天津市和平区 2020~2021 学年度第一学期高一年级数学学科期末考试

一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.5sin 6π

=（

）A.12 B.12-

D.2.已知集合1{|31}x A x -=<，2

{|20}B x x x =-≤，则()R A B = ð（）

A.{|01}x x <<

B.{|12}x x <<

C.{|1}x x <

D.{|2}x x <3.已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（）

A.lg lg x y >

B.22x y

> C.11x y

> D.22x y >4.函数3

()ln f x x e

=-的零点所在区间为（）

A.1

(e ，1) B.(1，)e C.(e ，2)e D.2(e ，3)

e 5.已知函数2

21

()(1)m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0，)+∞是减函数，则实数m 的值是（

）

A.－1或2

B.2

C.－1

D.1

6.

已知2log a =

，log b =，0.53c -=，则（）

A.a b c <<

B.a c b <<

C.c a b <<

D.b c a

<<7.

如图是函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2

π

ϕ<的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（

）

A.2，6

π B.2，3

π-

C.1，

6

π D.1，3

π-

8.

若不等式2

2231(22

x ax x a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（）

A.(0，1)

B.3(4，)+∞

C.(0，3)4

D.(-∞，3

)

4

9.已知函数2

2

0()log 0x

x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是

（）A.[1-，)+∞ B.(-∞，1]- C.[0，)+∞ D.[1-，0)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

10.命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定为_______________.

11.化简：31log 43

lg100083+-=________.

12.已知角α是第四象限角，且满足3cos()sin()12

π

αα--+=，则tan α=________.13.已知2a >-，则16

2

a a +

+的最小值为________.

14.已知函数()log (1)(0x a f x a x a =++>且1)a ≠在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，则a =________.15.已知1

()(4)212

x a x f x a x x ⎧≥⎪

=⎨-+<⎪

⎩，若对任意1x ，2x R ∈且12

x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是__________.

三、解答题：本大题共5小题，共6×2＋8＋10×2＝40分.要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.

16.

已知tan()24

π

α+=+.

⑴求tan α的值；

⑵求2222sin 2cos 2sin cos αααα

-+的值.

17.已知α，β为锐角，1cos 7α=

，11cos()14

αβ+=-.⑴求sin()αβ+的值；

⑵求cos β的值.

18.已知定义在[3-，3]上的函数()y f x =是增函数.

⑴若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；

⑵若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，求不等式(1)10f x ++>的解集.19.

已知函数23

()sin cos 2

f x x x x =-+

，x R ∈.⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 的单调递增区间；

⑶求()f x 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

20.已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈，将函数()y f x =的图象向左平移6

π

个单位，得到函数

()y g x =的图象.

⑴求()3

f π

的值；

⑵求函数()y g x =的解析式；

⑶若0()2

x

f =0()

g x .

天津市和平区2020～2021学年度第一学期高一年级数学学科期末质量调查参与解析

一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.5sin 6π

=（

）

A.12

B.12- D.【答案】A

【解析】由诱导公式sin()παα-=可得51

sin sin()sin 6662

ππππ=-==，故选A.

2.已知集合1{|31}x A x -=<，2{|20}B x x x =-≤，则()R A B = ð（）

A.{|01}x x <<

B.{|12}x x <<

C.{|1}x x <

D.{|2}x x <【答案】D

【解析】由3x y =在R 上单调递增及031=可得110{|31}{|33}{|10}{|1}x x A x x x x x x --=<=<=-<=<.∵22{|20}{|20}B x x x x x x =-≤=-≥，∴2{|20}{|(2)0}{|02}R B x x x x x x x x =-<=-<=<<ð，∴(){|1}{|02}{|2}R A B x x x x x x =<<<=< ð，故选D.

