域为。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数的值域。（答案：）。

三、配方法：

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由可知函数的定义域为。此时=

，即原函数的值域为

点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：的值域。（答案：）

四、判别式法：

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。

例:求函数的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原函数的值域。

解：由==  得                     

∵当时，-2 = 0 ，不成立

当时，由，得=

∴或

由于

∴函数的值域为。 

   点评：把函数关系化为二次方程，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适用于及。

   练习：求函数的值域。（答案：）。

五、最值法：

    对于闭区间上的连续函数，可以求出在区间内的较值，并与边界作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。

例：已知，且满足，求函数的值域。 

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：，上述分式不等式与不等式同解，解之得，又，将y=1-x代入中，得，

且，函数z在区间上连续，故只需比较边界的大小。

  当x=-1时，z=-5；当时，。

函数z的值域为。

   点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求值而获得函数的值域。

   练习：若为实数，则函数的值域为(   )

A.   B.  C.  D.      (答案：D）

六、单调法:

   利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例：求函数的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即，其定义域为，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

 解：设f(x)=4x,,(),易知它们在定义域内为增函数，从而 =在定义域为上也为增函数，而且,因此，所求的函数值域为｛y|y≤｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数  的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

七、换元法：

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例：求函数的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设（t≥0）,则

　　。

　　于是.

　　所以，原函数的值域为｛y|y≥｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数的值域。（答案：｛y|y≤｝）

八、构造法:

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例：求函数的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为构作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个边长为1的正方形。

设HK=x,则=2-x,KF=2+x,AK=,KC=。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数的值域。（答案：｛y|y≥｝）

九、比例法：

　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例：已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

解：由3x-4y-5=0变形得，(k为参数)

　　∴x=3+4k,y=1+3k,

　　。

　　当时，,时，

　原函数的值域为｛z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）。

十、利用多项式的除法

例：求函数的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解：=。

　　∵，故y≠3。

　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如的形式的函数均可利用这种方法。

练习：求函数的值域。（答案：y≠2）

十一、不等式法

例：求函数的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

解：易求得原函数的反函数为,由对数函数的定义知

（1-x≠0）解得，0＜x<1。

函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

　练习：求函数的值域，（答案：）。

十二、图象法

　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例:求函数的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　　解：原函数化为y=-2x+1(x≤-1)

　y=3(-1　y=2x-1(x>2)

　画出其图像可得函数值y≥3。

　函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

十三、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例1:求函数的值域。

解：由原函数式可得：

∵

解得：

故所求函数的值域为(-1,1)

例2: 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

十四、数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例1:求函数的值域。

解：原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：

例2:求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，

故所求函数的值域为

例3:求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由上例可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例3的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

十五、一一映射法

原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例：求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

十六、多种方法综合运用

例1：求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

例2： 求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。