宁波市镇海区2018年八年级上期末数学试卷(含答案)

数学试卷

一、仔细选一选（本题有12个小题，每小题4分，共48分）

1．下列四组线段中，能组成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，4cm    B．3cm，4cm，7cm    C．4cm，6cm，2cm    D．7cm，10cm，2cm

2．下列图案是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．下列各式计算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）

A．x﹣3＞y﹣3    B．＞    C．x+3＞y+3    D．﹣3x＞﹣3y

5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　）

A．（3，2）    B．（2，﹣3）    C．（﹣2，3）    D．（﹣2，﹣3）

6．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）

A．∠1=50°，∠2=40°    B．∠1=50°，∠2=50°

C．∠1=∠2=45°    D．∠1=40°，∠2=40°

7．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+n图象上的两点，则a与b的大小关系是（　　）

A．a≤b    B．a＜b    C．a≥b    D．a＞b

8．直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（　　）

A．6    B．6.5    C．6或 6.5    D．6或 2.5

9．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（　　）

A．x＜﹣1    B．x＜3    C．x＞﹣1    D．x＞3

10．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）

A．﹣＜a≤﹣    B．﹣≤a＜﹣    C．﹣≤a≤﹣    D．﹣＜a＜﹣

11．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．一定成立的结论有（　　）

A．①②③    B．①②③⑤    C．②③④    D．③④⑤

12．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（　　）

A．    B．    C．    D．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

13．若代数式有意义，则a的取值范围为　　．

14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为　　．

16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为　　．

17．阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则《x》=n．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，…．给出下列关于《x》的问题：①《》=2；②《2x》=2《x》；③当m为非负整数时，《m+2x》=m+《2x》；④若《2x﹣1》=5，则实数x的取值范围是≤x＜；⑤满足《x》=x的非负实数x有三个．其中正确结论的个数是　　个．

18．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则S2016=　　．

三、解答题（本题有8个小题，共78分，解答需写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）

19．计算或化简：

（1）（2﹣3）2+（2+）（2﹣）

（2）﹣+（﹣2）0+．

20．解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．

21．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．

（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．

（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．

22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为点D，CE⊥AB垂足为点E，AE=CE．

求证：（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

23．2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：

（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．

24．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”．

（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值；

（2）A，B的“5和点”有几个，请分别求出坐标；

（3）直接指出点A，B的“m和点”的个数情况和相应的m取值条件．

25．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．

方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．

请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；

（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；

（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

26．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P．

（1）求点P坐标和b的值；

（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．

①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；

②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；

③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

浙江省宁波市八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、仔细选一选（本题有12个小题，每小题4分，共48分）

1．下列四组线段中，能组成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，4cm    B．3cm，4cm，7cm    C．4cm，6cm，2cm    D．7cm，10cm，2cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系定理：如果a、b、c是三角形的三边，且同时满足a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，则以a、b、c为边能组成三角形，根据判断即可．

【解答】解：A、∵3+2＞4，∴2，3，4能组成三角形，故本选项正确；

C、∵4+3=7，∴3，4，7不能组成三角形，故本选项错误；

D、∵2+4=6，∴2，4，6不能组成三角形，故本选项错误；

B、∵7+2＜10，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项错误；

故选A．

2．下列图案是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：D图形是轴对称图形，

故选：D．

3．下列各式计算正确的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．

【解答】解：A、原式=6，所以A选项的计算错误；

B、5与5不能合并，所以B选项的计算错误；

C、原式=8=8，所以C选项的计算正确；

D、原式=2，所以D选项的计算错误．

故选C．

4．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）

A．x﹣3＞y﹣3    B．＞    C．x+3＞y+3    D．﹣3x＞﹣3y

【考点】不等式的性质．

【分析】根据不等式的基本性质，进行判断即可．

【解答】解：A、根据不等式的性质1，可得x﹣3＞y﹣3，故A选项正确；

B、根据不等式的性质2，可得＞，故B选项正确；

C、根据不等式的性质1，可得x+3＞y+3，故C选项正确；

D、根据不等式的性质3，可得﹣3x＜﹣3y，故D选项错误；

故选：D．

5．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　）

A．（3，2）    B．（2，﹣3）    C．（﹣2，3）    D．（﹣2，﹣3）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．

