北附高中数学基础

1.计算: (-2+-)1

2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，

   化简 |a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|=               .

3.已知，，，且＞＞，则＝　　　　　　.

4.已知: a=1999, 求: |3a3-2a2+4a-1|-|3a3-3a2+3a-2001| 的值.

5.若a是实数，则(-a)+|a|+|-a|+(-|a|)的最小值是             .

6.已知x是实数，则|x-|+|x+|的最小值是_____.

7. 2a2-a-3   

     -10x2+11x-3   

 6x2-5xy-6y2  

 4a2+12ab+9b2  

 21t2+20t-96  

 2x4-5x2-12  

8.若a、b、c为三角形⊿ABC的三边长, 则代数式a2-b2-c2+2bc的值 

9.(A) 大于0         (B)大于或等于0           (C) 小于0         (D)  小于或等于0

10.分解因式: (1-a2)(1-b2)-4ab 

11.化简: (a-b+c)2(b-a-c)4(a+c-b)(b-c-a)3  

12.分解因式:  x2+2(a+1)x+2a+1

          ax2-x-(a+1)  (a≠0)   

          x2-2x-(a2-1)      

          a2x2-ax-1   (a≠0)

13．知a、b均为正数, 则关于x的方程4x2-2(a-b)x-ab=0 的根的状况为:  ( B )

        (A) 无实根   (B)  有两个不等实根   (C)  有两个相等实根      (D)有实根  

14．若代数式3x2+x+a在实数范围内分解成含x的两个一次代数式的积. 求a的取值范围

15．若+b3被(a+2b)整除等于m, 则m=        (用关于a、b的代数式表示)

16．因式分解:　x3+3x2-4x-12 .

17．因式分解:  a5+b5－a3b2－a2b3

18．化简:  +  +  

19．3 -      

20． 已知a=-2，b=-3，求-+的值.   

21．化简: +- 

22．化简    +-  

23．化简 　 ()2(5+2)[- (+3)]

24．已知: a=. 化简-.

25．化简

26．已知:m>0, n>0 . 且m≠n . 化简: •(-)

27．已知: 当x=8，y=18, 求: -的值.

28．已知: a=, b=. 求: 的值.

29不解方程，判别下列方程根的情况.

(1) 2x2+3x-4=0;  

 (2) 16y2+9=24y;  (3)5(x2+1)-7x=0.

 30．

(A)  2y2+5=6y   （B）x2+5=2x   （C）x2-x+2=0 （D）3x2-2x+1=0

 31．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（   ）

（A）有两个相等的实数根    （B）有两个不相等的实数根

     （C）没有实数根            （D）不能确定

 32.  已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的.

 33． 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.

 34． 关于x一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_______.

 35. 如果x2－2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则m=      .

 36. 已知x1，x2是方程2x2-7x＋4＝0的两根.

求: (1)  (x1-x2)2   (2)  x12＋x22   (3) x13+x23 

  37. 若关于x的方程(m2-2)x2-(m-2)x＋1=0的两个根互为倒数，则m＝      ]

38. 设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

(1)  (x1+1)(x2+1)  (2) +　(3) x12+ x1x2+ x22   (4) |x1-x2|    

39．. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1-和1+.  

40．设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为      .

  41．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值. 

  42．已知关于x的一元二次方程m2x2+2(3-m)x+1＝0的两实数根为α 、β.

若S=+，求S的取值范围. 

   43． 已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=      .

 44．. 若方程x2+mx+1=0的两个实数根一个比1大，另一个比1小. 求m的取值范围.

   45．. 若(x2+y2)(x2+y2-1)-12=0 , 则x2+y2=           .  

   46． 分解因式:  (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy) 

 47． 分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

.    

高中数学补充基础知识训练(二)

1．方程组.  

