2013年上海高考数学文科试卷带详解

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.不等式的解为         . 

【测量目标】分式不等式.

【考查方式】给出分式不等式，求出满足不等式的解

【参】， 

【试题解析】因为，可得，则，所以答案为，  . 

2.在等差数列中，若，则         .

【测量目标】等差数列的的基本性质. 

【考查方式】通过给出等差数列前四项和，利用等差数列的基本性质当时， ，求出.

【参】

【试题解析】由题意可知， 数列为等差数列，满足时，，因为1+4=2+3，则，所以答案为.

3.设，是纯虚数，其中是虚数单位，则        .

【测量目标】复数的基本概念，纯虚数.

【考查方式】考查了虚数为纯虚数时，虚部为不为零的实数，实部为零，来求出m.

【参】

【试题解析】根据题意得，得出或，又因为，则，所以舍去，从而答案为.

4.若，，则        .

【测量目标】行列式的运算.

【考查方式】通过给出两个行列式，进行化简展开，求出x和y.

【参】3

【试题解析】由题意知和，可得，所以容易得出.

5.已知的内角、、所对的边分别是，，.若，则角C的大小是        （结果用反三角函数值表示）.

【测量目标】余弦定理.

【考查方式】给出三角形边的关系，转换成余弦定理，得出角C的值.

【参】

【试题解析】根据余弦定理将变换为，所以角的大小为.

6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为        . 

【测量目标】加权平均数.

【考查方式】通过给出男生在年级学生所占的比例和男女学生分别的平均分数，求出年级学生的总量和平均分数.

【参】78

【试题解析】根据题意可知，首先设高一年级男女生的总人数为，由此可

得.

7.设常数.若的二项展开式中项的系数为10，则       .

【测量目标】二项式定理.

【考查方式】已知二项式，通过二项式定理，求出其中的未知量.

【参】

【试题解析】根据题意可知，写出二项展开式的通项，从而确定的系数.该二项展开式的通项为令，得，因为项的系数为10,即，所以a.

8.方程的实数解为       . 

【测量目标】指数方程的求解.

【考查方式】通过给出函数的等式，利用换元法来求出x的值.

【参】

【试题解析】根据函数的等式，通项得出，令，可得，解得或，因为恒大于零，所以，所以.

9.若，则        . 

【测量目标】余弦函数的两角和与差，余弦函数的二倍角. 

【考查方式】通过给出余弦函数两角差的展开式，再利用二倍角的的恒等变换，从而求出的值.

【参】

【试题解析】由， = 

2=.

10.已知圆柱的母线长为l,底面半径为，是上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同点，是母线，如图.若直线与所成角的大小为，则        . 

【测量目标】空间异面直线的所成角.

【考查方式】通过给出圆柱中的异面直线，根据直线空间中的平移，求出半径r.

【参】

【试题解析】由图可知                     

11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是       （结果用最简分数表示）.

【测量目标】古典概型，排列数的应用.

【考查方式】给出不同的编号的球，利用排列求出概率.

【参】

【试题解析】根据题意，从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有个.2个数之积为奇数2个数分别为奇数，共有6个.

所以2个数之积为偶数的概率.

12.设是椭圆的长轴，点在上，且.若，，则的两个焦点之间的距离为       .

【测量目标】椭圆的简单几何性质.

【考查方式】通过给出椭圆内三角形的边和角，椭圆的长轴，求出两个焦点的距离.

【参】

【试题解析】设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．

13.设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为        .

【测量目标】基本不等式的应用.

【考查方式】给出含有未知数的不等式，利用均值不等式，求出a的范围.

【参】

【试题解析】由题知，当时，.

14.已知正方形的边长为1.记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若且，则的最小值是        .

【测量目标】平面向量的四则运算.

【考查方式】已知向量的大小和方向，判断出最小值.

【参】-5

【试题解析】当向量互为相反向量，且它们的模最大时，最小.这时=.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.函数的反函数为，则的值是               （    ）

  A.                  B.                     C.                D. 

【测量目标】反函数.

【考查方式】给出函数的解析式，求出其反函数在对应点的值.

【参】A

【试题解析】由反函数的定义可知， 1

16.设常数，集合，.若，则的取值范围为                                                                 （    ）

    A.             B.                 C.               D. 

【测量目标】集合的基本运算（并集）.

【考查方式】结合不等式的性质，通过集合的并集运算，求出a取值范围.

