泛函分析题目

一、叙述题

1、在度量空间中，列紧集、完全有界集的定义及二者之间的关系

列紧集：设是度量空间的一个子集，若在中有一个收敛子列，则称为列紧集；

完全有界集：是度量空间的一个子集，都存在的一个有穷网，则称为完全有界集。

关系：列紧集一定是完全有界集，完全有界集不一定是列紧集：但在完备的度量空间中，列紧集与完全有界集等价（即）

2、在欧式空间中，有界集、完全有界集和列紧集三者之间的关系；紧集与有界闭集的关系

     在欧式空间中，有界集完全有界集列紧集， 紧集有界闭集

二、证明题：

1、线性算子在上连续在上有界。

证 充分性：因为在上有界，故，即，故在点连续，从而在上连续；

必要性：若在无界， 令， 则，即。又因为连续，故，这与矛盾，故假设不成立，即在上有界。

2、求证为空间。（其中为空间，为空间）

     证  显然是一个线性空间，兹证是范数：

     ；

       ；

     。

再证完备性。设为基本列，由，有，有，说明为中的基本列，而为空间，记。我们要证，不难看出是线性的，再证其有界。事实上，使得

 即得。

3、Hilbert空间中的正交投影算子为线性有界算子。

证 设闭线性子空间，依正交分解定理，存在唯一的分解，使得  。

记   称为正交投影算子。

①是线性算子  令则

②有界性  有； 由①和②知，是有界的线性算子。

三、S是由一切序列组成的集合，在S中定义距离为

，求证S是一个完备的距离空间。

证  先证S是距离空间：

当且仅当；

            即S是一个以为距离的距离空间,记作；

再证距离空间是完备的： 取基本列若

(当),则(当).

于是存在.因此, ,取,使得

,再取,使当时有

           ,

便得到

其中. 于是S是一个完备的距离空间。

四、附加题

  开映射定理()   设都是空间，若是一个满射，则是开映射。

  Hahn—Banach延拓定理()   设是空间，是的线性子空间，是定义在上的有界线性泛函，则在上必有有界线性泛函满足：

其中表示在上的范数。

  闭图像定理()   设都是空间，若是的闭线性算子，并且是闭的，则是连续的。

  共鸣定理()    设是空间，是空间，如果

      ，那么存在常数，使得

      。