 2．          

3．(x2+1)(y2+4)-8xy=0 

       解方程组: 

 4．2(x-1)2+3= 

 5． 解方程: ++=1  

     解方程:  =x+3   

     解方程: x2++x+=0 

 ．解方程: -=1 

      7． 已知: 关于x的方程 (m+1)x2+2mx+m-3=0 总有实数根.

        (1) 求m的取值范围;

      (2) 但m在取值范围内取最小正偶数时, 方程是否有两个不同实根.

          若有, 求3x12(1-4x2)的值; 若没有, 说明理由.

       8. 若关于x的方程 a(x+1)+(a2-12)x=3 有无穷多个解, 则常数a应满足的条件为(  )

         (A)  a=3       (B)  a 3        (C)   a= -3       (D)   a -3  

 9.  若关于x、y方程组有且只有一组解,则的解集为:       .

       10．已知关于x的方程 x2+2x+=0, 其中m为实数.

            (1) 当m为何值时, 方程没有实数根?

            (2) 当m为何值时, 方程恰有3个互不相等的实数根? 并求出这3个实数根.

11．二次函数y=2x2-12x+17的最大值为          ,最小值为            

  若进一步规定-2≤x≤5, 则二次函数y=2x2-12x+17的最大值为    ,最小值  

      为      .

12．练习11. 如图:在⊿ABC中有一个内接矩形DEFG.       

     已知BC=12, 高AH=8, 则此内接矩形面积

最大值为                    .

13．已知抛物线l: y=x2-(k-2)x+(k+1)2 与x轴交于两个不同点A、B. 其顶点为C.

当线段AB长度最大时，求此时的k值和∠ACB的度数.

14．练习12: 在⊿ABC中, M为BC边上的一个动点(不与端点重合), 且ME//AC, MF//AB.

        又知⊿ABC面积为10, =x,    AEMF面积为y.

        求: (1) y与x之间的函数关系式; 

            (2) y有最大值还是最小值?这时x为何值?

            (3) 画出该函数的图象.

15．角形重心性质:

三角形重心: 三角形三边的中线必共点. 所共之点称为该三角形的重心.

对前半部分命题作证明. 为此, 先证明如下命题

已知:  ABC中, 点E、F分别为边AB、AC上的中点, 线段FB与线段EC交于点G.

求证: GB=2GF, GC =2GE. 

       (如图一)

                                                                  (图三)

16．已知:  ABC中, 点D、E、F分别为边BC、AB、AC上的中点, G为 ABC中重心.

          求证: S BDG= S CDG= S CFG= S AFG= S AEG= S BEG.

17． 已知： ABC边CB、AC 上的高分别为AD、BE, 且AD与BE所在直线交于点H.

              求证:  BA边上的高所在直线过点H.

 18．

 已知: 点D为BC边上中点, E为中线AD的中点.

                    直线CE交AB于点F.

              求:  .

19．练习14: 已知: 直角梯形ABCD中, AB//CD, ∠A=90 =∠CBD,  

              AB=AD=3, BC=BD,  G1、G2分别为 CBD与

 ABD的重心.(如图)

        求: 线段G1G2的长. 

．三角形的内切圆与旁切圆.

1. 三角形的内切圆: 对每个三角形, 都存在一个与三边(线段)均相切的圆, 

该圆被称为这个三角形的内切圆.(三角形称为圆的外切三角形)

     (如右图)给定一个任意三角形ABC, 设其内角∠A、∠B

      的平分线交于点O, 经点O分别作三边的垂线, 垂足

      分别为: D、E、F. 则由角平分线性质知:

      OE=OF=OD(设为r) . 则以点O为圆心, 

      以 r长为半径的圆O同时与三边(线段)切于垂足点.

      (定理:若圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切)

     [说明]: (1) 由于该圆与三边(线段)同时相切, 其必然在三角形内部.故称之为内切圆.

               其圆心称为该三角形的内心.[同学可以对比三角形的外接圆以及外心相关

                知识对比理解].

