第四章 光学仪器

1 眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示，其曲率半径为5.55mm，内部为折射率等于4/3的液体，外部是空气，其折射率近似等于1，试计算眼球的两个焦距。用肉眼来观察月球时，月球对眼睛的张角为10，问视网膜上月球的象有多大？

解：(1)根据单球面折射系统焦距的计算公式：

已知：n=1、n＇=4/3、r=5.55mm，代入公式，得：

象方焦距：f＇=22.2mm     物方焦距：f=-16.7mm

（2）月球对眼睛的张角：U=10，在眼睛内，张角为U＇

在角度不太大时，折射定律：nsinU=n＇sinU＇可近似写为：nU=n＇U＇

视网膜上的象长：

附：若简单计算， 

2 把人眼的晶状体看成距视网膜2cm的一个简单透镜，有人能看清距离在100cm到300cm间的物体。试问：（1）此人看清远点和近点时，眼睛透镜的焦距是多少？（2）为看清25cm远的物体，需配戴怎样的眼镜？

解：（1）设看清近点100cm处的物体，眼睛的焦距为f1＇，

此时，物距：s=-100cm、象距：s＇=2cm

由：   解出：f1＇=1.961cm

设看清远点300cm处的物体，眼睛的焦距为f2＇，

此时，物距：s=-300cm、象距：s＇=2cm

由：   解出：f2＇=1.987cm

(2) 为看清25cm处的物体，设需配戴眼镜的焦距为f＇

在成象时,物距: s=-25cm、象距：s＇=-100cm

由：   解出：f2＇=1/3cm

光焦度:Φ=1/ f2＇=3屈光度=300度，即此人应佩戴300度的凸透镜。

3 一照相机对准远物时，底片距物镜18cm，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距20cm，求目的物在镜前的最近距离。

解：当照相机对准远物时，物距为：s1=-∞，象距为：s1＇=18cm

设照相机镜头的焦距为f＇，有： 

解出焦距为：f＇=18cm

当镜头拉至最大长度成象时，象距为：s2＇=20cm，设物距为s2，

代入：     解出：s2=-180cm

即物到镜头的最近距离为1.8m。

4 两星所成的视角为4＇，用望远镜物镜照相，所得两象点相距1mm，问望远镜物镜的焦距是多少？

解：根据题意做出光路图。

已知：U=4＇、y＇=1mm

由图得到： 

5 一显微镜具有三个物镜和两个目镜，三个物镜的焦距分别为16mm、4mm、1.9mm，两个目镜的放大本领分别为5和10倍。设三个物镜形成的象都能落在象距160mm处，问这显微镜的最大和最小放大本领为多少？

解：因三个物镜形成的象都能落在象距160mm处，且知道物镜的焦距，根据：，分别计算得到物镜的横向放大率：

β1=-10    β2=-40    β3=-84.2  

已知目镜的放大本领：M1=5×  M2=10×

由：M=β物M目 可得到：

显微镜的最大放大本领：M大=β物3M目2=-842×

        最小放大本领：M小=β物1M目1=-50×

6 一显微镜物镜焦距为0.5cm，目镜焦距为2cm，两镜间距为22cm。观察者看到的象在无穷远处，试求物到物镜的距离和显微镜的放大本领。

解：因最后形成的象在无穷远处，说明

物镜成的象在目镜的物方焦平面上。

已知：f2＇=2cm、f1＇=0.5cm、L=22cm

物镜所成象的象距：s1＇= L-f2＇=20cm

    由： 解出物体到物镜的距离：s1=-0.51cm

    因显微镜的放大本领： 

    代入数据解出显微镜的放大本领：M=-550×

7 眼睛的构造可简化为一折射球面，其曲率半径为5.55毫米，内部为折射率等于的液体，外部是空气。计算其两个焦距。若月球在眼睛的节点所张的角为10，试问网膜上月球的象有多大？

