云南省部分名校2015届高三1月份统一考试数学(理)

理科数学试卷   

命题   昆明三中高三年级数学备课组

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1.已知i为虚数单位，复数z满足iz=1+i，则（    ）

A．1+i    B．1－i    C．－1+i    D．－1－i 

2．集合，，若，则实数的取值范围是（   ）

A．                            

3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ）

A.    B.      C.     D. 

4.已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（   ）

A．     B.          C.          D.

5．执行如图所示的程序框图,输出的S值为时，则输入的的值为（   ）

A.    B.              

C.    D.

6. 实数x，y，k满足，，若的最大值为，则的值为（    ）

A．         B．         C．         D．

7. 已知函数①,②,则下列结论正确的是(　　)

A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形.

B．两个函数的图象均关于直线成轴对称图形.

C．两个函数在区间上都是单调递增函数.

D．两个函数的最小正周期相同.

8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,若△ABC的面积为,且, 则等于      （   ）

A.             B.          C.            D. 

9.已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是         （    ）

    A.          B.            C.        D.

10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（   ）

 A.   B.    C.     D.60

11.抛物线（＞）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为        (    )

A.         B. 1              C.                 D.  2

12.已知函数满足, 当时,,若在区间内,曲线与轴有三个不同的交点,则实数的取值范围是     (    )

A.     B.       C.          D.

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上）

13.已知,那么展开式中含项的系数为________________.

14.已知圆,直线上动点,过点作圆的一条切线,切点为,则的最小值为_________.

15．观察下列等式：根据上述规律，第个等式为                                                  .

16．表面积为的球面上有四点S、A、B、C，且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为       .

三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知数列的前项和和通项满足,数列中，,.

（Ⅰ）求数列,的通项公式；

（Ⅱ）数列满足，求证： .

18. （本小题满分12分）

云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（Ⅰ）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；

（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；

（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人中任意抽取2人，该2人

中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为，求的数学期望．

参考数据：

若．则

=0.6826，

=0.9544, 

=0.9974.

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，已知， ，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设 ()，且平面与所成的锐二面角的大小为，试求的值.

20．（本小题满分12分）

如图，已知椭E:的离心率为，且过点，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O， .

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求证：四边形ABCD的面积为定值.

21．（本小题满分12分）

已知函数.

（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数a的最小值；

（Ⅱ）若，使成立，求实数a的取值范围.

请考生在第23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

23. （本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，以O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程；

（Ⅱ）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线的距离的最小值.

24. （本小题满分10分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的定义域；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.

云南省部分名校高2015届1月份统一考试

理科数学参

1-4 ADCB              5-8 DBCC              9-12 DAAC      

13.135    14.2    15.   16. 27

17.解.（Ⅰ）由，得

当时，

即（由题意可知）

是公比为的等比数列，而

，

由，得

（2），设，则

由错位相减，化简得：

18.解：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为

高于全市的平均值170.5（4分）

（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人.  ……………（6分）

（Ⅲ），

，0.0013×100 000=130.

所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人.       

随机变量可取，于是

,,

.     ………………………………（12分）

19．解：（Ⅰ）因为侧面,

侧面，故,在中, 

由余弦定理得：

，

所以，  故,所以,而

，平面

（2）由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

轴建立空间直角坐标系.  

则.

所以,所以, 

则，.  设平面的法向量为，

则,，

令，则，是平面的一个法

向量.                                                      

平面,是平面的一个法向量，

.

两边平方并化简得，所以或（舍去）

20．解：（Ⅰ）

当直线AB的斜率存在时，设

由

.………………..4分

.

………………..6分

，

所以的范围是.………………..8分

………………..10分

………………..12分

21．（Ⅰ）因在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，，

所以，故

所以的最小值为.

（Ⅱ）“若，使成立”等价于

当时，有，

当时，有，

问题等价于：“当时，有”

①当时， 在上为减函数.

则，故.

②当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：

当时，为减函数；

当时，为增函数；

所以，．

所以，与矛盾，不合题意．

综上，

23.解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：

    即：

直线的普通方程为                    4分

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的，得

    即

再将所得曲线向左平移1个单位，得：

又曲线的参数方程为（为参数），设曲线上任一点

则（其中）

点到直线的距离的最小值为.

24. 

对值不等式的性质得解。