2020-2021学年甘肃省兰州市七年级(下)期末数学试卷(含解析)

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.下列学习用具中，如果不考虑上面所标的数字，不是轴对称图形的是

A.  B. 

C.  D. 

2.下列说法错误的是

A. 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件

B. 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数

C. 方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大

D. 全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式

3.美国科学家宣布，他们在太阳系外层区域发现了一颗新的行星，这颗新行星目前距离太阳约公里，这个数据用科学记数法表示为   

A. 公里 B. 公里

C. 公里 D. 公里

4.下列两个三角形中，一定全等的是

A. 两个等腰三角形 B. 两个等腰直角三角形

C. 两个等边三角形 D. 两个周长相等的等边三角形

5.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分，，，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若，则BF的长为

A. 

B. 

C. 

D. 

6.两块含角的全等的三角尺，能拼出的平行四边形的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数

7.下列计算结果正确的是

A.  B. 

C.  D. 

8.如图，，点E在线段BC上，，若，则等于

A. 

B. 

C. 

D. 

9.“古诗送郎从军：送郎一路雨飞池，十里江亭折柳枝；离人远影疾行去，归来梦醒度相思．”中，如果用纵轴y表示从军者与送别者行进中离原地的距离，用横轴x表示送别进行的时间，从军者的图象为，送别者的图象为，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是

A.  B. 

C.  D. 

10.如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：

其中能够验证平方差公式有

A.  B.  C.  D. 

11.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A、B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使，连结BC并延长BC到点E，使，连接DE，那么量出DE的长就等于AB的长，这是因为可根据简写方法判定≌．

A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA

12.如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 

是的平分线；

；

点D在AB的垂直平分线上；

若，则点D到AB的距离是1；

：：2．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，直线AB、CD相交于点O，，，则的度数为______．

16.正方形的边长为a，那么它的面积s与a之间的关系式为______．

三、解答题（本大题共12小题，共72.0分）

17.7张如图1的长为a，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分两个矩形用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足什么关系？

18.已知，，求的值；

，，求的值；

已知，，求ab的值；

已知，求的值．

19.在计算，，，时，小明是这样做的：

．

，

，

请你运用整式乘法的有关知识说明小明做法的正确性．

20.如图，的高为的高为，且现有三个条件：

，；

，；

，．

分别添加以上三个条件中的一个，如果能判定≌，写出序号，并画图证明；如果不能判定≌，写出序号，并画出相应的反例图形．

21.如图、均是边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B均在格点上，按下列要求画一个以AB为一边的四边形，且另外两个顶点也在格点上．

在图中画一个是中心对称图形但不是轴对称图形的四边形；

在图中画一个既是中心对称图形又是轴对称图形的四边形．

22.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共4个除颜色外其他都相同，其中红球2个分别标有1号、2号，黄球、蓝求各1个．

第一次任意摸一个球不放回，第二次再摸一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到不同颜色球的概率；

第一次任意摸一个球，然后放回去，混合后第二次再摸出一个球，求两次摸到的球为一个黄球和一个蓝球的概率不写解题过程，直接写出结论．

23.黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一艘外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．如图是渔政船及渔船与港口的距离海里和渔船离开港口的时间时之间的函数图象．假设渔船与渔政船沿同一航线航行

直接写出渔船离开港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数关系式；

已知两船相距不超过30海里时，可以用对讲机通话，在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求两船可以用对讲机通话的时间长？

24.根据所给材料完成第、第两小题．

基础知识：如图a，正方形ABCD的一个顶点B在直线EF上，且，，显然，我们可以证明≌．

实践运用：如图b，锐角的顶点C是直线l上方的一个动点，运动过程中始终保持，A、B点在直线l上，现分别以A、B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F作直线l的垂线，垂足为M、请问在C点的运动过程中，线段的值是否改变，说明你的理由．

变化拓展：当图b中的，其他条件不变时，随着C点的变化，的面积也随之变化．请直接写出面积的最大值为______ ．

25.操作发现：如图，将顶角为的等腰三角形纸片纸片足够大的顶点P与等边的内心O重合，已知，则图中重叠部分OAB的面积为______．

猜想论证：在的条件下，将纸片绕P点旋转至如图所示位置，纸片两边分别与AB，BC交于点E，F，小航猜想图中重叠部分的面积与图重叠部分的面积仍然相等，请你证明小航的猜想．

26.如图，和的平分线交于E，BE交CD于点F，．

试说明：；

若，求的度数．

27.等腰中，，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点，点C在第三象限，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．

