匀变速直线运动应用追及和相遇问题

【学习目标】

 1、掌握追及及相遇问题的特点

 2、能熟练解决追及及相遇问题

【自主学习】

两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。

一、追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

    甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离       。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离         。若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离        。

2、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

1初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度         ，即。

⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。

   判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。

②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。

③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

⑶ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。

3、分析追及问题的注意点：

⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意图象的应用。

二、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【典型例题】

例1．在十字路口，汽车以的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

（1）什么时候它们相距最远？最远距离是多少？

（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？

分析：⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

       ⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

例2. 甲乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前乙车在后，它们行驶的速度均为16m/s，已知甲车紧急刹车时加速度3 m/s2，乙车紧急刹车时加速度4 m/s2，乙车司机的反应时间是0.5s（即乙车司机看到甲车刹车后0.5s才开始刹车），求为保证两车紧急刹车过程不相碰，甲乙两车行驶过程至少应保持多大距离？

分析：⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

       ⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

例3、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得＝17.5ｍ，＝14.0ｍ，＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：

（1）该肇事汽车的初速度    vA是多大?

（2）游客横过马路的速度是多大?

分析：⑴审题（写出或标明你认为的关键词）

       ⑵分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点

解题过程：

【针对训练】

1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

2、客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨前方120m处有一列货车正以6m/s的速度同向匀速前进，于是客车紧急刹车，刹车引起的加速度大小为0.8m/s2，问两车是否相撞？

3、如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.

4、下列货车以28.8km/h的速度在铁路上运行，由于调事故，在后面700m 处有一列快车以72m/h的速度在行驶，快车司机发觉后立即合上制动器，但快车要滑行2000m才停下来：

（1）试判断两车会不会相撞，并说明理由。

（2）若不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求快车刹车后经多长时间与货车相撞？

【能力训练】

1．甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v—t图象如图所示，则 （   ）

A．乙比甲运动的快

B．2 s乙追上甲

C．甲的平均速度大于乙的平均速度

D．乙追上甲时距出发点40 m远

２．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始 （   ）

A．A车在加速过程中与B车相遇

B．A、B相遇时速度相同

C．相遇时A车做匀速运动

D．两车不可能再次相遇

3．两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为：（  ）

A．s      　   B．2s    　      C．3s     　    D．4s

4．A与B两个质点向同一方向运动,A做初速为零的匀加速直线运动,B做匀速直线运动.开始计时时,A、B位于同一位置,则当它们再次位于同位置时:           （     ）

 A．两质点速度相等．

 B．A与B在这段时间内的平均速度相等．

 C．A的即时速度是B的2倍．

 D．A与B的位移相等．

5．汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。据上述条件      (    )

A．可求出乙追上甲时的速度；

B．可求出乙追上甲时乙所走过的路径；

C．可求出乙追上甲所用的时间；

D．不能求出上述三者中的任何一个物理量。

6．经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？

7．甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

8．A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。

9.辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？

参

例1：解：两车速度相等时相距最远，设所用时间为t

      v汽＝at＝v自      t＝10s

      最远距离x＝x自－x汽 ＝v自t－at2＝25m

设汽车追上自行车所用时间为t／       此时x自＝x汽     v自t／＝a t／2      t／＝20s

  此时距停车线距离   x＝v自t／＝100m       此时汽车速度   v汽＝a t／＝10m/s

例2：解析：甲刹车经时间t（），甲、乙两车运动情景如图。

    甲车位移：

    甲车速度

    乙车位移

    乙车速度

    二车免碰的临界条件是速度相等时且位置相同（注意，有人错误的认为免碰的临界条件是二车速度为零时位置也相同），因此有，。

    其中s0就是它们不相碰应该保持的最小距离。解以上方程组可得。

例3：解：设刹车速度大小为a       vm2＝2ax    a＝7m/s2

肇事车先匀速，后减速  x匀＋x减＝AB＋BC     x匀＝vAt，t＝0.7s     vA2＝2a x减

由以上计算式可得  vA＝16.7m/s

设肇事汽车从A到E仍做匀速

x匀＝vA t＝11.7m

xBE＝AB－x匀＝5.8m

汽车从E到B做匀减速

vA tEB－a tEB2＝xBE 

tEB＝0.38s

游客横过马路的速度

v＝＝6.8m/s

针对练习：

1.解：两车速度相等时相距最远，设所用时间为t，对汽车有：

v＝at    则t＝＝2s

此时x汽＝at2＝6m

x自＝v自t＝12m

所以两车距离x＝x自－x汽＝6m

2.解：若两车不相撞，速度相等时距离最小，设此时所用时间为t，此时

v客＝vo－at＝v货

t＝17.5s

此时x客＝vo t－at2＝227.5m

x货＝v货t＝105m

x客> x货＋120

所以两车相撞

3.解：设B经时间t速度减为0

v2－at＝0   t＝5s

此时xA＝v1t＝20m

xB＝v2t－at2＝25m

所以此时没追上，AB相距5m，设A走5m所用的时间为t/

v1 t/＝xB－xA    t/＝1.25s

A追上B所用时间

t总＝t＋t/＝6.25s

能力训练：

1.D    2、C   3.B    4.BCD    5、A

6.解：汽车加速度a＝＝0.5m/s2

汽车与货车速度相等时，距离最近，对汽车有：

vo－at＝vt    得t＝28s

vo2－vt2＝2ax汽    得x汽＝3m

而x货＝v货t＝168m

且x汽>x货＋180

所以能发生撞车事故

8.解：vA＝72km/h＝20m/s

A，B相遇不相撞，则A，B相遇时速度相等，设所用时间为t

对A车有：v2＝vA－at

由位移关系：xA＝xB＋100

xA＝vA－at2

xB＝v2t

由以上计算式可得

a＝0.5m/s2

9、解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：

V0t+S0      ……（1）

a =（m/s2） ……（2）

摩托车追上汽车时的速度：

V = at = 0.24 240 = 58 (m/s)                 ……（3）

因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。

应先匀加速到最大速度再匀速追赶。

            ……（4）

           Vm ≥at1                     ……（5）

由（4）（5）得：t1=40/3（秒）

               a=2.25 (m/s)