中考数学压轴题十大类型

第一讲  中考压轴题十大类型之动点问题

（2011吉林）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 

分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A-B-C-E方向运动，到点E停止；动点Q沿B-C-E-D方向运动，到点D停止，设运动时间为s，△PAQ的面积为y

cm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：

（1） 

当x=2s时，y=_____ 

cm2；当=s时，y=_______ cm2．

（2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y与x之间的函数关系式．

（3）当动点P在线段BC上运动时，求出S梯形ABCD时的值．

（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

 第1题 第2题

2.（2007河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；

（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的关系式；

（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

3.（2008河北）如图，在中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点从点出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线BC-CA于点．点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止．设点运动的时间是秒（）．

（1）两点间的距离是

（2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，求出的值．若不能，说明理由；

（3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值；

（4）连结，当时，请直接写出的值．

（2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线经过O、C两点．点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O-C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒()，△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为________，直线的解析式为__________．

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

（3）试求题(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．

（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

5.（2011四川重庆）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

第二讲  中考压轴题十大类型之函数类问题

（2011浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，b）(b＞0)．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为 

C，记点P关于y轴的对称点为P′

(点P′不在y轴上)，连结P

P′，P′A，P′C，设点P的横坐标为a．

（1）当b=3时，

① 直线AB的解析式；

② 若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；

（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D:DC=1:3时，求a的值；

（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

 第1题 第2题

2（2010武汉）如图，抛物线经过A（－1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形? 

若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

3. （2010浙江舟山)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

（2）如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

①当，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②设b=2am，是否存在这样的m值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

第三讲  中考压轴题十大类型之面积问题

（2011辽宁大连）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

第1题 第2题

2.  （2011湖北十堰）如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点 

B，与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图（1），己知点H（0，-1）．问在抛物线上是否存在点G 

（点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：

（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．

第四讲  中考压轴题十大类型之

三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性

1（2011江苏盐城）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

 第1题 第2题

2（2009湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)

(1)求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

(2)当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；

(3)当时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；

(4)当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

第五讲  中考压轴题十大类型之

四边形存在性问题

（2009黑龙江齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

（3）当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

 第1题 第2题

2.  （2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

第六讲  中考压轴题十大类型之

线段之间的关系

1. （2011四川广安）四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，

∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（），B（），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

 第1题  第2题

2. （2011四川眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(，4)，将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B．

(1) 

求抛物线的解析式和点C的坐标；

(2) 

抛物线上有一动点P，设点P到x轴的距离为，点P到点A的距离为，试说明；

 (3) 

在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

第七讲  中考压轴题十大类型之定值问题

1

（2009湖南株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，，点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．

（1）求点的坐标（用表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：为定值． 

 第1题 第2题

2.（2008山东济南）已知：抛物线(a≠0)，顶点C

(1，0)，与x轴交于A、B两点，．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 

若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP 

，FG分别与边AE、BE相交于点F、G（F与A、E不重合，G与E、B不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

第八讲  中考压轴题十大类型之

几何三大变换问题

1.

（2009山东德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

2.

（2010江苏苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，图②中，

图③是刘卫同学所做的一个实验：他将的直角边与△ABC的斜边AC重合在一起，并将沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点与点重合）．

（1）在沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：两点间的距离逐渐_________．（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当移动至什么位置，即的长为多少时，的连线与平行？

问题②：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

第九讲  中考压轴题十大类型之

实践操作、问题探究

1（2009陕西）问题探究

（1）请在图①的正方形内，画出使∠APB=90°的一个点P，并说明理由．

（2）请在图②的正方形内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．

问题解决

（3）如图③，现在一块矩形钢板，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△

CP ′D钢板，且∠APB=∠CP′D=60°．请你在图③中画出符合要求的点和P ′，并求出的面积（结果保留根号）．

2.

（2009浙江义乌）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m

<2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？________．(本小题只需直接写出答案)

第十讲  中考压轴题十大类型之圆

1．  

（2011湖南湘潭）已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．

（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；

（2）如图（2），当C点运动到A点时，连结PO、BT，求证：PO∥BT；

（3）如图（3），设，求与的函数关系式及的最小值．

 2．  

（2010广东广州）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；

（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长．

 3．  

（2011福建莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由．

第十一讲  中考压轴题综合训练一

（2011河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．  

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为，点P的横坐标为x，求关于的函数关系式，并求出的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

 第1题 第2题

2（2009浙江台州）如图，已知直线交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．

（1）请直接写出点C，D的坐标； 

（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线也随正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

第十二讲  中考压轴题综合训练二

（2011湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．

①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．