上海市张江集团学校八年级(下)第二次月考数学试卷5月份月考卷答案

参与试题解析

一、填空题：（每空2分，共38分）

1．（2分）一个多边形每个内角都为108°，这个多边形是　五　边形．

【解答】解：∵多边形每个内角都为108°，

∴多边形每个外角都为180°﹣108°=72°，

∴边数=360°÷72°=5．

故答案为：五．

2．（2分）平行四边形ABCD的对角线交于点O，△ABC的面积为9，则平行四边形面积为　18　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（SSS），

∴S△ABC=S△CDA=9，

∴S▱ABCD=S△ABC+S△CDA=18．

故答案为：18．

3．（2分）O是正方形ABCD内一点，若△OAD是正三角形，则∠DCO=　75°　．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∵△OAD是正三角形，

∴OD=AD，∠ADO=60°，

∴OD=CD，∠CDO=90°﹣60°=30°，

∴∠DOC=∠DCO（等边对等角），

在△OCD中，∠DCO=（180°﹣30°）=75°．

故答案为：75°．

4．（2分）矩形ABCD的周长为56，对角线交于点O，△OAB比△OBC周长小4，则AB=　12　．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，

∵矩形ABCD的周长为56，

∴2AB+2BC=56，

∴AB+BC=28①，

∵△OAB比△OBC周长小4，

∴（OC+0B+BC）﹣（OA+OB+AB）=4，

即BC﹣AB=4②，

由①②组成方程组，

解得：BC=16，AB=12，

故答案为：12．

5．（2分）若梯形中位线长为24，它被一条对角线分为长度比为1：5的两部分，则其两底长度分别为　8，40　．

【解答】解：

∵EF=24，EO：FO=1：5，

∴EO=4，FO=20，

∵EF是梯形ABCD的中位线，

∴EF∥AD∥BC，

∵AE=BE，

∴DO=BO，

∵DF=CF，

∴EO=AD，FO=BC，

∴AD=2EO=8，BC=2FO=40．

故答案为：8，40．

6．（2分）在边长为12的正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，连接CE，取CE中点G，那么FG=　9　．

【解答】解：如图，

∵四边形ABCD为边长是12的正方形，E为AB的中点，

∴AE∥DC，AE=6，DC=12，

∴四边形ADCE为梯形，

又∵F是AD中点，G为CE的中点，

∴FG为梯形ADCE的中位线，

∴FG=（AE+DC）=（6+12）=9．

故答案为9．

7．（2分）已知直角梯形的一条腰与一条对角线相等，且互相垂直，则其上底与下底之比为　1：2　．

【解答】解：

∵BD=CD，BD⊥DC，

∴∠C=∠DBC=45°，

由勾股定理得：BC=BD，

∵∠ABC=90°=∠A，

∴∠ABD=90°﹣45°=45°，

∴∠ADB=90°﹣45°=45°=∠ABD，

∴AD=AB，

由勾股定理得：BD=AD，

即====1：2，

故答案为：1：2．

8．（2分）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是　　．

【解答】解：连接CH．

∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，

∴∠F=∠D=90°，

∴△CFH与△CDH都是直角三角形，

在Rt△CFH与Rt△CDH中，

∵，

∴△CFH≌△CDH（HL）．

∴∠DCH=∠DCF=（90°﹣30°）=30°．

在Rt△CDH中，CD=3，

∴DH=tan∠DCH×CD=．

故答案为：．

9．（2分）梯形的两腰分别是4和6，上底为2，则下底x的取值范围是　4＜x＜12　．

【解答】解：

过D作DE∥AB交BC于E，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴BE=AD=2，AB=DE=6，

CE=x﹣2，

在△DEC中，由三角形的三边关系定理得：6﹣4＜x﹣2＜6+4，

解得：4＜x＜12．

故答案为：4＜x＜12．

10．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE=24，CE=7，则平行四边形的周长为　75　．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

又∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，

∴（∠ABC+∠DCB）=90°，即可得∠EBC+∠ECB=90°，△EBC是直角三角形，

在RT△BCE中，BC==25，

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠ECB，（内错角相等）

又∵∠ECD=∠ECB，（已知）

∴∠DEC=∠ECD，

∴DE=CD，

同理AB=AE，

AB+CD=AE+DE=AD=BC=25，

∴平行四边形ABCD周长=BC+AD+AB+CD=25+25+25=75，

故答案为：75．

11．（2分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是　2﹣2　．

【解答】解：在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，故AE=，

由折叠易得△ABG为等腰直角三角形，

∴S△ABG=BA•AG=2，S△ABE=1，

∴CG=2BE﹣BC=2﹣2，

∵AB∥CD，∴∠OCG=∠B=45°，

又由折叠的性质知，∠G=∠B=45°，

∴CO=OG=2﹣．∴S△COG=3﹣2，

∴重叠部分的面积为2﹣1﹣（3﹣2）=2﹣2．

12．（2分）有向线段，的夹角为直角，且，=8，则=　10　．

【解答】解：如图，+=，

∵有向线段，的夹角为直角，

∴∠OBC=90°，

∵=6，=8，

∴==10，

∴==10．

故答案为：10．

13．化简：=　　．

【解答】解：=++=+=．

故答案为：．

14．（2分）化简：=　　．

【解答】解：=﹣+=+=．

故答案为：．

15．（4分）现有两组牌，如果每组三张，它们的牌面数字分别都是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张，两张牌牌面数字之和为　4　的概率最大，这个概率是　　．

【解答】解：画树状图如下：

共有9种情况，两张牌的牌面数字和等于4的牌有3种最多，概率就最大，

∴P（两张牌的牌面数字和等于4）==．

故答案为：4，．

16．（4分）在“Alfred Hitchcock”中，任取一个字母，取到字母“c”的概率是　　，取到“f”的概率是　　．

【解答】解：∵在“Alfred Hitchcock”中有15个字母，

而字母“c”有3个，

∴在“Alfred Hitchcock”中，任取一个字母，取到字母“c”的概率是=；

又字母“f”有1个，

∴在“Alfred Hitchcock”中，任取一个字母，取到“f”的概率是．

故答案为：；．

17．（2分）在1～2012中，任取两个自然数a与b，那么|a+b|﹣|a﹣b|是奇数的概率是　0　．

【解答】解：∵在1～2012中，任取两个自然数a与b，

∴若a＞b，则|a+b|﹣|a﹣b|=a+b﹣a+b=2b，

若a＜b，则|a+b|﹣|a﹣b|=a+b+a﹣b=2a，

∴|a+b|﹣|a﹣b|是偶数，

∴|a+b|﹣|a﹣b|是奇数的概率是：0．

故答案为：0．

二、选择题：（每题3分，共12分）

18．（3分）点D、E、F分别是△ABC三边中点，且S△DEF=3，则△ABC的面积为（　　）

A．12    B．9    C．6    D．15

【解答】解：如图，∵点D、E、F分别是△ABC三边中点，

∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，

∴===，

∴△DEF∽△ABC，

∵S△DEF=3，

∴==（）2，

解得S△ABC=12．

故选A．

19．（3分）矩形ABCD中，R，P分别是边DC，BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上由B向C移动而R不动时，EF的长（　　）

A．逐渐增大    B．不改变    C．逐渐减小    D．不能确定

【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：

∵R在CD上不动，

∴AR值不变，

∵点E、F分别是AP、RP的中点，

∴EF=AR，

∴不管P怎样移动，EF的值永远等于AR，即不改变．

故选B．

20．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，

∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，

∴它们相似，且相似比为1：2，

同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，

即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，

以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，

∵△ABC周长为1，

∴第2012个三角形的周长为 1：22011．

故选C．

21．（3分）设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取一只，是二等品的概率等于（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有3种可能，

