2020年河南省单招考试数学模拟试卷

一、选择题（共10小题；共40分）

1. 若集合 ，，则   

    A.     B. 

    C.     D. 

2. 若 ，则   

    A.     B.     C.     D. 

3. 双曲线  的左焦点的坐标为 

    A.     B.     C.     D. 

4. 已知等比数列  满足 ，且 ，， 成等差数列，则   

    A.     B.     C.     D. 

5. 已知向量 ，，若 ，则实数  的值为 

    A.     B.  或     C.  或     D. 

6. 已知  是定义在  上的奇函数，且当  时，，则  等于 

    A.     B.     C.     D. 

7. 直线  被圆  截得的弦长为 ，则  的值为 

    A.     B.     C.     D. 

8. 已知函数 ，则“”是“函数  在区间  上存在零点”的 

    A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

    C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

9. 若 ， 满足  则  的最小值为 

    A.     B.     C.     D. 

10. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何”其意思为：在屋内墙角处堆放米（米堆所形成的几何体的三视图如图所示），米堆底部的弧长为  尺，米堆的高为  尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少已知一斛米的体积约为  立方尺，由此估算出堆放的米约有  

    A.  斛    B.  斛    C.  斛    D.  斛

二、填空题（共5小题；共20分）

11. 若点  到双曲线  的一条渐近线的距离为 ，则                  ．

12. 已知角  的终边经过点 ，则                  ．

13. 抛物线 ： 的准线方程为                ．

14. 为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校  名学生中随机抽取  名学生进行问卷调查，所得数据均在区间  上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在 （单位：分钟）内的学生人数为                ．

15. 从  男  女共  名同学中任选  名（每名同学被选中的机会均等），这  名都是男生或都是女生的概率等于                ．

三、解答题（共5小题；共40分）

16. 已知数列  的前  项依次成公比为  的等比数列，从第  项开始依次成等差数列，且 ，．

（1）求  及  的值；

（2）求数列  的前  项和 ．

17. 已知函数 ．

（1）求函数  的最小正周期；

（2）在  中，角  的对边分别为 ，若 ，，，求  的值．

18. 如图，四棱锥  的底面  是平行四边形，，，，，， 分别是 ， 的中点，连接 ．求证：

（1）；

（2）．

19. 已知函数 ．

（1）当  时，求  在  处的切线方程；

（2）当  时，若  有极小值，求实数  的取值范围．

20. 已知椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ．

（1）求椭圆  的方程；

（2）设过椭圆右焦点的直线  交椭圆于 ， 两点，过原点的直线  交椭圆于 ， 两点．若 ，求证： 为定值．

答案

第一部分

1.  D    

2.  D    

3.  A    

4.  C    

5.  C    

6.  A    

7.  A    

8.  C    

9.  C    

10.  A    

第二部分

11.  

12.  

13.  

14.  

15.  

【解析】设  名男生为 ，， 名女生为 ，，，则从  名同学中任选  名的方法有 ，，，，，，，，，，共  种，而这  名同学刚好是一男一女的有 ，，，，，，共  种，所以所求的概率 ．

第三部分

16. （1） 因为数列  的前  项依次成等比数列，

所以 ，即 ．

所以 ，从而 ．

因为数列  从第  项开始各项依次为等差数列，设公差为 ，

所以 ，从而 ．

所以 ，．

      （2） 由（Ⅰ）知，，

当  时，，

当  时，，

当  时，，此式对  也成立．

综上所述，．

17. （1）    

 ．

      （2） ，

 ．

又 ，

 ，

 ，．

 ，

 ．

又 ，

 ．

18. （1） 连接 ，

因为  是平行四边形，

所以  为  的中点．

在  中，

因为 ， 分别是 ， 的中点，

所以 ，

因为 ，，

所以 ．

      （2） 连接 ，

因为  是  的中点，，

所以 ，

又因为 ，，，

所以 ．

从而 ，

又因为 ，，，，

所以 ，

因为 ，

所以 ．

因为 ，，

所以 ．

又因为 ，，，

所以 ．

19. （1） 当  时，，．

 ，，

所以  在  处的切线方程为 ．

      （2）  有极小值  函数  有左负右正的变号零点．

 ，

令 ，则 ，

令 ，解得 ．

 ，， 的变化情况如下表：

 若 ，即 ，则 ，

所以  不存在变号零点，不合题意；

  若 ，即  时，，．

所以 ，使得 ，

且当  时，；当  时，，

所以当  时，，， 的变化情况如下表：

所以 ．

20. （1） 依题意，．

由 ，得 ，

所以椭圆  的方程为 ．

      （2） （）当直线  的斜率不存在时，易求 ，，则 ．

（）当直线  的斜率存在时，设直线  的斜率为 ，依题意 ，

则直线  的方程为 ，直线  的方程为 ．

设 ，，，，

由  得 ，

则 ，，

由  整理得 ，则 ．

 ，

所以 ．

综合（），（）， 为定值．