高一数学《函数》全章知识点整理

一、函数的概念与表示

 1、映射

（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素  定义域对应法则值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

1、下列各对函数中，相同的是                                           （     ）

A、   B、      

C、   D、f（x）=x，

2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有                                                    （    ）

A、 0个       B、 1个      C、 2个       D、3个

1、求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

（3）对数函数的真数必须大于零；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

6.（05卷）函数

（1）

   （2）  

例2设，则的定义域为_________

变式练习：，求

1求函数值域的方法

①从自变量x的围出发，推出y=f(x)的取值围，适合于简单的复合函数；

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值围；适合分母为二次且∈R的分式；

④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有围时要画图）；

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；

几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

1． 

2． 

3．（换元法）

5. 

6. (分离常数法) ①                              ② 

7. (单调性)

8.①，②   (结合分子/分母有理化的数学方法)

9．(图象法)

10．(对号函数)        

1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇  偶±偶=偶   奇×奇=偶   偶×偶=偶   奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3．奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系

1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时，                 .

2 已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值围；

3 已知在（－1，1）上有定义，且满足

证明：在（－1，1）上为奇函数；

4 若奇函数满足，，则

1、函数单调性的定义：

2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

1判断函数的单调性。

2例 函数对任意的，都有，并且当时，，

   ⑴求证：在上是增函数；

   ⑵若，解不等式 

3函数的单调增区间是________

4(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值围是 （    ）

（A）       （B）        （C）

1．（定义）若是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是的周期

（推广）若，则是周期函数，是它的一个周期

对照记忆

说明：

1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

2 定义在R上的偶函数，满足，在区间［-2,0］上单调递减，设，则的大小顺序为_____________

3 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则

f (2005)=           .

4 已知是(-)上的奇函数，，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=________

例11 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时

⑴求证：是周期函数；

⑵当时，求的解析式；

1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。

3、关于反函数的性质

（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；

（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；

（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；

（4）f-1[f(x)]=x;

（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f--1(x)的图象上；

（6）y=f(x)的图象与其反函数y=f--1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;

1设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过

（A）    （B）    （C）

1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标

2．二次函数与一元二次方程关系

一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。

一元二次不等式的解集(a>0)

（A）      

2、方程

1．幂的有关概念

(1)零指数幂

(2)负整数指数幂

(3)正分数指数幂；

(5)负分数指数幂

(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

2．有理数指数幂的性质

3．根式

根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则

4．对数

(1)对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记

(2)对数的性质：①零与负数没有对数   ②    ③

(3)对数的运算性质

  logMN=logM+logN  

   对数换底公式：

对数的降幂公式：

  (1)  

1、指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数

2、，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）

记住下列特殊值为底数的函数图象：

3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域

4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

1、（1）的定义域为_______；

（2）的值域为_________；

（3）

2、（1），则

3、要使函数在上恒成立。求的取值围。

4.若a2x+·ax－

（左+  右- ，上+ 下- ）即

1对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

1．f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的反函数的图象过点（    ）

A.(3,0)    B.(0,3)     C.(4,1)    D.(1,4)

2．作出下列函数的简图：

（1）y=|log|；                         （2）y=|2x-1|；

     1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

   单调递增

  单调递减

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

 奇函数

 偶函数

3．函数的凸凹性：

  凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）

  凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）