数学竞赛之立体几何(三)

一、基本知识点

（一）特殊四面体

【等腰四面体】1．定义：四面体中，若，则四面体为等腰四面体。设其体积为，全面积为

2．性质：（1）；

（2）等腰四面体各个面为全等的锐角三角形；

（3）等腰四面体的相对棱的中点的连线段共点，且互相平分，每一条连线垂直于相对棱，且是四面体的对称轴；

（4）设等腰四面体的三个侧面间的二面角分别为：，则：

（5）若四面体的四个面面积相等，则四面体为等腰四面体。

（6）等腰四面体总可以和一个长方体对应起来，其边为长方体相对面的对角线。

【直角四面体】

1．定义：设四面体中，两两垂直，则称此四面体为直角四面体。

2．性质：设，体积为，内切球和外接球半径分别为和，

的面积分别为

（1）底面是锐角三角形，顶点在面内的射影是的垂心，且；

（2）对棱中点连线段共点且互相平分，其长均等于外接球半径；

（3）体积：；底面的面积： ；

（4）勾股定理：；内切球的半径：；

（5）等比中项性质：，，；

（6）等周定理：若四面体六条棱长之和为定值，则当直角四面体为等腰四面体时体积最大；

（7）直角四面体总可以和一个长方体对应起来，其直角顶点为长方体的一个顶点。

【正四面体】1．设四面体中，若，则四面体为正四面体，其各个面为全等的等边三角形

2．性质：（1）对棱互相垂直，对棱中点连线段是对棱的公垂线段，且连线段共点；正四面体的四条高交于一点；

（2）全面积：；体积：；对棱间的距离：；高：；外接球半径：；内切球半径：；任两个面所成的二面角大小为：

（3）正四面体内任意一点到四个面的距离之和相等为定值（等于正四面体的高）；

（4）正四面体总可以和一个正方体对应起来，正四面体的边为正方体的面对角线。

（二）一般四面体

1．体积公式：；

2．面角的性质：（1）同一顶点处的三个面角中任意两个之和大于第三个，任两个之差小于第三个；（2）；（3）正、余弦定理。

3．特殊点：（1）重心：连结四面体任一顶点与其对面重心的四条线段交于一点，称为四面体的重心。到顶点的距离是它到这顶点对面重心的距离的三倍，四面体三组对棱中点连线交于且被平分；

（2）外心：四面体的六条棱的中垂面交于一点，称为四面体的外心，到每个顶点的距离等于外接球的半径；

（3）内心：四面体的六个二面角的平分面交于一点，称为四面体的内心，到各面的距离等于内切球的半径。内切球与四面体的各个面相切，而不是与各条棱相切，同时对任意四面体不一定有与各条棱相切的球。

（三）球：由于球的任一截面均为圆，所以圆的许多性质，如相交弦定理，切线定理，切割线定理对球仍然成立，注意球的截面即球的大圆的特殊性及应用。

1．表面积：，为球的半径；球的体积：,为球的半径；

2．外切于半径为的球的多面体的体积：（为多面体的表面积）；

3．多球堆垒问题“抓球心”；球与规则多面体或旋转体组合“找截面”。

（四）凸多面体的欧拉定理

凸多面体的顶点数，棱数和面数之间有如下关系：

二、典型例题讲解

例1．求证：若四面体中有两条高线相交，则另外两条高线也必定相交

例2．一个正四面体的棱长为1，用它的每条棱为直径作球，设是所有的六个球的交集，证明：中含有两个点，它们的距离为

例3．在四面体中，的长分别为，两两所成的夹角分别为，记以为棱的二面角的大小分别为

证明：

例4．四面体有过的外接球及与各面相切于内心的内切球。而球有公共的中心，为的垂心，为在这个平面上的射影，证明：，

例5．已知的面积为，外接圆半径为，过作平面的垂线，并在平面的同一侧的垂线分别取，使，这里分别表示边边上的高，求四个平面所围成的四面体的体积

例6．证明：存在一个四面体，它的所有的面都是彼此相似的直角三角形，并且以为顶点的面角都是锐角，并确定四面体中的最长棱、最短棱各是哪一条，当最长棱为1时，求最短棱长

例7．证明：对任意四面体的高和各对棱间的距离有：

例8．（1）证明：如果给定四面体的六个二面角（即两面之夹角）相等，那么，这个四面体一定是正四面体；

（2）如果五个二面角相等，这个四面体一定是正四面体吗？

例9．设是一个四面体，分别是为球心的球面，它们两两相切，如果存在一点，使得以点为球心可作一个半径为的球面与都相切，证明：四面体是正四面体

例10．（1）四个半径为1的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径

（2）四个半径分别为2，2，3，3的球两两外切，求和这四个球都相切的球的半径

例11．半径为1的球面上有若干个点，其中任意两点间的距离不小于，求这些点的最大个数

例12．在直角四面体中，记分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高。证明下列不等式，并指出等号成立的条件： 

（1）；               （2）；    

（3）；           （4）；

（5）；                （6）

例13．证明：对任意四面体都有，其中是四面体一组对棱的长，为四面体的内切球半径

例14．证明：如果四面体相对棱间的距离分别为，那么四面体的体积

例15．设为四面体内任意一点，到所对面的距离为，记，证明：

例16．设是四面体的内切球半径，并设分别是面，的内切圆半径，证明：

例17．四面体三个侧面上，由顶点引出的中线与底面对应边所成的角相等。证明：每个侧面的面积小于另外两个侧面面积之和

例18．在空间中有个点，其中任意3个点都是一个内角大于的三角形的顶点。证明：可以把这些点用字母表示，角中任何一个都大于