3.已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（）

A.lg lg x y >

B.22x y

> C.11x y

> D.22x y >【答案】B

【解析】由函数lg y x =在定义域(0，)+∞上单调递增知lg lg 0x y x y x y >⇔>>⇒>，从而“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件；由函数2x y =在R 上单调递增知22x y x y >⇔>，即“22x y >”是“x y >”

的充分必要条件；2x =-，1y =-满足11x y >，但不满足x y >，2x =，1y =满足x y >，但不满足11

x y

>，

从而“11

x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件；2x =-，1y =-满足22x y >，但不满足x y >，1x =，

2y =-满足x y >，但不满足22x y >，从而“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故选B.

4.函数3

()ln f x x e

=-的零点所在区间为（）

A.1

(e

，1) B.(1，)e C.(e ，2)e D.2(e ，3)

e 【答案】C

【解析】由函数ln y x =在定义域(0，)+∞上单调递增知函数3

()ln f x x e

=-在定义域(0，)+∞上单调递增，

从而最多有一个零点.

∵33()ln 10f e e e e =-=-<，2233

()ln 20f e e e e

=-=->，∴2()()0f e f e <，

结合零点存在定理可知，函数3

()ln f x x e

=-存在唯一零点，且零点(e ∈，2)e ，故选C.

5.

已知函数2

21()(1)m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0，)+∞是减函数，则实数m 的值是（）

A.－1或2

B.2

C.－1

D.1【答案】C

【解析】由幂函数的定义（函数y x α=为幂函数）知211m m --=，解得1m =-或2.由幂函数的性质（当0α>时，函数y x α=在(0，)+∞上单调递增，当0α<时，函数y x α=在(0，)+∞上单调递减）知210m m +-<.当1m =-时，2110m m +-=-<，满足；当2m =时，2150m m +-=>，不满足.故选C.

6.

已知2log a =，log b =，0.53c -=，则（）

A.a b c <<

B.a c b

<< C.c a b

<< D.b c a

<<

【答案】D

【解析】由函数2log y x =在(0，)+∞上单调递增及2log 21=

可知22log log 21a =>=，

由函数5log y x =在(0，)+∞

上单调递增及51log 2=

可知551

log log 2

b =<，

由函数3x

y =在R 上单调递增及031=

可知100.5211133()32

-=>==

，从而b c a <<，故选D.7.如图是函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)2

π

ϕ<的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（

）

A.2，6

π B.2，3

π-

C.1，

6

π D.1，3

π-

【答案】A

【解析】由图可知，6x π=

和23

x π=是函数()f x 的两条相邻对称轴，而相邻两条对称轴之间的距离是半周期，∴2123622ππππ

ω-==⨯

，解得2ω=.由当6x π=时函数()f x 取得最大值可得2226k πϕππ⨯+=+，k Z ∈，解得26k π

ϕπ=+，k Z ∈，

结合2πϕ<可得6

π

ϕ=，故选A.

8.若不等式2

2

231

(22

x ax x a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（）

A.(0，1)

B.3(4，)+∞

C.(0，3)4

D.(-∞，3

)

4

【答案】B

【解析】由函数2x y =在R 上单调递增得2

2

2

2

232322221

(22223(32)02

x ax x a x ax x a x ax x a x a x a -+-++<⇒<⇒-+<+⇒+-+>，由二次函数22(32)y x a x a =+-+的图象开口向上可得22(32)40a a ∆=--<，解得3

4

a >，故选B.

9.已知函数2

2

0()log 0x

x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是

（）

A.[1-，)+∞

B.(-∞，1]-

C.[0，)+∞

D.[1-，0)【答案】A 【解析】方法一：函数()g x 有两个零点⇔方程()0f x x m ++=有两个根⇔方程()f x x m +=-有两个根⇔函数()()h x f x x =+的图象与直线y m =-有两个交点.

∵220()()log 0

x

x

x h x f x x x x x ⎧+≤⎪=+=⎨+>⎪⎩，函数2x y =在(-∞，0)上单调递增，函数2log y x =在(0，)+∞上

单调递增，函数y x =在R 上单调递增，

∴函数()h x 在(-∞，0)和(0，)+∞上单调递增.

∵11(1)2102h --=-=-<，(0)1h =，211111

(log 122222

h =+=-+=-，2(1)log 111h =+=，

∴可以画出函数()h x 的大致图象如下：

由图可知，1m -≤，解得1m ≥-，故选A.

