一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.(4分)8的相反数是()
A.8-B.8C.1
8-D.
1
8
2.(4分)四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,从正面得到的视图是()
A.B.C.D.
3.(4分)反比例函数4
y
x
=-的图象一定经过的点是()
A.(1,4)B.(1,4)
--C.(2,2)
-D.(2,2) 4.(4分)若两个相似三角形周长的比为1:4,则这两个三角形对应边的比是( )
A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16 5.(4分)如图,//
AB CD,AD AC
⊥,若155
∠=︒,则2∠的度数为()
A.35︒B.45︒C.50︒D.55︒6.(42(810)
+的值应在()
A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间7.(4分)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案用了9根木棍,第②个图案用了14根木棍,第③个图案用了19根木棍,第④个图案用了24根木棍,⋯,按此规律排列下去,则第⑧个图案用的木棍根数是()
A.39B.44C.49D.54
8.(4分)如图,AC是O 的切线,B为切点,连接OA,OC.若30
AB=,
∠=︒,23
A
BC=,则OC的长度是()
3
A.3B.23C.13D.6
9.(4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,45
∠一定等于()
∠=,则FEC
EAF
∠=︒.若BAEα
A.2αB.902α
︒-
︒-C.45α
︒-D.90α10.(4分)在多项式x y z m n
>>>>中,对相邻的两个字母
x y z m n
----(其中)
间任意添加绝对值符号,添加绝对值符号后仍只有减法运算,然后进行去绝对值运算,称此为“绝对操作”.例如:||
----=--+-,
x y z m n x y z m n
----=---+,⋯.下列说法:
x y z m n x y z m n
||||
①存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式相等;
②不存在“绝对操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果.
其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3
二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.(4分)计算:10
23
-+=.
12.(4分)如图,正五边形ABCDE中,连接AC,那么BAC
∠的度数为.
13.(4分)一个口袋中有1个红色球,有1个白色球,有1个蓝色球,这些球除颜色外都相同,从中随机摸出一个球,记下颜色后放回,摇匀后再从中随机摸出一个球,则两次都摸到红球的概率是.
14.(4分)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个,设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为.
15.(4分)如图,在Rt ABC
∆中,90
∠=︒,AB AC
=,点D为BC上一点,连
BAC
接AD.过点B作BE AD
⊥于点E,过点C作CF AD
⊥交AD的延长线于点F.若BE=,1
4
CF=,则EF的长度为.
16.(4分)如图,O 是矩形ABCD的外接圆,若4
AB=,3
AD=,则图中阴影部分的面积为.(结果保留)π
17.(4分)若关于x的一元一次不等式组
34
2
22
x
x a
+
⎧
⎪
⎨
⎪-
⎩
至少有2个整数解,且关于y
的分式方程
142
22
a
y y
-
+=
--
有非负整数解,则所有满足条件的整数a的值之和
是.
18.(4分)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足ab bc cd
-=,那么称这个四位数为“递减数”.例如:四位数4129,411229
-=
,4129
∴是“递减数”;又如:四位数5324,53322124
-=≠
,5324
∴不是“递减数”.若一个“递减数”为312
a,则这个数为;若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除,则满足条件的数的最大值是.
三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每题各10分,共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.(8分)计算:
(1)(2)(1)(1)
a a a a
-++-;
(2)
2
2
(
211
x x
x
x x x
÷-
+++
.
20.(10分)学习了平行四边形后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空:
用直尺和圆规,作AC的垂直平分线交DC于点E,交AB于点F,垂足为点O.(只保留作图痕迹)已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为点O.求证:OE OF
=.
证明: 四边形ABCD是平行四边形,
∴.
DC AB
//
∴∠=.
ECO
垂直平分AC,
EF
∴.
又EOC
∠=,
∴∆≅∆.
()
COE AOF ASA
∴=.
OE OF
小虹再进一步研究发现,过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题:
过平行四边形对角线中点的直线.
21.(10分)为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间,有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架,记录下它们运行的最长时间(分钟),并对数据进行整理、描述和分析(运行最长时间用x表示,共分为三组:合格6070
x<,优等80)
x<,中等7080
x,下面给出了部分信息:
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是:60,,67,69,71,71,72,72,72,82.
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是:70,71,72,72,73.
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
类别A B
平均数7070中位数71b
众数a67
方差30.426.6
根据以上信息,解答下列问题:
(1)上述图表中a=,b=,m=;
(2)根据以上数据,你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好?请说明理由(写出一条理由即可);
(3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架,估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架?
