a b ->22a b >33a b <14．正方体上点、、、是其所在棱的中点，则直线与异面的图形是P Q R S PQ RS
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的{}n a *
2,m m m N a a +∈>{}n a （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件16．设函数的定义域是，对于以下四个命题：
()y f x =R (1) 若是奇函数，则也是奇函数；
()y f x =()()y f f x =(2) 若是周期函数，则也是周期函数；
()y f x =()()y f f x =(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；()y f x =()()y f
f x =(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则
()y f x =()1y f x -=()()1y f x f x -=-
函数也有零点．
()y f x x =-其中正确的命题共有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个三、解答题
17．如图，已知平面，与平面所成角为 ，且AB ⊥BCD ,BC CD AD ⊥BCD 30︒2
AB BC ==
求三棱锥的体积；
()1A BCD -设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值()2M BD AD CM 表示）
18．已知函数.21()sin 22
f x x x =（1）求函数的最小正周期；
()y f x =（2）在中，角、、的对边分别为、、，若锐角满足
ABC A B C a b c A
，，求的面积.()f A =6C π=2c =ABC 19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：y x 分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当[0,16]x ∈时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数[16,40]x ∈0.880log ()y x a =++不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.
（1）求函数的解析式；
()y f x =（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）
20．已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直2
2:14
x y Γ+=A B P 4x =线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为.
PA ΓC PB ΓD （1）若点的坐标为，求点的坐标；
C (0,1)P （2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程；
P (4,1)BD （3）求证：直线过定点.
CD 21．对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a {}n a 为数列.
P （1）若数列1，2，8是数列，求实数的取值范围；
x P x （2）设数列，，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是1a 2a 3a ⋅⋅⋅10a 1-d P 数列，求的取值范围；
d （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从{}n a a q {}n b {}n c {}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为、，求证：1T 2T 当且时，数列不是数列.
0a >12T T ={}n a P
参
1．{}
3【分析】
利用交集的定义可计算出集合.
A B 【详解】
集合，集合，因此，.
{}1,2,3A ={}3,4B ={}3A B ⋂=故答案为：.
{}3【点睛】
本题考查交集的计算，熟悉交集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
2．{}
21
x x -<<【分析】
将分式不等式化为整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得结果.
【详解】.()()10120212
x x x x x -<⇔-+<⇔-<<+故答案为：{|21}
x x -<<【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化的思想.属于基础题.3．2i
+【分析】
根据复数的运算法则进行化简，即可求解.
【详解】
因为，所以，所以.
(2)1z i -=122z i i =+=-2z i =+故答案为：.
2i +4．12
-【分析】
令，求得，结合反函数的性质，即可求得的值.2y =12
x =-1(2)f -【详解】
由题意，函数，令，即，解得，即.1()1f x x =+2y =121x =+12x =-11(2)2f -=-故答案为：.12
-
5【分析】直接利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
由点到直线的距离公式得d ==
6．1
2
【分析】
直接利用极限和等差数列的求和的应用求出结果．
【详解】
解：.123lim lim lim ((1)112(2)2(2)2
2)n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++==++=+++ 故答案为：
1
27．2
-【分析】
先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可.
【详解】
由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，x y 46132
x y ax y +=⎧⎨-=⎩461x y +=32ax y -=故，所以，4612603
D a a ==--=-2a =-此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数32ax y -=4x y +=-461x y +=.
2a =-故答案为：-2.
8．48
【分析】
先分析百位数再分析个位数求解即可.
【详解】
由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为其中一个时,奇数的个数为个.1,3,532424⨯⨯=当百位为其中一个时, 奇数的个数为.故共有个奇数.2,423424⨯⨯=242448+=故答案为：48
【点睛】
本题主要考查了根据分步计数原理解决特殊位置类的排列问题,属于基础题.
9．60
【分析】
根据二项展开式的通项公式，得出的展开式的第项，求出的系数，即23(2)n a b +1r +412a b 可得出结果.
【详解】
因为展开式的第项为，
23(2)n a b +1r +22312r n r n r r r n T C a b --+=令，解得，则.224312n r r -=⎧⎨=⎩
n r =⎧⎨=⎩426260m C ==故答案为：.
60【点睛】
本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
10
．【分析】
由题可得，利用△的面积可得，根据利用基本不(,),(,)D a b E a b -ODE 1ab =222c a b =+等式可求.