方法二：函数()g x 有两个零点⇔方程()0f x x m ++=有两个根⇔方程()f x x m =--有两个根⇔函数()f x 的图象与直线y x m =--有两个交点.画出函数()f x 的大致图象如下：

直线y x m =--表示斜率为1-的直线，由图可知，当直线y x m =--与y 轴的交点不高于(0，1)时，两个图象有两个交点，从而1m -≤，解得1m ≥-，故选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

10.命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定为_______________.【答案】x R ∀∈，210x x -+≠【解析】命题“x R ∃∈，210x x -+=”为存在量词命题，它的否定为全称量词命题“x R ∀∈，210x x -+≠”.11.化简：31log 43

lg100083+-=________.【答案】1

【解析】由对数的定义（若x a N =，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =）可得3lg1000lg103==（lg x 表示以10为底x 的对数）；由对数的定义的推论（把log a x N =代入x a N =可得log a N a N =）可得3log 434=；

∵1

3

82==，∴31log 43

lg1000833241+-=+-=.

12.已知角α是第四象限角，且满足3cos()sin()12

π

αα--+=，则tan α=________.

【答案】【解析】由诱导公式cos()cos αα-=及sin(

)cos 2

π

αα+=可得1

3cos()sin()13cos cos 1cos 22

πααααα--+=⇒-=⇒=，

由同角三角函数的基本关系（平方关系：22sin cos 1αα+=）可得3

sin 2

α==±，∵角α是第四象限角，∴sin 0α<，∴3sin 2

α=-

，

由同角三角函数的基本关系（商的关系：sin tan cos ααα=）

可得sin tan cos α

αα

==.13.已知2a >-，则16

2

a a ++的最小值为________.【答案】6

【解析】基本不等式（如果0a >，0b >

，那么a b +≥）：

∵2a >-，∴20a +>

，∴1616(2)2282622a a a a +

=++-≥≥-=++，当且仅当16

22

a a +=+，即2a =时，等号成立，

∴16

2

a a ++的最小值为6.

14.已知函数()log (1)(0x a f x a x a =++>且1)a ≠在[0，1]上的最大值和最小值之和为a ，

则a =________.【答案】

1

2

【解析】由指数函数和对数函数的单调性可知函数()log (1)(0x a f x a x a =++>且1)a ≠在[0，1]上是单调函数，从而最大值和最小值之和为(0)(1)f f +，即01log 1log 2a a a a a +++=，也即log 21a =-，

∴12a -=，即1

2a =.

15.已知1

()(4)21

2

x a x f x a

x x ⎧≥⎪

=⎨-+<⎪⎩，若对任意1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[4，8)

【解析】对任意1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212

()()

0f x f x x x ->-成立，则对任意1x ，2x R ∈且12x x <，都有

12()()f x f x <，依据函数单调性的定义可知，函数()f x 在R 上单调递增，从而实数a 满足

1

140

2(4122

a a a a ⎧⎪>⎪

⎪

->⎨⎪

⎪≥-⨯+⎪⎩解得48a ≤<.

三、解答题：本大题共5小题，共6×2＋8＋10×2＝40分.要求写出文字说明，解答过程或演算步骤.

16.

已知tan()24

π

α+=+.

⑴求tan α的值；

⑵求2222sin 2cos

2sin cos αααα

-+的值.

1

-【解析】⑴方法一：∵tan(24

π

α+=+，

∴依据两角和的正切公式可得

tan tan

421tan tan

4

π

απ

α+=+-.

第5页（共6页）∵tan

14π=

，∴tan 121tan αα+=+-

，可得tan α=.

