常微分方程的边值问题

常微分方程的边值问题

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学    号：**********

专    业：数学及其应用数学

年    级：08级

 学    院：理学院

【摘  要】边值问题是微分方程问题的一个类型。在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。 

【关键词】常微分方程   边值问题   研究

第一章  引言

1.1常微分方程的起源和发展

1.2常微分方程的内容

1.3常微分方程的应用

  1.4  常微分方程的实例

第二章  常微分方程边值问题的研究

        2.1  边值问题的提出

        2.2  二阶线性常微分方程边值问题的可解性

        2.3  特征值问题 　

参考文献

第一章  引言

1.1  常微分方程的起源

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y┡=ƒ(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。 

常微分方程在我国的发展

中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。

1.2  常微分方程的内容

   定义1 凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 。

　　定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

1.3  常微分方程的应用

   现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

1.4  常微分方程的实例

   下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数)：

   (1) y= kx, k 为常数；

   (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；

   (3) mv (t) = mg - kv(t)；

第一章  常微分方程边值问题的研究

2.1  边值问题的提出

   求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。亦即，设常微分方程为

对区间I上的点α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(αi)(i=1,2,…,k,k>1)，给定了一些条件,求此方程在 I上的满足这些条件的解的问题。这些条件称为边界条件，诸αi及y(αi)、y┡(αi)、…、y(n-1)(αi) 称为边值或边界值。当k=2，α1、α2是区间I的端点时,称为两点边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。为了适应实际问题的需求，不得不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。

2.2  二阶线性微分方程边值问题的可解性

    我们将重点研究试射法。

二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：

，                      (2.1)

边值条件有如下三类：

第一类边值条件

，                           (2.2)

第二类边值条件

，                          (2.3)

第三类边值条件[19]

，                (2.4)

其中，  ，  ， 。

在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。

定理  设方程(2.1)中的函数及，在区域

内连续，并且

(ⅰ)   ；

(ⅱ) 在内有界，即存在常数，使得

，  ，

则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。

（1）试射法    

为了描述试射法的基本思想，先给出初值问题的概念。

由(2.5)中的二阶常微分方程以及初始条件

，                          (2.6)

构成的定解问题

         (2.7)

称之为初值问题。

对于边值问题(2.5)的求解，“试射法”的基本思想是将边值问题转化成初值问题来求解，即根据边界条件(2.2)，寻求与之等价的初始条件(2.6)，也就是说，反复调整初始时刻的斜率值，使得初值问题(2.7)的积分曲线能“命中” .

设能够提供的两个预测值，，我们按这两个斜率“试射”， 通过求解相应的初值问题(2.7)可以得到的两个预测值分别为，。若和都不满足预定的精度，则可用线性插值的方法校正，得到新的斜率值

                       (2.8)

然后再按斜率试射，求解相应的初值问题(2.7)又得到新的结果.若或，则可将作为的近似值；否则，继续过程(2.8)直到找到计算结果与相当符合为止。

基于叠加原理的试射法

设二阶线性常微分方程边值问题(2.5)的解存在并且唯一，并定义线性算子：.                       (2.9)

我们考虑如下的两个线性微分方程的初值问题：

                           (2.10)

和

                            (2.11)

设和分别为问题(2.10)和(2.11)的解，不难验证

                      (2.12)

是问题(2.5)的解，其中.

通过上述描述，我们可以得到基于叠加原理的打靶法的基本步骤为：

1. 根据边值问题(2.5)构造相应的初值问题(2.10)和(2.11)；2. 分别求出两个初值问题(2.10)和(2.11)的解和；3. 将和按(2.12)式做组合，所得的函数就是边值问题(2.5)的解. 

(2.10)和(2.11)均为二阶常微分方程初值问题，求解时可通过引入变量代换将其化成相应的一阶方程组初值问题。如令：

                             (2.13)

则(2.10)式可以写成

                      (2.14)

(2.11)式可以写成

                           (2.15)

这样就可以利用Runge-Kutta方法求解(2.14)和(2.15)。

对于更一般的线性边值问题：

             (2.16)

用基于叠加原理的打靶法的步骤为：

1. 根据(2.16)式，构造两个相应的初值问题：

                          (2.17)

和

                              (2.18)

其中和是满足条件的两个任意的常量.

2. 求解初值问题(2.17)和(2.18)式，设其解分别为和.