解：眼睛的物方焦距和象方焦距分别为

    毫米=-1.665厘米

    毫米=2.22厘米

若月球的张角为10，考虑到折射定律，则

将厘米代入上式，得

毫米

8 冉斯登目镜由两个同种玻璃的平凸透镜组成，两者焦距均为36毫米，若两透镜间的距为28毫米。求此目镜的焦距和放大本领，并问分划板应放置在何处？

解：根据空气中薄透镜组的公式，已知毫米，毫米，则由公式得冉斯登目镜的焦距为

冉斯登目镜的物方主平面位置由公式可知

毫米

分划板应放在冉斯登目镜的物方焦点处，即，离场镜左方6.55毫米处，其放大本领为

9 惠更斯目镜是由两个同种玻璃的凸透镜组成，场镜的焦距是视镜焦距的三倍，两者相隔的距离等于视镜焦距的两倍。若要制造一个放大本领为10的惠更斯目镜，所用的玻璃材料的折射率为，试求两块透镜的距离及其曲率半径。

解：根据惠更斯目镜的放大本领可得其焦距为

          厘米

又由空气中的薄透镜组的焦距公式可知

              厘米     

厘米         厘米

  应用透镜焦距公式，已知。故场镜凸面的半径由下列方程：

解得     厘米

视镜凸面半径满足下列方程

解得     厘米

故两块透镜的距离为厘米，其曲率半径分别为2.5815厘米和0.8605厘米。

10 一显微镜具有三个物镜，两个目镜。三个物镜的焦距分别16、4、1.9毫米，两个目镜的放大本领分别为5、10倍。设三物镜所成之象都能落在象距160毫米处，问这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少？

解：由显微镜放大本领公式得

11 一显微镜物镜和目镜相距200毫米，物镜的焦距毫米，目镜的焦距毫米。若最后观察到的象在无穷边，试求：（1）被观察物到物镜的距离；（2）显微镜的放大本领为多少？

解：（1）因为最后观察到的象在无穷远，所以经由物镜成象必定在目镜的物方焦平面上。已知目镜的焦距为5毫米，故第一次成象的象距毫米。根据物镜焦距毫米和象距毫米，由公式计算物到物镜的距离为

      毫米

（2）显微镜的放大本领

由和及物镜的横向放大率公式可得

而目镜的放大本领为

所以显微镜的放大本领为

12 一架伽利略望远镜，物镜和目镜之间距离为12厘米。若该望远镜的放大本领为4，试求物镜和目镜的焦距各是多少？

解：伽里略望远镜是用发散透镜来做目镜的，且物镜的象方焦点和目镜的物方焦点相重合。故由已知条件可得

             厘米

  厘米

13  有一光阑孔径为2.5厘米，位于透镜前1.5厘米，透镜焦距为3厘米，孔径4厘米，物长1厘米。位于光阑前6厘米处，试求：（1）入射光瞳和出射光瞳的位置及大小；（2）象的位置，并作图表示。

解：（1）因光阑前面没有透镜，直接比较光阑及透镜对物的张角，光阑即入射光瞳。出射光瞳是这光阑为其后面透镜所成的象。设此象离透镜的位置为，象的大小为。已知厘米，厘米，

代入：     ，得厘米。

由横向放大率   

得 ：      厘米

（2）象的位置的计算：已知厘米，厘米，代入物象公式：

             得厘米

14  证明望无镜光具组的放大本领等于入射光瞳与出射光瞳直径之比。

解：开普勒望远镜，入镜光瞳为其物镜，出射光瞳为物镜被目镜所成的象。

由如图所示的光路图可见：，故,但为入射光瞳（即物镜）的直径，为出射光瞳的直径，而望远镜的大本领为

即      

15  使用50倍望远镜时，为了在网膜上成象的照度不小于用肉眼观察时的照度，望远镜的孔径和焦距应为多少？已知眼睛瞳孔直径为2毫米，焦距为22.8毫米，不计望远镜中光能的损失。

解：仅当眼睛放在望远镜出射光瞳的位置，且出射光束的大小等于眼睛瞳孔的大小时，才能接收全部的出射光通量。

由上题知，其中M=50，D2=2毫米，故可得物镜孔径毫米=10厘米，D1即物镜的直径。远物的照度，式中是相对孔径。

现要求用望远镜观察与用肉眼观察的照度相同，即

故厘米，即物镜焦距。

16 有一光阑直径为5厘米，放置在薄透镜后3厘米处，透镜的焦距为5厘米，孔径为6厘米，今有一高为3厘米的物PQ置于透镜前12厘米处，试求：（1）对主轴上P点的入射光瞳和出射光瞳的大小和位置；（2）象的位置；（3）作光路图。