方法二：tan()tan 44tan tan[()]441tan()tan 44

3ππαππααππα===+-=+-=++.⑵22222222222222sin 2cos 12sin 2cos tan 2cos cos 3112sin cos 2sin cos 2tan 1213cos cos αααααααααααααα----====-++⨯++.17.已知α，β为锐角，1cos 7α=，11cos()14

αβ+=-.⑴求sin()αβ+的值；

⑵求cos β的值.【答案】⑴

5314，⑵12【解析】⑴由同角三角函数的基本关系（平方关系：22sin cos 1αα+=）

2275sin ()1cos ()196αβαβ+=-+=，即sin()αβ+=，∵α，β为锐角，∴02πα<<

，0

2πβ<<，∴0αβπ<+<，∴sin()0αβ+>

，即

sin()αβ+

=⑵∵α为锐角，1cos 7α=，∴sin α===，∴11153431cos cos[()]cos()cos sin()sin 1471472

βαβααβααβα=+-=+++=-⨯+⨯.18.已知定义在[3-，3]上的函数()y f x =是增函数.

⑴若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；

⑵若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，求不等式(1)10f x ++>的解集.

【答案】⑴[1-，2)，⑵(3-，2]

【解析】⑴∵定义在[3-，3]上的函数()y f x =是增函数，且(1)(21)f m f m +>-，

∴依据定义域的要求可得313m -≤+≤，3213m -≤-≤，依据单调性的定义可得121m m +>-，联立解得12m -≤<，即实数m 的取值范围为[1-，2).

⑵∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，∴(2)(2)1f f -=-=-（奇函数的定义），

∴(1)10(1)1(1)(2)f x f x f x f ++>⇒+>-⇒+>-，

∵定义在[3-，3]上的函数()y f x =是增函数，∴312x ≥+>-，解得32

x -<≤，

∴不等式(1)10f x ++>的解集为(3-，2].19.已知函数23()sin cos 2

f x x x x =-+，x R ∈.⑴求()f x 的最小正周期；

⑵求()f x 的单调递增区间；

⑶求()f x 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

【答案】⑴π，⑵[12k ππ-，5]12k ππ+，k Z ∈，⑶5212k x ππ=+，k Z ∈，(26

k ππ+，0)，k Z ∈.【解析】⑴由二倍角的正弦和余弦公式sin 22sin cos x x x =和2cos 22cos 1x x =-可得

1sin cos sin 2

2x x x =，2cos 21cos 2

x x +=，∴21()sin cos sin 2(cos 21)2222

f x x x x x x =-+-++

第6页（共

6页）1sin 22sin 2cos cos 2sin sin(2)22333x x x x x πππ=-=-=-，∴函数()f x 的最小正周期为22

T ππ==.⑵令23t x π=-，则()sin(2)sin 3

f x x t π=-=.∵函数sin y t =的单调递增区间为[22k ππ-，2]2

k ππ+，k Z ∈，由222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈解得51212

k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为[12k ππ-，5]12

k ππ+，k Z ∈.⑶∵函数sin y t =的对称轴方程为2

x k ππ=+，k Z ∈，对称中心为(k π，0)，k Z ∈，由232x k πππ-=+，k Z ∈得5212k x ππ=+，k Z ∈，由23x k ππ-=，k Z ∈得26k x ππ=+，k Z ∈，∴函数()f x 图象的对称轴方程为5212k x ππ=+，k Z ∈，对称中心的坐标为(26

k ππ+，0)，k Z ∈.20.已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象.⑴求()3

f π的值；⑵求函数()y

g x =的解析式；

⑶若0()2

x f =0()g x .【答案】⑴2，⑵()2sin(2)6

g x x π=+，⑶1-【解析】⑴()4cos sin()14cos sin co (s cos sin 66

)16x x f x x x x πππ-=-+=

+214cos cos )1cos 2cos 12

x x x x x x =-+=-

+12cos 22cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2si n(2)2666

x x x x x x x πππ=-=-=-=-，∴2()2sin()2sin 23362

f ππππ=-==.⑵()()2sin[2()]2sin(2)6666

g x f x x x ππππ=+=+-=+.

⑶∵0(2x f =

02sin()6

x π-=03sin()62x π-=，∴00000()2sin(2)2cos[(2)]2cos(2)2cos(2)62633

g x x x x x πππππ=+=-+=-=-220032cos 2()2[12sin ()]2[12()]1662x x ππ=-=--=⨯-⨯=-.