复数题型总结(原创)

一、复习准备：

1. 回忆：N、Z、Q、R分别代表什么？它们如何发展得来的？

2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：

（1）   （2）  （3）  （4）

3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？

 实数与相乘、相加的结果应如何？

二、学习新知：

1.复数的概念： 

①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。

例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

规定：，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？

③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。

④ 数集的关系： 

上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？

2.例2: (1)已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。(2)讨论中，k取何值时是实数？

三、巩固练习：

1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。

       ②　复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。

3若，则的值是？

4．已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：

（1）实数     （2） 虚数       （3）纯虚数         （4）零

第二课时   3.1.2     复数的几何意义

一、学习新知：

1. 复数的几何意义：

① 思考：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以轴为实轴，轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。 

③例1：在复平面内描出复数分别对应的点。

     （先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是而不是）

观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？

⑤，， 

注意：人们常将复数说成点或向量，规定相等的向量表示同一复数。

2．复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作_______，即|z|＝|a＋bi|＝________.

|z|＝1的几何意义是：

|z-1|＝2的几何意义是：

|z-1- i |＝2的几何意义是：

总结：

二、巩固与提高：

1．若复数表示的点在虚轴上，求实数的取值。

第三课时   3.2.1  复数的代数形式的加减运算

一、学习新知：

1.复数的加法运算

复数的加减法法则：，则，复数的加法运算是否满足交换、结合律。

例1．计算（1）  

（2） 

（3）

（4）

（5）  

（6） 

（7）

二、巩固练习：

1．计算

（1）

（2）

（3）

2．若，求实数的取值。

变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。

3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。

第四课时   3.2.2  复数的代数形式的乘除运算

一、学习新知：

1.复数代数形式的乘法运算

①复数的乘法法则：。

复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？

例1．计算（1）  

（2）  

（3）

（4）

（5）  

（6）

（7）

②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。

注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数：。

例2：说出下列复数的共轭复数。

回忆：分母有理化，试写出复数的除法法则。

2．复数的除法法则： 

其中叫做实数化因子

例3．计算

（1）

（2）

（3）， 

二、巩固练习：

1．计算（1）   

（2）   

（3）

2．若，且为纯虚数，求实数的取值 

需要记忆的知识点总结

1．数系的扩充

数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为____⊆____⊆____，实际上前者是后者的真子集．

2．复数的有关概念

(1)复数的概念

规定，则……

形如a＋bi (a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的______和______．若______，则a＋bi为实数，若______，则a＋bi为虚数，若____________，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__________(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔__________(a，b，c，d∈R)．

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点表示______；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示__________．

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．

(5)复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝________.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________；

④除法：＝＝

＝___________________________________________________________(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________.

补充结论（记忆）

2．乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法则：＝＝＋i(c＋di≠0)．特别地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.

3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：

(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 (n∈N)；

(2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i.