解：（1）首先计算光阑对其前面的透镜所成的象的位置和大小

         厘米

由公式得

        厘米

由公式得

厘米

比较透镜L的边缘和光阑的象对P点的孔径角

故透镜为有效光阑，也是整个光具组的入射光瞳和出射光瞳。

（2）将厘米，厘米代入高斯公式，得象距为

      厘米

（3）注意光阑经透镜L成象时，其实图中F是象方焦点，但PQ经透镜L成象时，F为物方焦点。

17  H、为光具组的主点，F、焦点，E为对于物点P的入射光瞳，为其半径。已知，物长（单位都是厘米）。作光路图计算：（1）象的位置；（2）象长；（3）入射孔径角；（4）对P点的出射光瞳半径和孔径角。

解：（1）将厘米，厘米代入高斯公式得

      厘米

（2）由公式（3—14）得

    厘米

（3）

（4）将厘米，厘米代入高斯公式得

         厘米

出射光瞳的半径可根据式得

         厘米

令为象点到出射光瞳中心的距离，则出射孔径角为

18 孔径都等于4厘米的两个薄透镜组成的同轴光具组，一个是会聚的，其焦距为5厘米，另一个是发散的，其焦距为10厘米。两个透镜中心间的距离为4厘米。对于会聚透镜前面6厘米处一个物点来说，试问：（1）哪一个透镜有效光阑？（2）入射光瞳和出射光瞳的位置在哪里？入射光瞳和出射光瞳的大小各等于多少？

解：（1）将发散透镜作为物对凸透镜成象，由新笛卡儿符号法则，成象的位置计算如下：

厘米   （物在右方）

厘米（因物在右方，故象方焦点在左方）

   厘米

成象的高度为

           厘米

所以凹透镜经凸透镜所成的象对物点所张的孔径角为

而凸透镜对物点所张的孔径角

因为>，所以凸透镜为同轴光具组的有效光阑。

（2）L1为入射光瞳，其直径为4厘米。L1经L2成的象为出射光瞳，光瞳的位置及大小分别计算如下：

将S=-4厘米,厘米代入高斯公式得

厘米

  =-2.857厘米

   由横向放大率公式得出射光瞳的直径为

厘米

注意图中为透镜L1的半径作为物经L2所成的虚象。

19 光源的发光效率定义为光通量与输入电动率之比。某灯装在离桌面3米高处，其发光效率为10流明/瓦特，如果在桌面上的光照度等于太阳光不直接照射到的露天地的照度，即约为1辐透，这灯输入电功率应为多少？假设这灯对它的下半球是均匀辐射的。

解：  

20 在直径为3米的圆桌中心上面2米高处挂一盏200坎德拉的电灯，求圆桌中心与边缘的照度。

解：圆桌中心的照度由公式得

勒克斯=0.005辐透

圆桌边缘的照度为：

勒克斯=0.00256辐透

21 一灯（认为是点光源）悬在圆桌的上空，桌的半径为R，为了使桌的边缘能得最大的照度，灯应悬在离桌面中心多少高度处？

解：设桌的边缘的照度为E，桌中心的照度为E0，则由公式得

式中l为光源离在桌子的边缘的距离，x为光源离桌面中心的距离

即        

故灯应悬在离桌面中心处

22 一氦-氖激光器，发射出波长为6328的激光束，功率为3毫瓦，发散角为1毫弧度，放电毛细管的直径为1毫米，问此激光束的光通量为多少流明？并且人眼只能观看1熙提的亮度。问所带保护眼镜的透过率应该是多少？已知6328波长光的视见函数，视见函数为1的5550的发光效率为685流明相当1瓦特。

解：3毫瓦的6328的激光相当的流明数为

  流明其亮度B：

可知，应先分别计算、，立体角为

式中因为发散角i很小，故的半径近似可用弧长ri替代。

激光光源的表现面积

将流明，，厘米2，代入亮度表式得

熙提

因为人眼观看的安全亮度为1熙提，因此所采用的保护眼镜的透过率为：

23 焦距为20厘米的薄透镜，放在发光强度为15坎德拉的点光源之前30厘米处，在透镜后面80厘米处放一屏，在屏上得到明亮的圆斑，不地透镜中光的吸收时，求圆斑的平均照度。