∴二等品的概率==．

故选：C．

三、解答题：

22．如图，，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，，并求的模长．

【解答】解：如图1：过点A作=，

连接OC，

则=，

即为所求；

如图2，作=，

过点A作=，

连接DC，

则=，

即为所求；

连接AB，

则=﹣，

∵，

∴OA=OB=AB=，

∴∠AOB=60°，

∵=，

∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠C=∠COB，

∵OA=OB，

∴OA=OC，

∴∠C=∠AOC，

∴∠AOC=∠COB=∠AOB=30°，

∴OD⊥AB，

∴OD=OA•cos∠AOD=×=，CD=AC•cos∠C=×=，

∴OC=3，

∴的模长为3．

23．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形．

（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度．

【解答】解：（1）连接OC交DE于M，

∵CE⊥OB，CD⊥OA，∠BOA=90°，

∴∠CEO=∠BOA=∠CDO=90°，

∴四边形CEOD是矩形，

∴OM=CM，EM=DM，

∵EH=DG，

∴EM﹣EH=DM﹣DG，

即HM=GM，

∴四边形OGCH是平行四边形．

（2）DG不变．

在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，

∵DG=GH=EH，

∴DG=DE=OC=1，

答：DG的长不变，DG=1．

24．如图，P为矩形ABCD内一点，四边形BCPQ为平行四边形，E、F、G、H分别是AP、PB、BQ、QA的中点，求证：EG=FH．

【解答】证明：连接EH，EF，FG，GH．

∵F，G分别是BP，BQ的中点，

∴FG∥PQ且FG=PQ，

同理，EH∥PQ，FH=PQ，AB∥HG．

∴FG∥EH，且FG=EH，

∴四边形EFGH是平行四边形．

∵PQ∥BC∥FG，

∴∠AMF=∠ABC=90°，

∵GH∥AB，

∴∠HGF=∠AMF=90°，

∴平行四边形EFGH是矩形，

∴EG=FH．

25．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F，

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：　AE　+　CF　=　EF　（不需证明）

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【解答】（1）解：如图1，AE+CF=EF，

理由：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS）；

∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE=∠CBF=30°，

∴AE=BE，CF=BF；

∵∠MBN=60°，BE=BF，

∴△BEF为等边三角形；

∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；

故答案为：AE，CF，EF；

（2）如图2，（1）中结论成立

证明：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，

∵AB⊥AD，BC⊥CD，

∴∠A=∠BCH=90°，

∵在△BCH和△BAE中

，

∴△BCH≌△BAE（SAS），

∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，

∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，

∴∠ABE+∠CBF=120°﹣60°=60°，

∴∠HBC+∠CBF=60°，

∴∠HBF=60°=∠MBN，

在△HBF和△EBF中

∵，

∴△HBF≌△EBF（SAS），

∴HF=EF，

∵HF=HC+CF=AE+CF，

∴EF=AE+CF．

图3中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF，

证明：在AE上截取AQ=CF，连接BQ，

∵AB⊥AD，BC⊥CD，

∴∠A=∠BCF=90°，

在△BCF和△BAQ中

，

∴△BCF≌△BAQ（SAS），

∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，

∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，

∴∠CBE+∠ABQ=60°，

∵∠ABC=120°，

∴∠QBE=120°﹣60°=60°=∠MBN，

在△FBE和△QBE中

，

∴△FBE≌△QBE（SAS），

∴EF=QE，

∵AE=QE+AQ=EF+CF，

∴AE=EF+CF，

即（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF．

26．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为　垂直　，数量关系为　相等　．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．

【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD …（2分）

故答案为：垂直、相等．

②成立，理由如下：…（3分）

∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD与△CAF中，

∵

∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）

∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°

∴CF⊥BD …（7分）

（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）

过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G      …（9分）

则∵∠ACB=45°

∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC，AD=AF，

∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，

∴∠GAD=∠FAC，

∴△GAD≌△CAF（SAS）    …（10分）

∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°

∴CF⊥BC           …（12分）