若，，画出图形并求C点的坐标；

若点D恰为AC中点时，连接DE，画出图形，判断和大小关系，说明理由．

28.已知，，求式子的值．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，故本选项错误；

故选C．

根据轴对称图形的概念求解．

本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2.【答案】C

【解析】解：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项A不合题意；

B.一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项B不合题意；

C.方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项C符合题意；

D.全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项D不合题意．

故选：C．

分别根据随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查方式判断即可．

本题主要考查了随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查的方式，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】试题分析：A、C答案10的指数有误；D答案前面有误；故选B。

考点：有理数

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了全等三角形的判定方法、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键．由全等三角形的判定方法得出A、B、C不正确，D正确，即可得出结论．

【解答】

解：两个等腰三角形的边与角都可能不对应相等，

不一定全等，故选项A不正确；

两个等腰直角三角形的角都对应相等，但边不一定对应相等，

不一定全等，选项B不正确；

两个等边三角形的角都对应相等，但边不一定对应相等，

不一定全等，选项C不正确；

两个周长相等的等边三角形的边长相等，

两个周长相等的等边三角形一定全等，

选项D正确．

故选D．

5.【答案】C

【解析】解：连接DE，

，，，

，

由勾股定理得，，

是BC的中点，

，

，

对角线BD平分，

，

，

，

在中，，

，

，

，即，

解得，

故选：C．

连接DE，根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出BD，再求出AB，根据，得到，把已知数据代入计算，得到答案．

本题考查的是勾股定理、角平分线的性质、直角三角形30度角的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．

6.【答案】C

【解析】解： 

三角形三条边各不相等，

可得到三个不同的平行四边形．

故选C．

可以画图解答，因为三角形有三条边，且三边各不相等，所以存在着三种不同的拼法．

本题考查了平行四边形的判定，数形结合，分别以不同的三边为对角线即可得到三个不同的平行四边形．

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

根据积的乘方，幂的乘方，可得答案．

【解答】

解：A、，故A不符合题意；

B、，故B符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、，故D不符合题意；

故选B．

8.【答案】C

【解析】分析

根据等腰三角形的定义得出，根据三角形内角和定理求得，然后根据平行线的性质即可求得结论．

本题考查了等腰三角形的两底角相等，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

详解

解：，

，

，

，

，

，

故选C．

9.【答案】C

【解析】解：送郎一路雨飞池，

十从军者和送别者的函数图象在一开始的时候一样，

十里江亭折柳枝，

从军者与送者离原地的距离不变，

离人远影疾行去，

从军者离原地的距离越来越远，送别者离原地的距离越来越近．

故选：C．

由题意得送郎一路雨飞池，说明十从军者和送别者的函数图象在一开始的时候一样，再根据十里江亭折柳枝，说明从军者与送者离原地的距离不变，最后根据离人远影疾行去，说明从军者离原地的距离越来越远，送别者离原地的距离越来越近即可得出答案．

考查了函数的图象，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．

10.【答案】A

【解析】解：图，左边图形的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，

，故可以验证平方差公式；

图，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，

，故可以验证平方差公式；

图，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，

，故可以验证平方差公式；

图，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，

，故可以验证平方差公式．

正确的有．

故选：A．

分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以验证平方差公式作出判断．

本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．

11.【答案】B

【解析】解：如图，连接AB，

由题意可知，在和中，，

≌．

故选：B．

利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等解答．

本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

12.【答案】D

【解析】解：根据作图的过程可知，AD是的平分线，

故正确；

如图，在中，，，

．

又是的平分线，

，

，即．

故正确；

，

，

点D在AB的中垂线上．

故正确；

过点作于H，

，，，

，

在中，，

点D到AB的距离是1；故正确；

在中，，

，

：：：2，

故正确．

综上所述，正确的结论是：，共有5个．

故选：D．

根据作图的过程可以判定AD是的角平分线；

利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；

利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

作于H，由，，，推出即可解决问题；

利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．

13.【答案】

【解析】解：直线AB，CD相交于点O，，

，

，

则的度数为：．

故答案为：．

直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．

此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．

14.【答案】

【解析】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的，

一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：．

故答案为：．

根据矩形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案．

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．

15.【答案】4

【解析】解：原式

．

故答案为：4．

直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

16.【答案】

【解析】解；正方形的面积为边长的平方，而边长为a 

面积与边之间的关系为：．

根据正方形的面积公式直接求即可．

本题考查了图形的面积基本知识，利用公式直接写出即可．

17.【答案】解：解法一：左上角阴影部分的长为AE，宽为，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

