第二章 静电场典型例题

2.1一半径为的均匀带电圆环，电荷总量为，求：(1)圆环轴线上离环中心点为处的电场强度

题1图

解：(1)如图所示，环上任一点电荷元在点产生的场强为由对称性可知，整个圆环在点产生的场强只有分量，即

积分得到

2.2 半径为的圆面上均匀带电，电荷面密度为，试求：(1)轴线上离圆心为处的场强，(2)在保持不变的情况下，当和时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当和时结果如何?

题2图

解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为的圆环，它所带的电荷量为由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为

则整个均匀带电圆面在轴线上点出产生的场强为

（2）若不变，当时，则；

当，则

(3)若保持不变，当时，此带电圆面可视为一点电荷。则。当时，，则。

2.3 在介电常数为的无限大约均匀介质中，有一半径为的带电的导体球，求储存在介质中的静电能量。

解：导体在空间各点产生的电场为

故静电能量为

2.4 有一同轴圆柱导体，其内导体半径为，外导体内表面的半径为，其间填充介电常数为的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷。试证明储存在每米长同轴导体间的静电能量为

证：在内外导体间介质中的电场为

沿同轴线单位长度的储能为

2.5 已知两半径分别为和的同轴圆柱构成的电容器，其电位差为。试证：将半径分别为和，介电常数为的介质管拉进电容器时，拉力为

证：内外导体间的电场为

插入介质管后的能量变化为

式中为介质管拉进电容器内的长度。故拉力为

2.6 求均匀极化介质圆球的极化电荷分布。

题6图 均匀极化介质

解：圆球表面上存在极化电荷，在半个球面上为正电荷，另半个球面上为负电荷，分布不均匀。以平行于的直径为轴，如题6图所示，则与轴夹角为的地方，极化电荷面密度为

2.7 真空中一半径为的圆球空间内，分布有体密度为的电荷，为常量。试求静电能量。

解：应用高斯通量定理，得出电场强度

故

2.8 今有一球形薄膜导体，半径为，其上带电荷。求薄膜单位面积上所受膨胀力。

解：孤立导体球电容

采用球坐标，原点置于球心，选为，则

的方向与增大的方向相同，为膨胀力。单位面积上的力为

该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。

2.9 在半径为的球体内，均匀分布着电荷，总电荷量为，求各点的电场，并计算电场的散度和旋度。

题9图 电荷的球体分布

解：由于电荷分布的球对称性，电场只有沿方向的分量，并且在与带电球同心的球面上电场的值处处相同。因此，在的区域内，可取半径为的同心球面为高斯面，如题9图所示。高斯面上各点的电场与面元的方向相同。于是，由高斯定理，有

所以

矢量形式为

在的区域内，同样可作出半径为的球面为高斯面。于是，有

式中为高斯面内的电荷，其值为

所以

  当时，由上面的推导结果得出相同的值为；当时，即超过这个表面时电场是连续的。关于上面的结果示于题9图（b）上。

  下面计算电场的散度和旋度。在的区域内，有

而在的区域内，有

2.10 已知电场强度如下式所示，求体电荷密度。

解：因为

所以

2.11 真空中有一电荷线密度为的圆环形均匀带电线，其半径为。试求圆环轴线上任一场点处的电场强度。

题11图

解：采用圆柱坐标系，取圆环中心为原点，并使圆环的轴线与轴重合，如图所示。在圆环上任取一线电荷元，即，它在场点处所产生的场强元为

其中：。由于电荷分布对称，场点处场强元的径向分量相互抵消，故只需计算场强元的分量，于是

在求整个带电圆环在点所产生的场强时，应将场点坐标暂时视为常量，而只对源点坐标积分，但积分后场强仍是场点坐标的函数，这和数学中的累积分（偏积分）类似，即

故

2.12 半径为的空心球金属薄壳内，有一点电荷，离球小距离为，，如图所示。巳知球壳为个性，即壳内外表面总电荷为零。求壳内外的电场。

题12图（a）

解：点电荷在壳内表面产生感应电荷为金属球壳既然为中性，必须壳外表面有感应电荷。由于金属中电场强度为零，即无电力线穿过金属，故该壳有屏蔽作用。壳内电场强度仅由点电荷和感应电荷决定，而与感应电荷无关。壳外电场强度仅由感应电荷决定，而与点电荷和感应电荷无关。

计算壳内电场强度时，采用镜象法将的作用用镜象电荷来代替，如图所示。距球心为，，即与的位置对球心互为反演关系。的量值为

根据和即可计算出壳内电场强度。

题12图（b）

计算壳外电场强度时，可视力和皆不存在。由于为均匀分布，将集中于球心是等效的。

2.13 真空中，电荷按体密度分布在半径为的球形区域内，其中为常数。试计算球内、外的电场强度和电位函数。

解：由于电荷分布具有球对称分布，电场也应具有球对称分布，因此，沿半径方向，且只是的函数。作一半径为的同心球面，应用高斯定律的积分形式可得。当时

而为球面包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。

因此

当时

取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为

球面上的电位为

当时

由于，在球外，电场和电位还可以写成

2.14 已知空间某一区域内的电位分布为，求此空间内的体电荷分布及电场强度。

解：先求电荷体密度

把已知电位分布，代入泊松方程，得

再求电场强度

由

2.15 将介电常数为、内外半径分别为和的介质球壳从无限远处移至真空中点电荷的电场中，并设点电荷位于坐标原点处。求此过程中电场力所做的功。

解：由高斯定理得到

介质球壳移入前后，区域中的静电能量密度分布为

介质球壳移入前后，静电能量的变化量为

即为电场力所做的功。

2.16 自由空间均匀电场中有一厚度为的无限大均匀介质板，相对介电常数，介质板的法线方向与外电场方向夹角为。如果介质板中电场方向与板的法线方向夹角为，求夹角及介质板两表面上的束缚电荷面密度。

解：介质板表面不带自由电荷，则边界条件为：切向电场连续

由于表面为零，则法向电位移矢量连续

两式相除，得

解上述方程，得

2.17 两块无限大接地导体平面分别置于和处，其间在处有一面密度为的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板之间的电场和电位。

解：电位仅是的函数，满足一维拉普拉斯方程，所以

由此可解得

和满足的边界条件为

， 

于是有

由此得到

， 

， 

所以

2.18 可变空气电容器，当动片由至旋转时电容量由25至350直线地变化，当动片为角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为。

解：当动片为角时，电容器的电容为

此时电容器中的静电能量为

2.19 在平行板电极之间放置一个电荷为的微粒，极板间距离为，电荷到下极板的距离为。今将两极板用细导线连接在一起，如图。试求在上极板相下极板的内侧所感应出的电荷。

题19图

解：将该题视为由三个导体组成的静电系统；其中第一号导体是上极板；第二号导体是微粒；令第0号导体是下极板，其电位为零，电位参考点设在其上。导体电位

今将，代入上面联立式的第一式，则

故

式中，，为极板面积。但的计算比较复杂；今利用，故

式中，因此时为均匀电场。最后得

2.20 今有一球形薄膜导体，半径为，其上带电荷。求薄膜单位面积上所受膨胀力。

解：孤文导体球电容

采用球坐标，原点置于球心，选为，则

的方向与增大的方向相同，为膨胀力。单位面积上的力

该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。