【详解】
双曲线的渐近线为，所以，b y x a
=±
(,),(,)D a b E a b -因为的面积为1，所以，即，ODE 1212a b ⋅⋅=1ab =
因为，所以，
222c a b =+2c =≥=当且仅当时等号成立，
1a b ==
即双曲线的焦距的最小值为
故答案为：11．2
【分析】
由任意，都有，推得的周期为4，结合周期，即可求解.
x ∈R (2)()f x f x k +⋅=()f x 【详解】
因为对任意，都有为常数，可得，x ∈R (2)()f x f x k +⋅=(4)(2)f x f x k +⋅+=从而，即的周期为4，所以，(4)()f x f x +=()f x (2021)(50541)(1)f f f =⨯+=又因为当时，则，即[0,2]x ∈2()1f x x =+()12f =(2021)2
f =故答案为：.
212．[]
1,2-【分析】
设，利用向量(),D x y 222
222441AM AN AD DN AD OD AD OD →→→→→→→→⎛⎫⋅=-=--=+-= ⎪⎝⎭模的坐标运算求出点的轨迹方程为，由，根据点的轨D 2
21924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭OA OD x →→⋅=D 迹方程即可求解.
【详解】
设，(),D x y AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222
222441AD DN AD OD AD OD →→→→→→⎛⎫=-=--=+-= ⎪⎝⎭， ，
()1,AD x y →=- (),OD x y →
=，即，()222215x y x y ∴-+++=222x x y -+=
，所以 .221924x y ⎛⎫∴-+= ⎪⎝
⎭OA OD x →→⋅=因为的轨迹是以为圆心，为半径的圆D 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，
32所以的取值范围为
，即 x 13132222x -≤≤+12x -≤≤则的范围是OA OD →→⋅[]
1,2-故答案为：[]
1,2-【点睛】
本题考查向量的运算，圆的轨迹方程，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据，将问题转化为，进而求得的轨迹方程，1AM AN →→⋅=2241AM AN AD OD →→→→⋅=+-=D 进一步将问题转化为的横坐标的取值范围问题求解.
D 13．D
【解析】
∵0a b
<<∴设1,1
a b =-=代入可知均不正确
,,A B C 对于，根据幂函数的性质即可判断正确
D 故选D
14．B
【分析】
A. 根据点、、、是其所在棱的中点，判断 即可；
B.根据点、、P Q R S //RS PQ P Q 、是其所在棱的中点，判断平面，PQ 与 相交即可.
C.根据点、R S //RS 11A ABB 1B B P 、、是其所在棱的中点，判断，即可.
D.根据点、、、Q R S //PR SQ PR SQ ≠P Q R S 是其所在棱的中点，判断P ，Q ，R ，S 四点共面即可.
【详解】
A. 如图：
因为点、、、是其所在棱的中点，则 又，所以 P Q R S 11//,//RS A C PQ AC 11//A C AC ，所以直线与不是异面直线；
//RS PQ PQ RS B. 如图：
因为点、、、是其所在棱的中点，则 平面，又P Q R S 1//RS B B RS ⊄11A ABB 1B B ⊂平面， 所以平面，PQ 与 相交，所以直线与是异面直11A ABB //RS 11A ABB 1B B PQ RS 线；
C. 如图：
因为点、、、是其所在棱的中点， ，所以，又
P Q R S //,//PR AC SQ AC //PR SQ
，所以 ，所以直线与相交，不是异面直线；
PR SQ ≠//RS PQ PQ RS D.
如图：
因为点、、、是其所在棱的中点，则 ，又，所P Q R S 11//,//PS A B RQ D C 11//A B D C 以 ，所以P ，Q ，R ，S 四点共面，所以直线与不是异面直线；//PS RQ PQ RS 故选：B
15．C
【分析】
对于任意的 ，即 .可得：，任意*2,m m m N a a +∈>()210m a q >﹣2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞2010
m a q ⎧⎨-⎩＜＜的，解出即可判断出结论.
*m N ∈【详解】
解：对于任意的，即.*2,m m m N a a +∈>()
210m a q >﹣∴，任意的，2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞2010
m a q ⎧⎨-⎩＜＜*m N ∈∴，或.01m a q ⎧⎨⎩＞＞001m a q ⎧⎨⎩
＜＜＜∴“为递增数列”，反之也成立.
{}n a ∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.*
2,m m m N a a +∈>{}n a 故选：C.
【点睛】
本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.
