数列通项公式及求和公式几种常用方法

 （1）定义法（适用于等差数列、等比数列）；

例1、已知数列中，，且满足，求数列的通项公式。

练习：在数列中，，若，求

（2）作差法（适用于已知，求）

与之间的关系：

例2、已知数列的前项和为，求数列的通项公式。

练习1：已知数列的前项和为，求数列的通项公式。

（3）叠加法（适用于型）；

例3、数列满足，，求数列{an}的通项公式．  

练习2：在数列中，，求数列的通项公式．

（4）叠乘法（适用于型）；

例4、数列满足，，求数列{an}的通项公式．  

练习3：在数列中，，求数列的通项公式．

（5）构造法（型）；

例5、已知数列满足，（1）求证：数列成等比数列；（2）的表达式

数列求和的常用方法如下：

⑴公式法：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式；

（2）分组求和法：所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例2、求数列的前n项和；

（3）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式的推导。

例3、已知满足，当时，，

求的值；

练习：求的值。

（4）裂项相消法：若数列能裂项成，即所裂两项具有传递性（即关于的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例4、已知数列满足，求数列的前项和

练习：1、求数列的前项和

2、已知数列的通项公式为，求前项的和．

总结规律：裂项相消求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的。常见的拆项公式有：

=          ；=             ；=            ；

（5）错位相减法：这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列。

例5、求数列的前项和。                  

练习：求和：