22.(10分)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份?
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份?23.(10分)如图,ABC
∆是边长为4的等边三角形,动点E,F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发,点E沿折线A B C
→→方向运动,点F沿折线A C B
→→方向运动,当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒,点E,F的距离为y.
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性
质;
(3)结合函数图象,写出点E ,F 相距3个单位长度时t 的值.
24.(10分)为了满足市民的需求,我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路,如图:①A D C B ---;②A E B --.经勘测,点B 在点A 的正东方,点C 在点B 的正北方10千米处,点D 在点C 的正西方14千米处,点D 在点A 的北偏东45︒方向,点E 在点A 的正南方,点E 在点B 的南偏西60︒方向.(参考数据:1.41≈ 1.73)
≈
(1)求AD 的长度.(结果精确到1千米)
(2)由于时间原因,小明决定选择一条较短线路进行锻炼,请计算说明他应该选择线路①还是线路②?
25.(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线22y ax bx =++过点(1,3),且交x 轴于点(1,0)A -,B 两点,交y 轴于点C .
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点,过点P 作PD BC ⊥于点D ,过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ,求PDE ∆周长的最大值及此时点P 的坐标;
(3)在(2)中PDE ∆周长取得最大值的条件下,将该抛物线沿射线CB 方向平移
个单位长度,
点M 为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N ,
使得以点A ,P ,M ,N 为顶点的四边形是菱形,写出所有符合条件的点N 的坐标,并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程.
26.(10分)在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,60B ∠=︒,点D 为线段AB 上一动点,连接CD .
(1)如图1,若
9AC =,BD =AD 的长;
(2)如图2,以CD 为边在CD 上方作等边CDE ∆,点F 是DE 的中点,连接BF 并延长,交CD 的延长线于点G .若G BCE ∠=∠,求证:GF BF BE =+;
(3)在CD 取得最小值的条件下,以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ∆.点M 为CD 所在直线上一点,将BEM ∆沿BM 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BNM ∆.连接AN ,点P 为AN 的中点,连接CP ,当CP 取最大值时,连接BP ,将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆,请直接写出此时NQ CP 的值.
2023年重庆市中考数学试卷(A 卷)
参与试题解析
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1.【解答】解:8的相反数是8-.
故选:A .
2.【解答】解:从正面看,底层是两个小正方形,上层的右边是一个小正方形,故选:D .
3.【解答】解: 反比例函数4y x
=-,
4k ∴=-,
A 、1444⨯=≠- ,∴此点不在函数图象上,故本选项不合题意;
B 、1(4)44-⨯-=≠- ,∴此点不在函数图象上,故本选项不合题意;
C 、224-⨯=- ,∴此点在函数图象上,故本选项符合题意;
D 、2244⨯=≠- ,∴此点不在函数图象上,故本选项不合题意.故选:C .
4.【解答】解: 两个相似三角形周长的比为1:4,
∴这两个三角形对应边的比为1:4,
故选:B .
5.【解答】解://AB CD ,
1180BAC ∴∠+∠=︒,
155∠=︒ ,
125BAC ∴∠=︒,
AD AC ⊥ ,
90CAD ∴∠=︒,
235BAC CAD ∴∠=∠-∠=︒,
故选:A .
6.【解答】解:原式
4=+
22.5 6.25= ,
2 2.5∴<<,
45∴<<,
849∴<+<.
故选:B .
7.【解答】解:由图可得,图案①有:459+=根小木棒,
图案②有:45214+⨯=根小木棒,
图案③有:45319+⨯=根小木棒,
⋯,
∴第n 个图案有:(45)n +根小木棒,
∴第⑧个图案有:45844+⨯=根小木棒,
故选:B .
8.【解答】解:连接OB ,
AC 是O 的切线,
OB AC ∴⊥,
90ABO CBO ∴∠=∠=︒,
30A ∠=︒ ,AB =,
2OB ∴==,3BC = ,
OC ∴=
故选:C .
9.【解答】解:在正方形ABCD 中,AD AB =,90BAD ABC ADC ∠=∠=∠=︒,将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒,得ABG ∆,如图所示:
则AF AG =,DAF BAG ∠=∠,
45EAF ∠=︒ ,
45BAE DAF ∴∠+∠=︒,
45GAE FAE ∴∠=∠=︒,
在GAE ∆和FAE ∆中,
AF AG FAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
()GAE FAE SAS ∴∆≅∆,
AEF AEG ∴∠=∠,
BAE α∠= ,
90AEB α∴∠=︒-,
90AEF AEB α∴∠=∠=︒-,
1801802(90)2FEC AEF AEB αα∴∠=︒-∠-∠=︒-⨯︒-=,
故选:A
.