解：将厘米，厘米代入高斯公式得象距为

厘米

设透镜的面积为，通过该面积的光通量为；屏上圆斑的面积为，通过它的光通量为。由于不计透镜中的光吸收，故

           =

设透镜对物点P所张的立体角为，亮斑对象点所张的立体角为，那么由照度定义可知

设象点距透镜的距离为R0，那么

坎德拉

而      =1500勒克斯=0.15辐透

24 现用冕牌玻璃和火石玻璃来做消色差胶合物镜，焦距为100毫米。若已知其中发散透镜的非胶合面为平面，试求其余各面的曲率半径。

解：根据已知的K9和F4玻璃的数值分别求出阿贝数为

已知消色差胶合物镜的焦度

            屈光度

用消色差条件，得K9和F4玻璃的焦度为

   由于已知发散透镜的非胶合面为平面，即发散透镜的，故胶合面半径满足由公式所确定的下列关系

即：       

米

   对于会聚透镜K9，其中米为胶合面，故应满足如下由公式所确定的关系式：

即：    

米

25 夜间自远处驶来汔车的两前灯相距1.5米，试从眼睛瞳孔产生的圆孔衍射，估计正常眼力的人在多远处距离才能分辨出光源是两个灯。设眼睛瞳孔的直径为3毫米。设光源发出的光的波长为5500。

解：设分辨最远的距离为l的两个灯，则

式中y为两灯的距离。

设瞳孔的直径为D，则眼睛能分辨两点的张角由公式可知为

厘米=6.7公里

26 孔径为20厘米和160厘米的两种望远镜能否分辨清月球上直径为500米的环形山？设月球到地面的距离约为地球半径的60倍，而地球的半径约为6370公里。

解：设望远镜的孔径分别为D1和D2，则由公式可知

   弧度

   弧度

环形山的张角U为

弧度

式中d为环形山的直径，l为月球和地面的距离。

故孔径为20厘米不能分辨直径为500米的环形山。

而            

故孔径为160厘米能分辨直径为500米的环形山。

27  （1）显微镜的分辨本领用紫外光（2750）照相比可见光（5500）照相时增大多少倍？（2）它的物镜在空气中的数值孔径约为0.9，用紫外光时能分辨的两条线之间的距离是多少？（3）用油浸系统（n=1.6）时，这最小距离是多少？（4）照相底片上感光微粒的大小约为0.5毫米，问当油浸系统的紫外光显微镜的物镜横向放大率为多少时，底片恰能分辨。

解：（1）显微镜的分辩极限，在其它条件相同的情况下，用不同波长的照射时，，和可见光作比较， =2，即用紫外光明，显微镜的分辨本领近似增大2倍。

（2）用紫外光照射时的分辨极限由公式（4—9）可知为

将厘米代入上式得

          米=0.186微米

   （3）紫外光照射外，且用油浸法时的分辨极限为

         米=0.1165微米

   （4）物镜的横向放大率由公式（3—14）可知为

         时，底片恰能分辨。

28  一反射式天文望远镜的通光孔径为2.5米，试求能被分辨的双星的最小夹角，光在空气中的波长为，求与人眼（瞳孔直径为2毫米）相比，在分辨本领方面提高的倍数。

解：设望远镜的分辨极限角为，则

将=10-4毫米，D=2500毫米代入上式得

弧度

眼睛的最小分辨角由公式可知为

将毫米，毫米代入上式得

弧度

所以用望远镜可提高分辨本领的倍数为

29 为了分辨第二级钠光谱的双红，长度为10厘米的平面光栅的光栅常数为多少？

解：光栅的分辨本领由公式可知为

取平均值为：

将以上数值代入上式

故     厘米

30 某种玻璃在靠近钠光的黄色双谱线（其波长分别为50和56）附近的色散为-361厘米-1，求由此种玻璃制成的而能分辨钠光双谱线的三棱镜，底边应不小于多少厘米？

解：棱镜的色分辨本领由公式可知为

将厘米-1代入上式得

        厘米