泛函分析中的概念和命题

赋范空间，算子，泛函

定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach空间.

定理：是赋范线性空间的一个真闭线性子空间，则使得：

定理：设是赋范线性空间，是上的线性泛函，则

1.

2.

定理：

可分B空间：   不可分

Hahn-Banach泛函延拓定理

设为线性空间，，若：

(1)

(2)

(3) 

实Hahn-Banach泛函定理: 设是实线性空间，是定义在上的次可加正齐性泛函，是的线性子空间，是定义在上的实线性泛函且满足，则必存在一个定义在上的实线性泛函，且满足：

1．

2. 

复Hahn-Banach泛函定理: 设是复线性空间，是定义在上的次可加对称泛函，是的线性子空间，是定义在上的线性泛函且满足，则必存在一个定义在上的线性泛函，且满足：

1．

2. 

定理: 设是线性空间， 若， 则在上必存在非零线性泛函。

Hahn-Banach延拓定理: 设是赋范线性空间， 是的线性子空间，是定义在上的有界线性泛函，则必存在一个定义在上的有界线性泛函，满足：

1．

2. 

定理：设是赋范线性空间，是的线性子空间，则必有

，满足：

    (1)

定理：设是赋范空间，

定理：设是赋范空间，

凸集分离定理

极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间

超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形

承托超平面：承托超平面

Minkowski泛函：

取值于的函数：    

与对应，称函数为的Minkowski泛函

定理：是赋范空间的(闭)超平面存在上的非零(连续)线性泛函及

Hahn-Banach定理的几何形式: 设是赋范空间，是的具有内点的真凸子集，又设

定理：设是赋范空间，则

Ascoli定理：设是赋范空间，是的真闭凸子集，则适合

Mazur定理：设是赋范空间，是的一个有内点的凸子集，是的一个线性流形，又设

定理：设是赋范空间，是的一个含有内点的闭凸集，则通过的每个边界点都可以作出的一个承托超平面

基本定理

定理：

开映射定理：

Banach逆算子定理：

等价范数定理：设是线性空间，和是上的两个范数，若关于这两个范数都成为Banach空间，而且强于，则也强于，从而和等价

闭算子：若的图像是赋范线性空间中的闭集，则称是闭映射或闭算子

闭算子判别定理：设是赋范空间，

若

闭图像定理：，而且是闭算子，若

是的闭线性子空间，则是连续的

定理：，则连续是闭算子

共鸣定理：是赋范空间，如果，都有

自反空间与共轭算子

除声明外下面的都是一般的赋范线性空间

共轭空间：

伴随算子:

1.

2.

3.

4.

定理：若；是Banach空间，

      自反空间的闭线性子空间是自反空间

      自然嵌入映射是赋范空间到的保范的有界线性算子，即：

Riesz表示定理：设X是局部紧空间，

(1)若上的正线性泛函，则存在X上一个正则Borel测度u，使得对任都有

(2)若，则存在X上一个广义正则Borel测度u，使

(3)若是X上具有紧支集的复连续函数空间，则对上任一有界复线性泛函，存在复正则Borel测度u，使

弱收敛和弱列紧

基本概念：弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛；

          弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧

定理：设

     1.

     2.

定理：设

     1.

     2.

定理：设

     1.

     2.

定理：设则存在由的凸组合构成的点列使其强收敛到，且

定理：可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的

Hilbert Space

基本概念：除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X

内积：一个(数域K上)线性空间上的内积指的是共轭双线性泛函：，它满足正定性和共轭对称性。内积空间：定义了内积的线性空间。定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。内积导出的范数满足平行四边形公式。内积(按内积导出的范数)是上的连续函数.若由内积导出的范数是完备的，这样的内积空间称为Hilbert空间

定理：设是内积空间，是由内积导出的范数，则与满足如下关系：当是实线性空间时，

当是复线性空间时，

极化恒等式：， 

定理：为了在赋范线性空间中引入内积，使得由导出的范数就是，当且仅当满足平行四边形公式：

定理：设是内积空间，是的非空子集，，则

1.       2.

3.                 4.

5.              6.   

定理：设是希尔伯特空间，是的非空闭凸子集，则，使得

正交分解定理：设是希尔伯特空间的一个闭线性子空间，，存在唯一的正交分解：

定理：设是希尔伯特空间，是的线性子空间，则：

1.      2. 

定理：

定理：假定是，那么有Parseval不等式：

定理：是，有Fourier展开式和Parseval等式：，

其中：。

定理：是，有：

定理：标准正交系完备

定理：。

定理：；实(复)有穷维可分Hilbert空间都与Hilbert空间同构

Riesz表示定理：设是希尔伯特空间，是上的连续线性泛函，则必有唯一的

，使得：

有界双线性泛函：，A被唯一确定

    Hermite双线性泛函：

    命题：若

Hilbert Space中的算子

常见算子(除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X)

0．正规算子：。酉算子：等距满射算子。自伴算子：

   ；

1．

  ；

；  

2．当考虑复空间时，有结论：

设

   设

   设A是自伴算子，则它的特征值是实数，且不同的特征值对应的特征向量正交

   设A是自伴算子，则.

   设A是自伴算子，则

3．设为自伴算子，

(当考虑复空间时,自伴算子的条件可去掉，极化恒等式)

   设

   设A是正算子，则也是正算子，其中n是正整数；且有性质：

   设为一致有界的单调自伴算子列，则存在唯一的自伴算子A，使强收敛到A

设A是正算子，则存在唯一的正算子S，使，称S为A的正平方根，记为；是A的某一多项式序列按强算子拓扑收敛的极限，与A可换的算子必与可换.

设A是正算子，

设自伴算子

4．是投影算子是自共轭算子，

   ，则：

；此时的投影子空间是在中的正交余空间

定理:

定理：设是Hilbert空间上的对称紧算子，则必有使得：

定理：设是Hilbert空间上的对称紧算子，则有至多可数个非零的，只可能以0为聚点的实数，它们是算子的本征值，并对应一组正交规范基(不一定可数)，使得：

线性算子的谱

概念：正则值，点谱，连续谱，剩余谱，预解式，谱半径，

定理：设，则

   1.

   2.； 

   3.

   4.

   5.

紧算子

除声明外下面的都是一般的赋范线性空间

是紧算子

Fredholm结论：是紧算子，令，则是闭值域算子，且：

1.

2.

3.

紧算子的谱：是紧算子，则：

1.；2.；3.；

4.

Fredholm算子

定义：称为一个Fredholm算子，是指

定义：是一个Fredholm算子，令

，并称其为的指标

定理：若和紧算子

定理：，又有，以及紧算子和紧算子，使得

上面两个定理中

定理：设，则有：

定理：若且时，有

参考书目：

泛函分析讲义(上册)    张恭庆，林源渠

实变函数与泛函分析概要(下册)    郑维行，王声望

实变函数与泛函分析(下册)    薛昌兴

巴拿赫空间引论    定光桂