10.【解答】解:||x y z m n x y z m n ----=----,故说法①正确.
若使其运算结果与原多项式之和为0,需出现x -,
显然无论怎么添加绝对值,都无法使x 的符号为负号,故说法②正确.当添加一个绝对值时,共有4种情况,分别是||x y z m n x y z m n ----=----;||x y z m n x y z m n ----=-+--;||x y z m n x y z m n ----=--+-;||x y z m n x y z m n ----=---+.当添加两个绝对值时,共有3种情况,分别是||||x y z m n x y z m n ----=--+-;||||x y z m n x y z m n ----=---+;||||x y z m n x y z m n ----=-+-+.共有7种情况;
有两对运算结果相同,故共有5种不同运算结果,故说法③不符合题意.故选:C .
二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11.【解答】解:10
23-+112=+32
=,故答案为:3
2.
12.【解答】解: 五边形ABCDE 是正五边形,
AB BC ∴=,(52)1805108B ∠=-⨯︒÷=︒,
1801801083622
B BA
C BCA ︒-∠︒-︒∴∠=∠===︒,故答案为:36︒.
13.【解答】解:画树状图如下:
共有9种等可能的结果,其中两次都摸到红球的结果有1种,
∴两次都摸到红球的概率是19
,故答案为:19.
14.【解答】解:根据题意,得21501(1)1815x +=,
故答案为:21501(1)1815x +=.
15.【解答】解:BE AD ⊥ ,CF AD ⊥,
90BEA AFC ∴∠=∠=︒,
90BAE ABE ∴∠+∠=︒,
90BAC ∠=︒ ,
90BAE FAC ∴∠+∠=︒,
FAC ABE ∴∠=∠,
在ABE ∆和CAF ∆中,
BEA AFC ABE FAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
()ABE CAF AAS ∴∆≅∆,
AF BE ∴=,AE CF =,
4BE = ,1CF =,
4AF BE ∴==,1AE CF ==,
413EF AF AE ∴=-=-=,
故答案为:3.
16.【解答】解:连接BD ,
90BAD ∠=︒ ,
BD ∴是O 的直径,
4AB = ,3AD =
,
5BD ∴===,
2525(341224
O ABCD S S S ππ∴=-=⨯-⨯=- 阴影矩形.故答案为:25124
π-
.17.【解答】解:解不等式组34222x x a +⎧⎪⎨⎪-⎩,得522
x a x ⎧⎪⎨+⎪⎩, 至少有2个整数解,∴242
a +,6a ∴,
解分式方程
14222a y y -+=--,得12
a y -=,y 的值是非负整数,6a ,
∴当5a =时,2y =,
当3a =时,1y =,
当1a =时,0y =,
2y = 是分式方程的增根,
5a ∴=(舍去)
,∴满足条件的a 的值有3和1,
314+= ,
∴所有满足条件的整数a 的值之和是4.
故答案为:4.
18.【解答】解:由题意可得1033112a +-=,
解得4a =,
∴这个数为4312,
由题意可得,10(10)10a b b c c d +-+=+,
整理,可得10911a b c d --=,
一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和为:
1001010010a b c b c d
+++++100101001010911a b c b c a b c
=+++++--110101a b
=+99()112a b a b =+++,
又 一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9整除,
∴1129
a b +是整数,且a b c d ≠≠≠,19a ,19b ,19c ,09d ,9a =时,原四位数可得最大值,此时b 只能取0,不符合题意,舍去,当8a =时,1b =,此时7111c d -=,
c 取9或8或7时,均不符合题意,
当c 取6时,5d =,
∴满足条件的数的最大值是8165,
故答案为:4312;8165.
三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每题各10分,共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19.【解答】解:
(1)(2)(1)(1)
a a a a -++-2221
a a a =-+-21a =-.
(2)22(211
x x x x x x ÷-+++222(1)1
x x x x =÷++222
1(1)x x x x +=⨯+11
x =+.20.【解答】证明: 四边形ABCD 是平行四边形,
//DC AB ∴.
ECO FAO ∴∠=∠.
EF 垂直平分AC ,
OA OC ∴=.
