江苏省2021年普通高考对口单招文化统考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，若，则的值是（ ）

A．-2 ．-1 ．0 ．1

2．若数组和满足，则实数等于（ ）

A．-3 ．-2 ． ．

3．若复数满足，则的虚部等于（ ）

A．4 ．2 ．-2 ．-4

4．逻辑表达式等于（ ）

A． ． ． ．

5．已知的展开式中的系数为40，则等于（ ）

A．5 ．6 ．7 ．8

6．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ）

A． ． ．2 ．

7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）

A． ． ． ．

8．下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）

A．14条 ．12条 ．9条 ．7条

9．若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）

A． ．

C． ．

10．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）

A． ． ．2 ．4

二、填空题

11．下图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n值是___________.

12．已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.

13．已知，且，则的值是_________.

14．以抛物线的焦点为圆心，且与直线(为参数）相切的圆的标准方程是____________.

15．已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.

三、解答题

16．已知函数的定义域是.

（1）求实数的取值范围;

（2）解关于的不等式.

17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.

(1) 求实数的值；

(2) 求的值；

(3) 求函数的解析式.

18．已知关于的二次函数.

（1）若，，求事件在上是增函数}的概率;

（2）若，，求事件“方程没有实数根”的概率.

19．已知向量，，设函数.

（1）求函数的最大值;

（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.

20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

21．已知数列满足，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

22．某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小?并求最小用料面积.

23．已知椭圆的离心率为.

（1）证明：；

（2）若点在椭圆的内部，过点的直线交椭圆于、两点，为线段的中点，且.

①求直线的方程；

②求椭圆的标准方程.

参

1．B

【分析】

根据集合N和并集，分别讨论a的值，再验证即可.

【详解】

因为，若，经验证不满足题意；

若，经验证满足题意.

所以.

故选：B.

2．C

【分析】

数组的基本运算，由数组相等转化为对应项相等.

【详解】

因为，，

所以.

由，得，.

故选：C.

3．C

【分析】

利用复数的运算性质，化简得出.

【详解】

若复数满足，则

，

所以的虚部等于.

故选：C.

4．D

【分析】

从集合角度去理解逻辑表达式

【详解】

如图，类似于，则类似于

故选：D.

5．A

【分析】

写出x2项，进一步即可解出.

【详解】

，所以.

故选：A.

6．D

【分析】

写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率

【详解】

双曲线的渐近线为，易知与直线平行，

所以.

故选：D.

7．C

【分析】

根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.

【详解】

根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：C.

8．B

【分析】

根据分步乘法计算原理即可求解.

【详解】

由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径.

故选：B

9．A

【分析】

由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.

【详解】

由题，得，所以，

令，得，

所以的对称轴为，

当时，，

所以函数的一条对称轴为.

故选：A

10．B

【分析】

由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】

解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

11．2

【分析】

程序框图中的循环结构，一般需重复计算，根据判断框中的条件，确定何时终止循环，输出结果.

【详解】

初始值：， 

当时，，进入循环；

当时，，进入循环；

当时，，终止循环，输出的值为.

故答案为：2.

12．4

【分析】

根据三数成等差数列列等式，再将，用含和的式子表示，代入等式求解.

【详解】

因为为等比数列，且公比为，

所以，且，.

因为，，成等差数列，

所以，

有，，

解得.

故答案为：.

13．

【分析】

先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.

【详解】

，因为，所以，所以，所以，所以.

故答案为：.

14．

【分析】

将抛物线方程化为标准方程,直线参数方程化为普通方程,结合点到直线的距离公式求得圆的半径,进而得答案.

【详解】

解：将抛物线方程化为标准方程得，所以焦点坐标为，

将直线的参数方程化为普通方程得，

所以点到直线的距离为，

所以所求圆的方程为.

故答案为：

15．

【分析】

先画出函数的图象，转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，再画函数的图象，观察交点的个数，从而求得的取值范围．

【详解】

解：画出函数的图象如下图，

由题意得函数图象上存在互异的三个点，且，

则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点，

由图知，当或时，有且仅有两个交点，

要使两个图象有三个不同的交点，则的取值范围为．

故答案为：．

16．（1）；（2）.

【分析】

（1）本题可根据对数函数的性质得出恒成立，然后通过即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出，然后通过计算即可得出结果.

【详解】

（1）因为函数的定义域是，

所以恒成立，

则，解得，的取值范围为.

（2），即，

因为，所以，即，解得，

故不等式的解集为.

17．(1) ；(2) ；(3) .

【分析】

(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出的值；

(2) 利用偶函数的性质，求，进而可求出的值；

(3) 利用偶函数的性质求出时，的表达式.

【详解】

(1) 由直线过定点可得：，

由，解得，

所以直线过定点.

又因为时，，

所以，

有，.

(2) ，

因为为偶函数，所以，

所以.

 (3) 由(1)知，当时，.

当时，，，

又为偶函数，所以，

综上可知，.

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）根据题意有：，且对称轴，求出基本事件总数，再求出满足事件的事件数，然后利用古典概型概率公式求解；

（2）方程无实根，则，，，，且，画出图形，由测度比是面积比得答案．

【详解】

（1）根据题意有：，且对称轴．

基本事件总数为，

满足事件的事件数为，，，，共有5个，

（A）；

（2）方程无实根，则，

，

又，，，，，

如图，

．

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；

（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．

【详解】

（1）因为，，

所以函数

∴当时，

（2）∵为锐角三角形，.

 又

即

20．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.

【分析】

（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；

（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.

【详解】

（1），

当且仅当时，即取“=”，符合题意；

∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.

（2）

又，∴当时，.

答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.

21．（1）见解析；（2）；（3）

【分析】

（1）计算得到，得到答案.

（2），得到数列通项公式.

（3）根据分组求和法计算得到答案.

【详解】

（1）由，得，∴，又，

∴是首项为3，公比为3的等比数列

（2），∴.

（3）.

【点睛】

本题考查了等比数列的证明，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

22．甲2块，乙1块，8 m2.

【分析】

设需要甲种原料张，乙种原料张，则所用原料的总面积，由题意列出关于，的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【详解】

设需要甲种原料张，乙种原料张，

则，

所用原料的总面积．

由约束条件作出可行域如图，

联立，解得，，即，

由，得，由图可知，当直线过时，

取得最小值为．

故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为 m2．

23．（1）证明见解析；（2）①；②.

【分析】

（1）由可证得结论成立；

（2）①设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；

②将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，可求出的值，即可得出椭圆的方程.

【详解】

（1），，因此，；

（2）①由（1）知，椭圆的方程为，即，

当在椭圆的内部时，，可得.

设点、，则，所以，，

由已知可得，两式作差得，

所以，

所以，直线方程为，即.

所以，直线的方程为；

②联立，消去可得.

，

由韦达定理可得，，

又，而，，

，

解得合乎题意，故，

因此，椭圆的方程为.