几何变换——捆绑旋转(于新华)

【例题】如图，4AB =，O 为AB 的中点，O 的半径是1，点P 是O 上一动点，以PB 为直角边的等腰直角PBC ∆（点P ，B ，C 按逆时针方向排列），则线段AC 长的取值范围是_________

宏观分析，整体思考：

为什么AC 有“最值”之说？点C 在运动．点C 为什么在运动？因为点P 在运动．点B 是如何运动？点P 在一个圆上运动．点P 的运动带动点C 的运动．“如影随形”，“点动成线”．那么如何研究点C 的运动规律呢？联想研究函数图像变换，要研究线，只要研究点，“局部与整体具有一致性”．

（1）你将点C 理解成由点P 绕点B 顺时针旋转45︒

（2）将点P 与O “捆绑”视作整体，即点P 在作上述运动的时候，想想O 因为“捆绑”而随之运动，O 的运动结果是什么呢？“蜗牛背房子”，“牵一发而动全身”． （3）点O 绕点B 也顺时针旋转45︒

O '；

（4）记住：旋转位似，相似必定成对出现．在前面的基础上，你会发现图形OPB ∆∽O CB '∆,

于是你又得到O C '=即动点C 到定点O '

“位似”进一步理解的基础上，直接理解成O

O ' ； （5）于是，动点C 在以定点O '

（6）在前面的基础上，再考虑AC 长的取值范围就是小意思（常规题）啦． （悟：种瓜得瓜，种豆得豆）

B

一、自主学习

1．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，CD ⊥AB 于D ，P 是CD 上一个动点，以P 为直角顶点向下作等腰直角△PBE ，连接DE ，求DE 的最小值．

2．如图，点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （2，0）．动点B 在⊙O 上，连结AB ，作等边△ABC （A ，B ，C 为顺时针顺序），求求OC 的最大值与最小值．

3．如图，AB 是⊙的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝BC ＝10，P 是⊙O 上一动点，连接PC ，以PC 为边作△PCD ，使∠PDC ＝90°，tan ∠DPC ＝

4

3

，P ，C ，D 三点为逆时针顺序．连接OD ，则线段OD 长的最小值是________．

4．如图，平面直角坐标系中，A （－2，6），B （－5，2），M （0，5），点P 是线段AB 上一个动点，PM ⊥MN ，且∠PNM ＝30°，当点P 从点A 运动到点B ，点N 也随之运动，点N 在运动中经过的路径长是 （ ）

A ．62

B ．53

C ．45

D ．8

5．Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，D 是AB 上一个动点，以DC 为斜边作等腰直角DCE ∆，使点E 和点A 位于CD 的两侧；点D 从点A 到点B 的运动过程中： （1）DCE ∆周长的最小值； （2）求点E 的移动路程．

6．在平面直角坐标系中，()20A ，

、()03B ，过点B 作直线//x 轴，点()3P a ，是直线上的动点，以AP 为边在AP 右侧作等腰Rt APQ ∆，Rt APQ ∠=∠，直线AQ 交y 轴于点C ． （1）当1a =时，则点Q 的坐标为__________；

（2）当点P 在直线上运动时，点Q 也随之运动．当a =________时，AQ BQ +的值最小，为__________．

C

B

D

E

A

二、当堂检测

1.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝6，D 是AB 上一个动点，以DC 为斜边作等腰直角△DCE ，使∠CED ＝90°，点E 和点A 位于CD 的两侧，连接BE ，求BE 的最小值．

2.如图，点O 在线段AB 上，OA ＝1，OB ＝2．以点O 为圆心，OA 长为半径的圆为⊙O ．在⊙O 上取动点P ，以PB 为边作△PBC ，使∠PBC ＝90°，tan ∠PCB ＝

2

1

，P ，B ，C 三点为逆时针顺序．连结AC ，求AC 长的取值范围．

3.如图，A （－3，0），B （0，3），C （－1，4），P ，C ，M 逆时针顺序，动点P 在线段AB 上，∠C ＝90°，∠CPM ＝30°，则点M 的运动路径长为_________．

4．（2013•湖州）如图，已知点A

是第一象限内横坐标为交直线y x =-于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O

运动到点N 时，点B 运动的路径长是 ．

备选例题

1.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝3．△DEF 是△ABC 的内接等边三角形，且BD ＝3，求BE 的长．

2.已知抛物线y ＝2

x －3x －

4

7

的顶点为点D ，并与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．设线段BD 的垂直平分线为l ，抛物线关于直线l 的对称曲线交x 轴于点M 、N ，求点M 、N 的坐标．