高等代数试题五

向量空间

一 判断题

平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法:作成实数域上的向量空间.                                                               (  ) .

平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法:  作成实数域上

的向量空间.                                                               (  ).

一个过原点的平面上所有向量的集合是的子空间.                         (  ).

所有阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间的子空间.                  (  ).

为的子空间.                          (  ).

所有阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间的子空间.                (  ).  

为的子空间.                               (  ).

若是数域上的维向量空间的一组基, 那么

是的一组基.                                                             (  ).

维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基.             (  ).

设是向量空间中个向量, 且中每一个向量都可由

线性表示, 则是的一组基.                                      (  ).

  设是向量空间的一个基, 如果与等价, 则

也是的一个基.                                               (  ).

关于基的坐标为.                        (  ).

设为维空间的子空间, 且.若, 则为直和.                     (  ).

设为维空间的子空间, 且. 若 则为直和.

                                                                           (  ).

  设为维空间的子空间, 且. 若则为直和.                                  (  ).

设为维空间的子空间, 且. 若则为直和.                                (  ).

设为维空间的子空间, 且. 零向量表法是唯一的, 则为直和.                                               (  ).

设是向量空间的一个基,是到的一个同构映射, 则的一个基是.                                               (  ).

设是数域上的维向量空间, 若向量空间与同构, 那么也是数域上的维向量空间.                                                          (  ).

把同构的子空间算作一类,维向量空间的子空间能分成类.               (  ).

答案错误错误正确错误  错误  正确正确正确正确错误正确错误正确正确正确错误正确

正确  正确  错误

二 填空题

全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域上的向量空间.  

全体正实数的集合,对加法和纯量乘法构成上的向量空间.则此空间的零向量为___.                                                          

全体正实数的集合,对加法和纯量乘法构成上的向量空间.

则的负向量为________.

全体实二元数组对于如下定义的运算:

构成实数域上的向量空间. 则此空间的零向量为___.  

  全体实二元数组对于如下定义的运算:

构成实数域上的向量空间. 则的负向量为________.

数域上一切次数的多项式添加零多项式构成的向量空间维数等于_____.

任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________.

复数域作为实数域上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.

复数域看成它本身上的向量空间,  维数等于______, 它的一个基为_______.

实数域上的全体阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间, 

它的维数等于_____.

向量关于基

的坐标为__________.

关于的一个基的坐标为__________.

三维向量空间的基则向量

在此基下的坐标为 _______.

和是数域上的两个向量空间,到的映射满足条件__________________________________________, 就叫做一个同构映射. 

数域上任一维向量空间都与向量空间______同构.

设的子空间有, 则

________直和.

答案

加法和数量乘法  1     不唯一, 相等             是到的双射; 对任意; 对任意    不一定是

三 简答题

设问下列集合是否为的子空间, 为什么?

所有行列式等于零的实阶矩阵的集合;

所有可逆的实阶矩阵的集合;

设是实数域上所有实函数的集合, 对任意定义

对于上述运算构成实数域上向量空间. 下列子集是否是的子空间? 为什么?

所有连续函数的集合;

所有奇函数的集合;

下列集合是否为的子空间? 为什么? 其中为实数域.

;

;

每个分量是整数};

设分别为数域上矩阵, 问的所有解向量是上的向量空间吗? 说明理由. 

下列子空间的维数是几?

 ;

实数域上矩阵所成的向量空间的维数等于多少? 写出它的一个基.

实数域上, 全体阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？

若是数域上维向量空间的一个基， 也是的一个基吗？

是向量空间的一个基吗？

取的两个向量.求的一个含的基.

在中求基到基

的过渡矩阵.

在中求向量关于基

的坐标.

设表示几何空间中过原点之某平面的全体向量所构成的子空间,为过原点之某平面上的全体向量所构成的子空间, 则与是什么?能不能是直和?

设求和. 其中

; 

证明 数域上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.

设都是实数域的向量空间.问与是否同构? 说明理由.

设为向量空间的一个基, 令且

.证明  .

答案

不是的子空间. 若若未必等于零,对加法不封闭.

不是的子空间. 因为, 则, 但, 对加法不封闭.

是的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数.

是的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数.

是的子空间. 因为非空, 且对任意有

故

是. 因是齐次方程组的全体解向量.