           (2) 客观上给定三角形的外接圆及外心是唯一的.(此处证明从略)

           (3) 由于OE=OD, 且OE⊥AC, OD⊥BC , ∴ 点O同时在第三个内角∠C平分线上.

               换句话说: 任意三角形的三内角平分线共点. 该点为三角形的内心.

    三角形的内切圆性质: 

(1)三角形内切圆在三边上切点分三条边所成六条线段中,

有公共顶点的两线段长度相等.

[由切线长定理易得:AF=AE, BD=BF, CD=CE ]

(2)设一个三角形的周长为C, 内切圆半径为r,

则三角形面积S=Cr . 

   [S=S OBC+ S OAC+ S OBA=ar+br+cr= (a+b+c)r =Cr]

20．已知直角 ABC中, ∠A=90 , AC=5, AB=12.

     则该三角形的内切圆半径为:           .

     (分析)[法一]设内切圆与三边切点分别为D、E、F(如图二)

21． 已知一个正三角形的边长为a, 

则其外接圆半径R[也称外径]为:      ,

内切圆半径r[也称内径]为     .     

22．. 已知一个等腰梯形存在内切圆, 若其周长为104cm,

        则其中位线长为:                 .[26cm]

      (分析): 如图: 由切线长定理及对称性易知:

          AP=AN=BP=BQ, DM=DN=CM=CQ

2. 三角形的旁切圆: 与三角形的一边(线段)以及另两边的延长线同时相切的圆,称为该三角形

的旁切圆.

(如右图)给定任意一个三角形ABC, 其两个外角平分线

 交于点O1 , 经点O1分别作三边所在直线的

 垂线,垂足分别为D、E、F. 则O1E=O1D=O1F(设为r1)

 则以点O1为圆心, r1长为半径的圆O1必与边AB(线段)

 以及边CA、CB的延长线同时相切于三个垂足处.

[说明]: (1) 由条件可知, 这样的圆在三角形的外部,

且紧“贴”一边, 故称之为旁切圆.

旁切圆的圆心称为三角形的旁心.

(2)三角形的旁切圆有且只有三个, 

旁心也有三个.当它切三角形某边时,

称之为该边上的旁切圆(旁心)

(3)由O1E=O1F, 且O1E⊥CE于点E, 

O1F⊥CF于点F知: 点O1也在

内角∠C的平分线上.

23． 已知直角 ABC中, ∠A=90 , AB=5, AC=12.

   则该三角形AB边上的旁切圆半径为:           .

四.三角形角平分线定理.

三角形的一个内角平分线分对边所成两条线段的比等于该角对应两夹边的比.

24．(如图)已知:  ABC的边BC上有一点D, 

且AD平分∠BAC.

     求证: =.

25． 已知:  ABC的角A的外角平分线交

对边BC延长线于点D, 

           求证: =.                                            

26．已知(如图),  ABC中∠C=90 , ∠1=∠2, AD=8, AC=12.

       求: AB长. 

27． (如图)  ABC中, AD平分∠BAC交BC于点D, 

DE//AC交AB于点E. 若AE:EB=5:3 ,

则AB: AC=            ;

  DE: AC=            .

28.    ABC中∠CAB=120  , AD平分∠BAC交BC于点D.

         求证: =+ . 

         证

已知:(如图) 三条直线l1、l2、l3、…、ln互相平行, 

它们分别与直线a、b 交于点A1、A2、…、An

和B1、B2、…、Bn .

     求证: ==…=

例1(*). 在△ABC中, AB上的一点, 联结BE交AD于点G, 且=2, =2007. 则边BC的长为 ( ).

(A) 2  (B) 2007    (C)  2 (D)  2005

练习: 1. 梯形的两条对角线将其中位线分为三等分,则该梯形上下底长度之比为  (    )

        (A)   1:2        (B)  1:3          (C)  2:3       (D)  3:5   

练习: 2. (如图)已知: 点E是CD中点, F是BE中点, 

                  FC与BE交于点G.

            求证: GF=GC.