16．B
【详解】
(1)若是奇函数，则，∴()y f x =()()f x f x -=-()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-也是奇函数，正确；(2) 若是周期函数，则，()y f x =()()
f x T f x +=也是周期函数，正确；(3)若是单调递减函数，根据“同()()()()f f x T f f x +=()y f x =增异减”的原则，可得也是单调递增函数，故(3)不正确；(4) 若函数()()y f
f x =()y f x =存在反函数，且函数有零点，即的图象与()1y f x -=()()1y f x f x -=-()y f x =的图象有交点，而的图象与的图象关于直线对称，()1y f x -=()y f x =()1y f x -=y x =但是这些交点可能只是关于直线对称，函数不一定有零点，
y x =()y f x x =-比如函数，满足题意，但是函数没有零点，即(4)不正确；故选()11y x x =
≠±()y f x x =-B.
17． (2)【分析】
（1）由平面，得到平面，由此利用棱锥的体积公式，即可求解；AB ⊥BCD CD ⊥ABC （2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线，建立空间直角坐C CD x CB y C BCD 标系，利用向量的夹角公式，即可求解异面直线与所成角的大小．
AD CM 【详解】
（1）如图所示，因为平面，
AB ⊥BCD 所以，又，所以平面，
AB CD ⊥BC CD ⊥CD ⊥ABC 因为平面，与平面所成角为，故,
AB ⊥BCD AD BCD 30︒30ADB ∠=
又由，可得,
2AB BC ==4,AD AC ==
所以BD CD ===
=
所以1111223326A BCD BCD V S AB BC CD AB -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=
（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线，建立空间直角坐C CD x CB y C BCD 标系，则
，(0,2,2),(0,0,0),(0,2,0),A D C B M 可得
，
2,2),AD CM =--=
设异面直线与所成角为，则,AD CM
θcos AD CM AD CM
θ⋅===⋅
所以异面直线与所成角为．AD
CM θ=
【点睛】
本题主要考查了棱锥的体积的计算，以及直线与平面所成的角和异面直线所成角的求解，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．（1）；（2
.π1【分析】
（1）先利用二倍角公式和辅助角公式函数化为基本三角函数形式，再利用周期公()y f x =式计算即可；
（2）先利用已知条件结合角的范围求角A ，再利用正弦定理和两角和与差的正弦公式求a 和，最后代入面积公式计算即可.sin B 【详解】
解：（1
）2111cos2()sin 2sin 2222
x
f x x x x +==，所以最小正周期
；1sin 22sin(223x x x π=
--=-22T ππ==
（2）因为，所以
，sin(2))(3
πf A A -=
=1sin(2)32πA -=又为锐角，即，所以，所以，得，A 0,2A π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭22,333A πππ⎛⎫
-
∈- ⎪
⎝⎭
236A ππ-=4A π=又，由正弦定理得，解得,2
6π
C c =
=sin sin a c A C
=a =而，故，
A B C π++
=
sin sin()sin 4
6ππB A C ⎛⎫
=+=+=
⎪⎝⎭
所以的面积.ABC 11sin 2122S ac B ==⨯=+【点睛】思路点睛：
解决三角函数的图像和性质的相关问题时，通常要结合二倍角公式和辅助角公式，先将函数化为的形式，再依题意计算其他量即可.
()sin y A ωx φ=+19．（1）；（2）14分钟.
2
0.81(12)84,(0,16]
()4log (15)80,(16,40]
x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩【分析】
（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解；(0,16]x ∈(16,40]x ∈（2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解.(0,16]x ∈(16,40]x ∈()68f x <【详解】
（1）当时，设函数，(0,16]x ∈2()(12)84(0)f x b x b =-+<因为，所以，所以，2(16)(1612)8480f b =-+=14b =-21
()(12)844
f x x =--+当时，
(16,40]x ∈0.8()log ()80f x x a =++由，解得，所以，
0.8(16)log (16)8080f a =++=15a =-0.8()log (15)80f x x =-+综上，函数的解析式为.2
0.81(12)84,(0,16]
()4
log (15)80,(16,40]
x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩
（2）当时，令，(0,16]x ∈21
()(12)84684
f x x =--+<即，解得或（舍去），所以，
2(12)x ->4x <20x >[0,4]x ∈当时，令，得，(16,40]x ∈0.8()log (15)8068f x x =-+<12150.829.6x -≥+≈所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟.
[30,40]x ∈40403014-+-=20．（1）；（2）；（3）证明见解析.