不是的子空间. 因对加法不封闭.

不是子空间. 因对数乘运算不封闭.

当时,的所有解向量不能构成上的向量空间. 因维零向量不是

的解向量.  当时,的所有解向量能构成上的向量空间.

维数是2. 因线性无关, 而.

维数是2. 因易证线性无关, 但.

解 令表示行列位置元素是其余是零的矩阵. 那么易证这个矩阵是线性无关的. 它们作成的一个基, 故的维数是.

 为全体阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,其有个向量, 故此向量空间的维数.

解 由

     .

得. 当为偶数时, , 故线性相关, 它不构成基. 当为奇数时,故线性无关, 它构成一个基.

解 在基之下有

           .

因上式右方的阶矩阵为可逆, 所以线性无关, 它是的一个基.

解 取向量,由于

因此线性无关, 所以向量组是的一个基.

解 由

推出      

因此所求过渡矩阵为

         .

解 取的标准基. 由到的过渡矩阵为

于是关于基的坐标为

                    .

解 由于,皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若与重合, 则

. 若与不重合, 则为一条过原点的直线, 而

, 但不能是直和.

解 设为交空间的任意向量.由

得齐次线性方程组

由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为, 解空间的维数为, 且求得方程组的一般解为

因此维, 维.

取,令便有, 另外显然.

证明 设数域上两个有限维向量空间与的维数均为, 因所以.

     反之, 若, 设且是到的同构映射. 取的一个基

, 易证是的一个基, 故.

与不同构. 因,与的维数不相等.

证明 任取, 若, 那么

因此, 并且中向量依诸表示唯一, 故

四 计算题

设由, 生成的子空间试从向量组中找出的生成元.

解 以及为列做成矩阵, 在对的行施行初等变换.

由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵知,从而但由还知线性无关, 故为的一组生成元.

在向量空间中, 求由向量

生成的子空间的一个基和维数.

解 对下述矩阵施行行的初等变换

此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知是一个极大无关组, 因此的维数实是,而是它的一个基.

在中求出向量组的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量. 

这里.

解 对下述矩阵施行行的初等变换

             .

由右方矩阵知是一个极大无关组, 并且有

             .

求中与矩阵可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中

解 设这个子空间为由于, 这里

因此与可交换的阶方阵, 就是与可交换的阶方阵, 从而

                 .

任取. 由, 可得

,于是当且仅当的元素为齐次线性方程组

的解. 于是我们得到如下矩阵

它们构成的一个基, 故的维数是.

求实数域上关于矩阵的全体实系数多项式构成的向量空间的一个基与维数.其中

解 因, 所以

易证线性无关. 于是任何多项式皆可由线性表示, 故为的一个基,.

设为向量关于基

的坐标;是关于基的坐标, 其中,

求基.

解 因且

则

于是         , 即

故所求的基为.

设是维向量空间的一个基，也是

的一个基，又若向量关于前一个基的坐标为, 求关于后一个基的

坐标.

解 基到后一个基的过渡矩阵为

                     .

那么

故关于后一个基的坐标为.

已知的一个基为. 求向量

关于这个基的坐标.

解 设, 的方程组

 解得. 故关于基的坐标.

已知是的一个基.

求的一个非零向量, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.

解 由标准基到基的过渡矩阵为

设关于两个基的坐标为, 则

即得齐次线性方程组

解得, 令, 则即为所求.

已知的一个基.

求关于基的坐标.

解 由标准基到所给基的过渡矩阵为

那么

故关于基的坐标为, 这里

       .

五  证明题

设为向量空间的两个子空间.

证明:是的子空间.

是否构成的子空间, 说明理由.

证明

  显然, 即, 任取, 易知

, 故是的子空间.

不一定. 当或时,是的子空间. 但当与互不包含时,

不是的子空间. 因为总存在及使, 而, 因为这时, 否则与选取矛盾.

设为向量空间的两个子空间. 证明:是的即含又含的最小子空间.

证明 易知为的子空间, 且

设为的包含与的任一子空间, 对任意,有, 即, 故是的即含又含的最小子空间.

.

设为向量空间的两个子空间.是的两个向量, 其中, 但, 又. 证明: 

对任意;

至多有一个使得.

证明

任意若, 则矛盾, 故成立.