又EOC FOA ∠=∠,
()COE AOF ASA ∴∆≅∆.
OE OF ∴=;
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分,
故答案为:FAO ∠;OA OC =;FOA ∠;被一组对边截得的线段被对角线的中点平分.
21.【解答】解:(1)A 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中,72出现的次数最多,故众数72a =,
把B 款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列,排在中间的两个数是70和71,故中位数707170.52
b +==,%150%40%10%m =--=,即10m =.
故答案为:72,70.5,10;
(2)A 款智能玩具飞机运行性能更好,理由如下:
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同,但A 款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B 款智能玩具飞机,所以A 款智能玩具飞机运行性能更好;(答案不唯一);
(3)6200120(140%)1207219210
⨯+⨯-=+=(架),答:估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架.
22.【解答】解:(1)设购买炸酱面x 份,牛肉面y 份,
根据题意得:17015203000x y x y +=⎧⎨+=⎩
,解得:8090x y =⎧⎨=⎩
.答:购买炸酱面80份,牛肉面90份;
(2)设购买牛肉面m 份,则购买炸酱面(150%)m +份,根据题意得:120012606(150%)m m
-=+,解得:60m =,
经检验,60m =是所列方程的解,且符合题意.答:购买牛肉面60份.
23.【解答】解:(1)当点E 、F 分别在AB 、AC 上运动时,AEF ∆为边长等于t 的等边三角形,
∴点E ,F 的距离等于AE 、AF 的长,
∴当04t 时,y 关于t 的函数表达式为y t =,当点E 、F 都在BC 上运动时,点E ,F 的距离等于42(4)t --,∴当46t <时,y 关于t 的函数表达式为42(4)122y t t =--=-,
y ∴关于t 的函数表达式为(04)212(46)y t t y t t =⎧⎨=-+<⎩
;(2)由(1)中得到的函数表达式可知:当0t =时,0y =;当4t =时,4y =;当6t =时,0y =,
分别描出三个点(0,0),(4,4),(6,0),然后顺次连线,如图:
该函数的其中一个性质:当04t 时,y 随t 的增大而增大.(答案不唯一,正确即可)
(3)把3y =分别代入y t =和122y t =-中,得:3t =,3122t =-,
解得:3t =或 4.5t =,
∴点E ,F 相距3个单位长度时t 的值为3或4.5.
24.【解答】解:(1)过D 作DF AE ⊥,垂足为F ,由题意得:四边形ABCF 是矩形,
10AF BC ∴==千米,
在Rt ADF ∆中,45DAF ∠=︒
,
10 1.4114sin 452
2
AF AD ∴===≈⨯≈︒(千米).AD ∴的长度约为14千米;
(2)小明应该选择线路①,
理由:在Rt ADF ∆中,45DAF ∠=︒,10AF =千米,45ADF DAF ∴∠=︒=∠,
10DF AF ∴==千米,
在Rt ABE ∆中,906030ABE ∠=︒-︒=︒,24AB DF CD =+=
千米,tan 3024AE AB ∴=⋅︒=⨯
(千米)
,2EB AE ==千米,按路线①A D C B ---走的路程为14141038AD DC CB ++=++=(千米)按路线②A E B --
走的路程为24 1.7341.52AE EB +=+≈⨯=(千米)38 千米41.52<千米,
∴小明应该选择线路①
.