3.将和做线性组合

由此计算得到的函数就是(2.16)式的解。

（2）有限差分法

将区间[a,b]进行等分：h=(b-a)/(n+1),=a+ih,i=0,1,…,n+1,设在x=i=0,1,…,n+1处得数值解为。用中心差分近似微分，即

,i=0,1,…,n

则离散化成差分方程

=f(,),i=0,1,…,n

对应的边界条件也离散成(a)-y(a)=,(b)+y(b)=;

第一类边界问题:=,=

第二类边界问题：-=h,-=h

第三类边界问题：-(1+h)=h,

                (1+)-=h

若f(x,y,y’)是y，y’的线性函数时，f可以写成

f(x,y,y’)=p(x)y’(x)+q(x)y(x)+r(x)

其中p(x),q(x),r(x)为已知函数，则由常微分方程的理论知，通过变量替换总是可以消去方程中的y’项，不妨假设变换后的方程为

y”(x)-q(x)y(x)=r(x);y(a)=

则近似差分方程成离散差分方程为

-=;=,=

其中=q() ,=r(),i=0,1,…,n

将以上方程合并同类型整理得方程组

+=

其中只要0，则方程组的系数矩阵为弱对角占优的三对角阵，方程组为三对角线方程组，可以用追赶法求解。

2.3  特征值问题    

一种特殊的边值问题，又称为本征值问题或固有值问题。它是含有一个参数λ 的齐次边值问题（微分方程和边界条件都是齐次的），使齐次边值问题具有非零解的数λ 称为特征值，这些非零解本身称为特征函数(或特征向量)。

　 最典型的特征值问题是常型斯图姆-刘维尔问题(简称SL问题)

式中(α,b)是有限区间,1/p(x)，q(x),1/r(x)为实的有界连续函数。 

　　对于常型问题,存在可数无穷个特征值 λ0<λ1<λ2<…,对应于每一个λn,有一个非零解yn(x)（特征函数）。{yn(x)}组成(α，b)上的完备正交系。对任意函数ƒ(x)，有特征展开式

　　　　　　(10)

式中ƒn是ƒ(x)的广义傅里叶系数, 等于ƒ(x)与yn(x)的乘积沿(α,b)的积分。当ƒ(x)满足边界条件,且ƒ┡(x)绝对连续时，展开式一致收敛。当ƒ(x)平方可积时，展开式平方平均收敛。 

　　C.-F.斯图姆在 1836年证明了一个一般性的比较定理：若恒有g(x)　　当(α,b)不是有限区间,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一个不是有界连续时，称(7)为奇型SL方程,此时边界条件的提法与展开式的形状要复杂一些。按照 H.外尔的理论，若对某复数λ，微分方程(7)的任何解都在b点邻域平方可积,称b属于圆款；否则称b属于点款。对前者，在b点要提线性边界条件，对于后者,只提平方可积条件就够了。若α点为奇点,也有同样的分类。当区间仅有一端（例如b）为奇点，特征展开式为

　 (11)

式中

　　 　(12)

φ(x,λ)为满足α处边界条件的解；ρ(λ)为不减函数, 称为谱函数。当ρ(λ)为纯阶梯函数时，展开式成为前述的级数形式(10)，当ρ(λ)没有跳点，展开式成为广义傅里叶积分。对于区间两端都为奇点的情形，展开式为

 (13)

 (14)

式中【ρij(λ)】称为谱矩阵；φ1，φ2则是方程的线性无关解组。 

　　奇异情形的上述展开式(14)，概括了古典数学物理中一系列重要公式,如傅里叶积分，傅里叶-贝塞尔展开式，汉克尔展开式，等等。由于实际应用的需要，展开式的各种具体形式与成立条件，一直在被发掘之中。 

　　SL问题的研究已沿着不同方向推广。在非自共轭情形，特征函数系已不是正交系，而与共轭问题的特征函数系组成双正交系。对于高阶奇型微分方程，边界条件的提法依赖于端点邻域内线性无关平方可积解的个数。即亏指数。亏指数的可能取值与具体实现问题，近年来受到重视。由于应用上的需要，对各种具体的非线性特征值问题的研究，一直在进行，但到60年代后期，P.H.拉宾诺维茨运用非线性泛函分析的工具，才发展出一种系统的方法。此外，以多介质为实际背景的多点边值问题与特征值问题的研究，也不断出现。 

参考文献：

·二阶常微分方程边值问题数值方法- 山东师范大学数学科学学院，道客巴巴 2011-03-15

·葛渭高/李翠哲/王宏洲，常微分方程与边值问题，科学出版社，2008-06-01

·籍利平，边值问题长盛不衰，科学网，2007-9-3

·百度百科