【参】B

【试题解析】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B．

17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的       （     ）

  A.充分条件                                                   B.必要条件

  C.充分必要条件                                            D.既非充分又非必要条件

【测量目标】充分、必要条件.

【考查方式】给出一句逻辑用语，判断出结果.

【参】A

【试题解析】根据题意，得出结果为充分条件.

18.记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则               （    ）

   A.0                 B.                     C.2                    D. 

【测量目标】函数的极限和函数的最值.

【考查方式】给出含有未知数的椭圆方程，椭圆上的点，还有每个点横坐标和与纵坐标和的最大值，求出的极限..

【参】D

【试题解析】椭圆方程（步骤1）,（步骤2）

 （步骤3）

所以x+y的最大值为.（步骤4）

三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积.

【测量目标】三棱锥的表面积与体积.

【考查方式】给出三棱锥的边长和高，求出三棱锥的表面积与体积.

【试题解析】.

设O在面ABC中的射影为Q,BC的中点为E,则OQ=1，QE=,在中.

三棱锥的表面积.

所以，三棱锥的体积，表面积.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.

甲厂以千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元.

（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为；

（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润.

【测量目标】函数模型及其应用.

【考查方式】通过题意，写给出函数的模型，求出最大的利润.

【试题解析】（1）每小时生产克产品，获利，生产千克该产品用时间为，所获利润为.

（2）生产900千克该产品，所获利润为

所以，最大利润为元. 

21.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知函数，其中常数.

（1）令，判断函数的奇偶性并说明理由；

（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像.对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值.

【测量目标】三角函数的图像和性质，抽象函数的奇偶性，三角函数图象的变换.

【考查方式】给出了函数的解析式，判断出抽象函数的奇偶性，再求出函数的图像变换后的某个区间的零点个数.

【试题解析】．法一：解：（1）

是非奇函数非偶函数.(步骤1)

∵∴

函数是既不是奇函数也不是偶函数.（步骤2）

（2）时，，，

其最小正周期.(步骤3)

由，得，

∴Z，即Z区间的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；

若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；（步骤4）

故当时，21个，否则20个. （步骤5）

法二：【解析】 （1）

（步骤1）周期是奇函数，

图像左移后得既不是奇函数，也不是偶函数. 

（2）ω=2，将函数y=f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)

最小正周期.

所以在区间、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,否则21个.

（步骤4）

22.（本题满分16分）本题共有3个小题, 第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

    已知函数.无穷数列满足.

（1）若，求，，；

（2）若，且，，成等比数列，求的值； 

（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.

【测量目标】函数与数列的关系，等比数列的性质，等差数列的性质.

【考查方式】已知函数的解析式和数列和函数的关系，首项条件不同时，求出各个数列的项.

【试题解析】（1）由.（步骤1）

（2）成等比且

.（步骤2）

分情况讨论如何：

当时，

.（步骤3）

当时，

.

综上或.（步骤4）

（3）假设存在公差为的等差数列满足题意，则

讨论如下: 

当即数列为常数数列时.（步骤5）

当数列不是常数数列时所以不满足题意.

综上，存在的等差数列，且满足题意.（步骤6）

23.（本题满分18分）本题共有3个小题.第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

    如图，已知双曲线：，曲线：.是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”.

（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；

（3）求证：圆内的点都不是“型点”.                    

【测量目标】双曲线的简单几何性质及其与直线的关系

【考查方式】给出双曲线的方程和直线的方程，利用双曲线的几何性质它们的相互关系，求出相关问题.

【试题解答】由方程可知,

显然，由双曲线的几何图像性质可知，过.（步骤1）

在曲线图像上取点P(0,1)则直线.这时直线方程为，所以，C1的左焦点是“C1-C2型点”.过该焦点的一条直线方程是.（步骤2）

（2）证明“若直线与有公共点，则＞1”双曲线的渐近线

若直线与双曲线有交点，则.

若直线与曲线有交点，则.

所以，若直线与有公共点，则＞1 . （证毕）（步骤3）

直线与曲线、不能同时有公共交点.

所以原点不是“C1-C2型点”；（步骤4）

（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与都有公共点，显然l不与x轴垂直，

故可设l： 

若，由于圆O夹在两组平行线与之间，因此圆O也夹在直线与之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与无公共点，矛盾，所以. 

因为l与有公共点，所以方程组有实数解，

得.

因为，所以，

因此，

即

因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离

所以从而得与矛盾.

因此，圆内的点不是“”型点.