当时, 仅当时, 有; 当时, 若存在使得, 则, 因此, 矛盾, 故成立.

设为向量空间的两个子空间. 证明 若, 则或

.

     证明 因含与中所有向量,含一切形如的向量, 因为, 所以或

.    若, 令, 则, 故; 若, 令

, 则, 故.

证明:维向量空间中, 任意个线性无关的向量都可作为的一个基.

证明 设是中线性无关的向量, 取的单位向量, 则, 且中每一个可由线性表示. 由替换定理知与等价, 所以中每一个向量可由线性表示, 又

线性无关, 故可作为的一个基.

设为维向量空间,中有组线性无关的向量, 每组含个向量, 证明:中存在个向量与其中任一组组成的一个基.

证明 设中组线性无关的向量分别为. 令

, 则. 因存在, 使线性无关, 若,令, 则也为的非平凡子空间, 同理存在, 而且线性无关, 如此继续下去, 可找到使得线性无关, 故对每个, 它们都是的一个基.

设维向量空间的向量组的秩为, 使得全体维向量的集合为. 证明是的维子空间.

证明 显然, 今设每个在的某个基下的坐标为

                 ,

那么由可得

.

它决定了一个含个未知量个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵

的秩为, 故解空间即的维数为.

设是数域中个不同的数, 且. 证明多项式组是向量空间的一个基.

证明 因, 所以只需证线性无关. 设有, 使

                                                    (*)

由, 因此将带入(*)得, 从而故线性无关, 为的一个基.

设是的一个非零子空间, 而对于的每一个向量来说, 或者, 或者每一个都不等于零. 证明: 

证明 由非零, 我们总可以取, 且, 那么每个且线性无关. 今对任意, 若当然可由线性表示; 若而,  由于其第一个分量为, 由题设知. 故可作为的一个基,且

证明:是的一个基, 并求关于这个基的坐标.

证明: 由基表示的演化矩阵为

但可逆, 故是的一个基.

关于这个基的坐标,

因为

若都是的子空间, 求证:

.

证明: 任意, 则, 且, 因此

, 但, 知, 故

.

反之, 任意, , 则, 且, 故.

设是维向量空间的子空间. 如果为直和.

证明:.

证明: 由为直和, 有, 而

       . 故

.

设分别是齐次线性方程组与的解空间.

证明:.

证明 因的解空间的维数为, 且一个基为, 又

即方程组

的系数矩阵的秩为, 其解空间的维数为, 且一个基为, 但线性无关, 它是的一个基, 且, 故.

证明 每一个维向量空间都可以表成个一维子空间的直和.

证明: 设是维向量空间的一个基, 那么

都是一维子空间.

显然 

于是由中向量在此基下表示唯一, 立得结论.

证明维向量空间的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交.

证明: 设是的任一子空间, 且设为的一个基, 将其扩充为的一个基, 那么令

于是这些, 均为维子空间, 且.

设是数域上向量空间到的一个同构映射,是的一个子空间. 证明:是的一个子空间.

证明: 因, 所以非空. 对任意, 由于是到的满射, 因此存在, 使, 对任意, 有

, 于是,  故是的一个子空间.

证明: 向量空间可以与它的一个真子空间同构.

证明: 记数域上所有常数项为零的多项式构成的向量空间, 显然, 且中有形式, 这里.

   定义  , 显然是到的双射, 且对于任意       

故是到的同构映射. 从而是的一个真子空间,.

设是复数, ,

证明:是上的向量空间, 并且.

证明: 易证是上的向量空间,

设中次数最低的多项式为, 则对任意, 都有, 使, 因此

同理, 设中次数最低的多项式为, 则.

定义

易证是到的同构映射, 故.

证明 实数域作为它自身上的向量空间与全体正实数集对加法:, 与纯量乘法:构成上的向量空间同构.

证明: 定义

显然是到的映射.

, 若, 则, 所以为单射;

任意, 因, 则, 即为满射.从而为双射.

任.

任,

于是是到的同构映射. 故.

设是数域上无限序列的集合, 其中, 并且只有有限不是零.的加法及中的数与中元的纯量乘法同, 则构成上的向量空间. 证明:与同构.

证明: 取的一个基, 则中任一多项式

关于这个基有唯一确定的坐标.

定义

则是到的一个同构映射, 故.