2008天津高考数学理科试卷及答案

数学（理工类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

    1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码．

    2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．

    3．本卷共10小题，每小题5分，共50分．

参考公式：

    如果事件互斥，那么                        球的表面积公式

                            球的体积公式

    如果事件相互，那么                    其中表示球的半径

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．是虚数单位，（    ）

A．        B．        C．        D．

2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（    ）

A．2        B．3        C．4        D．5

3．设函数，则是（    ）

A．最小正周期为的奇函数        B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数        D．最小正周期为的偶函数

4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（    ）

A．        B．

C．        D．

5．设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则到右准线的距离为（    ）

A．6        B．2        C．        D．

6．设集合，，，则的取值范围是（    ）

A．                B．

C．或            D．或

7．设函数的反函数为，则（ D   ）

A．在其定义域上是增函数且最大值为1

B．在其定义域上是减函数且最小值为0

C．在其定义域上是减函数且最大值为1

D．在其定义域上是增函数且最小值为0

8．已知函数则不等式的解集是（    ）

A．        B．

C．            D．

9．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（    ）

A．        B．            C．            D．

10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（    ）

A．1344种        B．1248种        C．1056种        D．960种

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．

3．本卷共12小题，共100分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．

11．的二项展开式中的系数是         （用数字作答）．

12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为           ．

13．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为          ．

14．如图，在平行四边形中，，。/

则        ．

15．已知数列中，，，则        ．

16．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为           ．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18．（本小题满分12分）

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．

（Ⅰ）求乙投球的命中率；

（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

22．（本小题满分14分）

在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求数列与的通项公式；

（Ⅲ）设，证明．

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．A    2．D    3．B    4．C    5．B    6．A    7．D    8．C    9．A    10．B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．

11．40        12．24        13．        14．3

15．        16．

三、解答题

17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是

．

．

解法二：由题设得，即．

又，从而，解得或．

因为，所以．

（Ⅱ）解：因为，故．

，．

所以，

．

18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，

由题意得

，

解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．

（Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，．

可能的取值为0，1，2，3，故

，

，

，

．

的分布列为

19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．

（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以异面直线与所成的角的大小为．

（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．

因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．

由题设可得，

，，

，，

．

于是在中，．

所以二面角的大小为．

20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分．

（Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是．

由切点在直线上可得，解得．

所以函数的解析式为．

（Ⅱ）解：．

当时，显然，这时在，内是增函数．

当时，令，解得．

当变化时，，的变化情况如下表：

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当

   即

对任意的成立．

从而得，所以满足条件的的取值范围是．

21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得

   解得

所以双曲线的方程为．

（Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得

．

此方程有两个不等实根，于是，且

．整理得

．        ③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线的方程为

．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得

．

整理得

，．

将上式代入③式得，

整理得

，．

解得或．

所以的取值范围是．

22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．

（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得．

（Ⅱ）解法一：由题设，，，及，，

进一步可得，，，，猜想

，，．

先证，．

当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下：

（1）当时，，等式成立．

（2）假设当时等式成立，即，．

由题设，

，      ①

．            ②

①的两边分别减去②的两边，整理得，从而

．

这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立．

综上所述，等式对任何的都成立．

再用数学归纳法证明，．

（1）当时，，等式成立．

（2）假设当时等式成立，即，那么

．

这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．

解法二：由题设

，       ①

．       ②

①的两边分别减去②的两边，整理得，，所以

，

，

……

，．

将以上各式左右两端分别相乘，得

，

由（Ⅰ）并化简得

，．

上式对，也成立．

由题设有，所以，即

，．

令，则，即．由得，．所以

．即

，．

解法三：由题设有，，所以

，

，

……

，．

将以上各式左右两端分别相乘，得

，

化简得

，．

由（Ⅰ），上式对，也成立．所以

，．

上式对也成立．

以下同解法二，可得，．

（Ⅲ）证明：

．

当，时，

．

注意到，故

．

当，时，

．

当，时，

．

当，时，

．

所以，

从而时，有

总之，当时有，即．