(4,3)P 2
215(1)24x y ⎛
⎫-++= ⎪⎝
⎭【分析】
（1）首先求直线的方程，再令求点的坐标；（2）首先求直线的方程，与AC 4x =P PB 椭圆方程联立，求点的坐标，直接写出以为直径的圆的方程；（3）首先设，D BD (4,)P t 分别写出直线的方程，并求点的坐标，定点设为，则三点共,PA PB ,C D (m,0)E ,,C E D 线，列方程求定点坐标.【详解】
（1）因为，所以直线的方程为，(2,0),(0,1)A C -PA 1
12
y x =+令，得，所以；
4x =3y =(4,3)P （2）因为，所以直线的方程为，(2,0),(2,0),(4,1)A B P -PB 1
(2)2
y x =
-由得，所以，
2
2141(2)
2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
220x x -=10,(2)12D D D x y x ==-=-所以以为直径的圆的方程为，即；
BD (2)(1)0x x y y -++=2
2
15(1)24x y ⎛
⎫-++= ⎪⎝
⎭（3）设，因为，直线的方程为，(4,)P t (2,0),(2,0)A B -PA (2)6
t
y x =
+由得，2
214(2)6x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
2222(9)44360t x t x t +++-=
由韦达定理得，所以，
2243629c t x t --=+22218
9
c t x t -+=+所以，同理，直线的方程为，26(2)69C C t t
y x t =
+=+PB (2)2
t y x =-由得，2
214(2)2x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
2222(1)4440t x t x t +-+-=由韦达定理得，所以，所以，
224421D t x t -=+22221
D t x t -=+22(2)21D D t t y x t -=-=+由椭圆的对称性知这样的定点在轴上，设为，则三点共线，
x (m,0)E ,,C E D 所以共线，222222
2186222,,,9911t t t t EC m ED m t t t t ⎛⎫⎛⎫
-+--=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 所以恒成立，
22222221822269119t t t t m m t t t t ⎛⎫⎛⎫-+--⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭整理得恒成立，所以，故直线过定点.2(44)12120m t m -+-=1m =CD (1,0)【点睛】
求解直线过定点问题的基本思路：1、把直线或曲线方程中的变量
当作常数看待，既然过定点，那么这个方程就要对任意
参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，得到一个关于的方程组，方程组的解所确
定的就是直线或曲线过定点；
2、由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式或斜截式方程，则可根据方程的形式，判定直线过定点问题.
21．（1）；（2）；（3）证明见解析.35x <<80,27⎛
⎫
⎪⎝
⎭
【分析】
（1）由数列的性质建立不等式组即可求解.
P （2）先求数列的前项和，再由对成立，整理为的二次n 1n n S a +<1,2,3,9n = 1n n S a +【详解】解：（1）由题意得，所以；
12
812x x
>+⎧⎨
>++⎩35x <<实数的取值范围是.
x 35x <<（2）由题意得，该数列的前项和为，n 1(1)
,12
n n n n S n d a nd +-=-+
=-+由数列是数列，得，故公差，
12310,,,,a a a a P 211a S a >=0d >对满足的所有都成立，21311022n n d S a n d n +⎛⎫
-=
-++< ⎪⎝⎭
1,2,3,9n = n 则
，解得，所以的取值范围是；239911022d d ⎛⎫⋅-++< ⎪⎝⎭827d （3）若是数列，则，{}n a P 12a S a aq =<=因为，所以，又由对所有都成立，得恒成立，
0a >1q >1n n a S +>n 11
n n
q aq a q ->⋅-即恒成立，因为，故，所以，
12n q q ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
110,lim 0n n
n q q →∞⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20q -≤2q ≥若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列可知，{}n b {}n c 12T T <若中的每一项都在中，同理可得，
{}n c {}n b 12T T >若中至少有一项不在中，且中至少有一项不在中，
{}n b {}n c {}n c {}n b 设是将中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，{}{},n
n b c ''{}{},n n b c 它们的所有项之和分别为，不妨设中的最大项在中，设为，12,T T ''{}{},n
n b c ''{}n b ')2(m a m ≥则，故总有与矛盾，21211m m T a a a a T -''≤+++<≤ 21T T ''≠21T T ''=故假设错误，原命题正确.【点睛】
关键点点睛：（1）（2）小题都由数列的性质建立不等式组确定待求实数的取值范围，只P 是（2）题中需转化为关于的二次不等式恒成立，进一步需转化为关于的二次函数的最n n 大值小于0求解；（3）题根据“正难则反”的原则，考虑使用反证法，分情况讨论即可得出结论.