，即，，

，即，

阴影部分面积之差，

则，即．

解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，

设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，

增加的面积相等，

，

．

【解析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．

此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

18.【答案】解：．

．

．

．

【解析】根据完全平方公式即可求出答案．

根据完全平方公式即可求出答案．

根据完全平方公式即可求出答案．

根据完全平方公式即可求出答案．

本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．

19.【答案】解：用字母a代表一个正整数，则有如下规律：

，

左边 

右边，

故．

【解析】根据完全平方公式将左边展开，再将前两项分解因式即可得证．

本题主要考查有理数和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和因式分解的能力．

20.【答案】解：能判定≌，证明如下：

如图1，，，，

≌，

，

又，，

≌；

不能判定≌，

对应的反例如图2所示．只要在射线上，且均可

不能判定≌，

对应的反例如图3所示．

【解析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．

本题考查了前段时间的判定，正确的作出图形是解题的关键．

21.【答案】解：如图所示，四边形ABCD即为所求；答案不唯一

如图所示，四边形ABCD即为所求．

【解析】依据中心对称图形以及轴对称图形的性质，即可得到结论；

依据中心对称图形以及轴对称图形的性质，即可得到结论．

此题主要考查了利用轴对称以及旋转变换设计图案，掌握中心对称图形以及轴对称图形的性质是解决问题的关键．

22.【答案】解：列表如下： 

     第2次

第1

两次摸到一个黄球和一个蓝球的概率．

【解析】用列表法或画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；

根据中的图表即可求出求两次摸到的球为一个黄球和一个蓝球的概率．

此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：当时，，

当时，，

当时，；

，，

分两种情况：

，，解得或；

，，解得或．

所以小时

所以，两船可以用对讲机通话的时间长为小时．

【解析】由图象可得出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式，分为三段求函数关系式；

在渔政船驶往黄岩岛的过程中，，渔船与渔政船相距30海里，有两种可能：，，将函数关系式代入，列方程求t．

本题考查了一次函数的应用．关键是根据图象求出渔船的分段函数的解析式及渔政船行驶的函数关系式．

24.【答案】

【解析】g解：，，

，

，

四边形ABCD是正方形，

，，

，

，

在和中，，

≌，

在C点的运动过程中，线段的值是不发生改变，是定值为AB；

理由：如图b，过C作于G，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

在和中，，

≌，

，

同理得，≌，

，

．

如图c，先以AB为斜边在直线l上方作等腰直角三角形，直角顶点为O，再以点O为圆心，OA为半径作圆，点C的运动轨迹是直线l上方的的弧上，

过点C作，

，要的面积最大，则CH最大，即CH过点O，

在等腰直角三角形AOB中，，

， 

最大，

．

故答案为 

先判断出，进而得出结论；

同的方法判断出≌，得出，同理≌，得出，进而得出．

先判断出点C在运动过程中，它的运动轨迹，进而确定面积最大时，点C的位置，即可求出最大值．

此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的公式，极值的确定，判断三角形确定是解本题的关键，面积取极值时点C的位置是解本题的难点．第三问，也可以说成时，三角形ABC的面积最大，此时，计算比较麻烦

25.【答案】

【解析】解：点O为等边的内心，

，，

作于H，如图1，则，

在中，，，

，

图中重叠部分OAB的面积；

图中重叠部分的面积与图重叠部分的面积相等．

证明：连接AO、BO，如图2，

由旋转可得：，则，

在和中，

，

≌，

，

．

图中重叠部分的面积与图重叠部分的面积相等．

利用等边三角形的性质得到，，作于H，如图1，则，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，则根据三角形面积公式可计算出图中重叠部分OAB的面积；

连接AO、BO，如图2，由旋转的性质得，则，再证明≌得到，于是可判断即图中重叠部分的面积与图重叠部分的面积相等．

本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质和旋转的性质．

26.【答案】解：和的平分线交于E，

，，

，

，

；

平分，

，

，

，

．

．

【解析】根据角平分线定义求出，根据平行线的判定推出即可；

根据角平分线求出，根据三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据邻补角定义即可求的度数．

本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质，邻补角定义，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．

27.【答案】解：过点C作轴于点F，如图1所示：

，

．

是等腰直角三角形，，

，，，

．

在和中，

≌

，，

，

；

，理由是：

证明：过点C作交y轴于点G，如图2所示：

，

．

，

．

，，

，

．

在和中，

≌，

．

，

，

在和中，

，

≌，

，

．

【解析】过点C作轴于点F通过证明≌得，，求得OF的值，就可以求出C的坐标；

过点C作交y轴于点G，先证明≌就可以得出，，再证明≌就可以得出结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

28.【答案】解：，，

．

【解析】把，的值代入计算即可．

本题考查代数式求值，掌握代数式求值的方法是解题的关键，属于基础题．