数值计算方法复习题1

习题一

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。（1） ； （2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；

（1）5， ， ；（2）2， ， ；（3）4， ， ；（4）5， ， ；（5）1， ， ；（6）2， ， （7）6， ， 

2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 ，问各近似值分别应取几位有效数字？

；           ；         显示答案

3. 设 均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。

（1） ；           （2） ；             （3） 

（1） ；     （2） ；（3）  

显示答案

4. 计算 ，取 ，利用下列等价表达式计算，(3)的结果最好.（1） ； (2） ； (3）   (4） 显示答案

5. 序列 满足递推关系式 若 （三位有效数字），计算 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？不稳定。从 计算到 时，误差约为 显示答案

 6. 求方程 的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用 。，

显示答案 7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。

   1） ；     2） 

3） ；       

4） ;

显示答案8. 设 ，求证：1）  2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。

9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，有

已知x*的相对误差满足，而，

故即

10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义得

有5位有效数字，其误差限，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，

11.下列公式如何才比较准确？

（1）（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）

12.近似数x*=0.0310,是位有（3位）有效数字。

13.计算取，利用 （） 式计算误差最小。

    四个选项：

习题二

1. 已知 ，求 的二次值多项式。显示答案

2. 令 求 的一次插值多项式，并估计插值误差。

解：显示答案 ； ， 介于x和0，1决定的区间内；，当 时。

3. 给出函数 的数表，分别用线性插值与二次插值求 的近似值，并估计截断误差。0.54667，0.000470；0.54714，0.000029

	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
	0.342	0.47943	0.5	0.422	0.71736

 4. 设 ，试利用拉格朗日余项定理写出以 为节点的三次插值多项式。

显示答案5. 已知 ，求 及 的值。1，0

显示答案6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算 和 的近似值。， 

X	1.615	1.634	1.702	1.828	1.921
F (x)	2.41450	2.459	2.65271	3.03035	3.34066

7. 已知函数 的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表；（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

X	0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5
f (x)	1.00	1.32	1.68	2.08	2.52	3.00

解：向前插值公式 

向后插值公式 

显示答案8. 下表为概率积分 的数据表，试问：1） 时，积分 2） 为何值时，积分 ？。

X	0.46	0.47	0.48	0.49
P	0.484655	0.4937452	0.5027498	0.5116683

9. 利用 在 各点的数据（取五位有效数字），求方程 在0.3和0.4之间的根的近似值。0.337

10. 依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。

x	0	1
y	0	1
y¢	－3	9

11. 依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。

X	0	1	2
Y	0	－2	3
y¢	0	1

显示答案12. 在 上给出 的等距节点函数表，用分段线性插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问函数表的步长h应怎样选取？

显示答案 13. 将区间 分成n等分，求 在 上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。

显示答案 显示答案14、给定的数值表

用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限

解：　仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值

误差限，因，故

二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值

误差限，故

15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?

解：用误差估计式，

令因得

16、若，求和

解：由均差与导数关系

于是

17、若互异，求的值，这里p≤n+1.

解：，由均差对称性可知当有

而当P＝n＋1时

于是得

18、求证

解：只要按差分定义直接展开得

19、已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.

解：根据给定函数表构造均差表

当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)

由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得

由于

20、给定f(x)=cosx的函数表

用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差.

解：计算，用n=4得Newton前插公式

误差估计

其中计算时用Newton后插公式（5.18)

误差估计得

这里仍未0.565

21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足

解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足，显然，再令

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝ ，于是

22.令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是［-1,1］上带权的正交多项式序列.

解：因

23、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.

解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数

法方程为

解得

最小二乘拟合曲线为

均方程为

1) 满足条件插值多项式p(x)=( ).

2) ,则f［1,2,3,4］=？，f［1,2,3,4,5］=？. 

3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，则＝？，＝？. 

4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝？，＝？；