圆锥曲线的基础训练题

一．求标准方程

1．讨论19252

2=−+−k

y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．2．求适合条件的椭圆的标准方程:（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62−，；

（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．

（1）过点⎟⎠⎞

⎜⎝⎛4153，P ，⎟⎠

⎞⎜⎝⎛−5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2）

，焦点在x 轴上．（3）与双曲线14162

2=−y x 有相同焦点，且经过点()

223，(4)过点)2,3(−P ，离心率2

5=e ．（5）1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且°=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ，

离心率为2．

（6）双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为1313

16。4．（1）求与双曲线19162

2=−y x 共渐近线且过()

332−，A 点的双曲线方程及离心率．（2）求以曲线0104222=−−+x y x 和222−=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

（3）中心在原点，一个焦点为()01，F 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程．

二．求离心率

说明：求离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．

1．一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

2．已知椭圆19822=++y k x 的离心率2

1=e ，求k 的值．3．已知双曲线的渐近线方程是043=+y x ，043=−y x ，求双曲线的离心率．

4．设双曲线122

22=−b

y a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离为c 4

3，求双曲线的离心率．三．求值问题

1．已知双曲线116

92

2=−y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠．

2．已知1F 、2F 是双曲线14

22

=−y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足�9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．

3．若椭圆122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线12

2=−t

y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是．

4．过抛物线()022>=p px y 的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A 、B 两点，求AB 。

5．过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，求

BF

AF 11+的值。四．轨迹问题

1．求下列动圆圆心M 的轨迹方程并说明它是什么样的曲线：

（1）与⊙()2222

=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=−+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()1322

2=+−y x C ：内切．2．在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 2

1sin sin =−，求点A 的轨迹．3．双曲线2

219

x y −=有动点P ，12,F F 是两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。五．第二定义的应用

1．已知椭圆1422

22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．

2．椭圆19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，⎟⎠

⎞⎜⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．3．已知()11y x M ，是双曲线122

22=−b

y a x 上一点．求点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离．4．在双曲线113

122

2=−x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差．(1)求31y y +(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．

六．弦长、中点弦、弦斜率问题

说明：（1）直线与曲线的问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．

（2）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．

（3）“点差法”解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．

（4）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．

1．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=−+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

2．已知椭圆1222=+y x ，求过点⎟⎠

⎞⎜⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．3．过抛物线x y 42=的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M 、N 两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？

4．已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称，设直线l 过点A ，斜率为k ．

(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时，在双曲线S 的上支求点B ，使其与直线l 的距离为2；

(3)当10<≤k 时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及点B 的坐标．

七．最值问题

1．设AB 是过椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()中心的弦，椭圆的左焦点为F c 10()−，则△F 1AB 的面积最大为

2．已知双曲线x a y b

a b 222

2100−=>>()，的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且||||PF PF 124=，则此双曲线的离心率的最大值是

3．已知()()0,4,2,3−B A ，P 是椭圆x y 22

259

1+=上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为4．椭圆112162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

5．求椭圆13

22

=+y x 上的点到直线06=+−y x 的距离的最小值．6．已知点()03，A ，()02，F ，在双曲线1322

=−y x 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小．7．给定抛物线x y 22=，设()()00,>a a A ，P 是抛物线上的一点，且d PA =，试求的最小值。

8．已知直线42:−=x y l 交抛物线x y 42=于A 、B 两点，试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使的面积最大，并求这个最大面积。

9．已知点()y x ,在抛物线x y 42=上，则32122++

=y x z 的最小值是．

九．综合型问题1．已知椭圆13

422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如果抛物线12−=ax y 上总有关于直线0=+y x 对称的相异两点，试求的范围。

3．已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 满足EC AE λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4

332≤≤λ时，求双曲线离心率的取值范围．4．A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 和B 正东6千米，C 在B 正北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此s 4后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s km ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．

6．设抛物线的焦点为F ，经过点F 的直径交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC 经过原点O 。