25.【解答】解:(1)由题意得:2302a b a b ++=⎧⎨
=-+⎩
,解得:1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则抛物线的表达式为:213222y x x =-++;
(2)令2132022
y x x =-++=,
解得:4x =或1-,即点(4,0)B ,
//PE y 轴,则PED OCB ∠=∠,则tan tan 2PED OCB ∠=∠=
,则sin PED ∠=
,cos PED ∠=
由点B 、C 的坐标得,直线BC 的表达式为:1
22y x =-+,则2131122(2)2222222PE x x x x =-+++-=--+,
即PE 的最大值为2,此时,点(2,3)P ,
则PDE ∆
周长的最大值10(1sin cos )(15PE PED PED PE +=+∠+∠=+
=,即PDE ∆周长的最大值为10655+,点(2,3)P ;(3)抛物线沿射线CB
个单位长度,相当于向右平移2个单位向下平移1个单位,则平移后抛物线的对称轴为72
x =,设点7(2M ,)m ,点(,)N s t ,
由点A 、P 的坐标得,218AP =,
当AP 是对角线时,由中点坐标公式和AM AN =得:
2222712237(1)(1)2s m t m s t ⎧-+=+⎪⎪=+⎨⎪⎪++=++⎩,解得:329252m t s ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩,即点N 的坐标为:5(2-,9)2
;
当AM 或AN 是对角线时,由中点坐标公式和AN AP =或AM AP =得:
2271223(1)18s m t s t ⎧-=+⎪⎪=+⎨⎪++=⎪⎩或2271237(1)182
s t m m ⎧-=⎪⎪=+⎨⎪⎪++=⎩,
解得:1223732s t m ⎧=⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪=±⎪⎩
(不合题意的值已舍去),即点N 的坐标为:1(2
,;综上,点N 的坐标为:1
(2
,或1(2
或5(2-,92.26.【解答】(1)解:在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,
60B ∠=︒ ,9AC =
,
BC ∴==
,2AB BC =
=BD =
,
AD AB BD ∴=-=(2)证明:取AB 的中点O ,连接OC
,如图:
在Rt ABC ∆中,点O 为斜边AB 的中点,
OC OB ∴=,
60ABC ∠=︒ ,
BOC ∴∆为等边三角形,
CO CB ∴=,60OCB BOC ∠=∠=︒,
120DOC ∴∠=︒,
CDE ∆ 为等边三角形,
CD CE ∴=,60DCE ∠=︒,
60DCE OCB ∴∠=∠=︒,即OCD OCE OCE BCE ∠+∠=∠+∠,
OCD BCE ∴∠=∠,
在OCD ∆和BCE ∆中,
CD CE OCD BCE CO CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
()OCD BCE SAS ∴∆≅∆,
120EBC DOC ∴∠=∠=︒,
180OCB EBC ∴∠+∠=︒,
//OC BE ∴,
在GF 上截取HF BF =,连接DH ,
点F 是DE 的中点,
FE FD ∴=.
在BEF ∆和HDF ∆中,
BF HF BFE HFD FE FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
()BEF HDF SAS ∴∆≅∆,
BE HD ∴=,BEF HDF ∠=∠,
//DH BE ∴,
//DH OC ∴,
HDG OCD ∴∠=∠,
又G BCE ∠=∠,
G HDG ∴∠=∠,
HG HD ∴=,
HG BE ∴=,
GF HG FH BE BF ∴=+=+;
(3)解:取AB 的中点S ,连接PS ,如图:
在CD 取得最小值时,CD AB ⊥,
设4AB a =,则2BC a =,AC =,
2ABC S AC BC AB CD ∆=⋅=⋅ ,
AC BC CD
AB ⋅∴==,12
BD BC a ==,CDE ∆ 是等边三角形,
60DCE ∴∠=︒,CD CE =,
603030BCE DCE DCB DCB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒=∠,
BC BC = ,
()BCD BCE SAS ∴∆≅∆,
BD BE a ∴==,
将BEM ∆沿BM 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BNM ∆,BE BN a ∴==,
N ∴的运动轨迹是以B 为圆心,a 为半径的圆,
点P 为AN 的中点,S 为AB 的中点,
1122
PS BN a ∴==,P ∴的运动轨迹是以S 为圆心,12
a 为半径的圆,当CP 最大时,C ,P ,S 三点共线,过P 作PT AC ⊥于T ,过N 作NR AC ⊥于R ,如图:
S 是AB 中点,
122
BS AS CS AB a ∴===
=,60ABC ∠=︒ ,
BSC ∴∆是等边三角形,
60PCB ∴∠=︒,2BC CS a ==,
30PCA ∴∠=︒,
15222
CP CS PS a a a =+=+= ,15
24
PT CP a ∴==,534CT ==,
4AT AC CT ∴=-=,连接PQ 交NR 于W ,如图:
将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆,PQ BC ∴⊥,
AC BC ⊥ ,
//PQ AC ∴,即//PW AR ,
P 为AN 中点,
PW ∴是ANR ∆的中位线,
12
NW RW NR ∴==,
同理可得PT 是ANR ∆的中位线,12
PT NR ∴=,54PT NW RW a ∴===,13324PW AR AT ===, 将BCP ∆沿BC 所在直线翻折至ABC ∆所在平面内得到BCQ ∆,60QCB PCB ∴∠=∠=︒,CP CQ =,120QCP ∴∠=︒
,
532
PQ ∴==,533373244WQ PQ PW a ∴=-=
-=
,432
NQ a ∴===,
∴
2552NQ CP a ==.