【解答】解：∵点A（2，3），

∴点A关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．

故选：B．

6．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）

A．∠1=50°，∠2=40°    B．∠1=50°，∠2=50°

C．∠1=∠2=45°    D．∠1=40°，∠2=40°

【考点】命题与定理．

【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．

【解答】解：A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；

B、不满足条件，故B选项错误；

C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；

D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．

故选：C．

7．已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+n图象上的两点，则a与b的大小关系是（　　）

A．a≤b    B．a＜b    C．a≥b    D．a＞b

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】把点M和点N的坐标代入一次函数的解析式，求出a、b的值，比较即可．

【解答】解：∵点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+n图象上的两点，

∴a=﹣2+n，b=﹣4+n，

∴a﹣b=（﹣2+n）﹣（﹣4+n）=2＞0，

∴a＞b，

故选：D．

8．直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（　　）

A．6    B．6.5    C．6或 6.5    D．6或 2.5

【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

【分析】分①12是直角边时，利用勾股定理列式求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答，②12是斜边，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：①12是直角边时，斜边==13，

第三边上的中线长=×13=6.5，

②12是斜边时，第三边上的中线长=12=6，

故选：C．

9．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（　　）

A．x＜﹣1    B．x＜3    C．x＞﹣1    D．x＞3

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】观察函数图象，写出直线l1在直线l2上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．

故选A．

10．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）

A．﹣＜a≤﹣    B．﹣≤a＜﹣    C．﹣≤a≤﹣    D．﹣＜a＜﹣

【考点】一元一次不等式组的整数解．

【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．

【解答】解：由（1）得x＞8；

由（2）得x＜2﹣4a；

其解集为8＜x＜2﹣4a，

因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则，

解得﹣≤a＜﹣．

故选B．

11．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．一定成立的结论有（　　）

A．①②③    B．①②③⑤    C．②③④    D．③④⑤

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE； 

②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

③同②得：△ACP≌△BCQ，即可得出结论；

④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．

【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，①正确；

②∠DCP=180°﹣2×60°=60°=∠ECQ，

在△CDP和△CEQ中，，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP=CQ，

∴∠CPQ=∠CQP=60°，

∴∠QPC=∠BCA，

∴PQ∥AE，②正确；

③同②得：△ACP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

③正确；

④∵DE＞QE，且DP=QE，

∴DE＞DP，故④错误；

⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∵△DCE是等边三角形，

∠EDC=60°=∠BCD，

∴BC∥DE，

∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，

∴⑤正确；

故选：B．

12．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】等边三角形的性质．

【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．

【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．如图所示：

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

∵在△PFD和△QCD中，，

∴△PFD≌△QCD（AAS），

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=AC，

∵AC=1，

∴DE=．

故选：A．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

13．若代数式有意义，则a的取值范围为　a≥2016　．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．

【解答】解：由题意，得

a﹣2016≥0，

解得a≥2016，

故答案为：a≥2016．

14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　两个角相等三角形是等腰三角形　．

【考点】命题与定理．

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．

【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为　4　．

【考点】角平分线的性质．

【分析】直接根据角平分线的性质可得出结论．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，

∴点D到AB的距离为4．

故答案为：4．

16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为　　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．

【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．

【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，

∵B、B′关于AC的对称，

∴AC、BB′互相垂直平分，

∴四边形ABCB′是平行四边形，

∵三角形ABC是边长为2，

∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，

作B′G⊥BC的延长线于G，

∴B′G=AD=，

在Rt△B′BG中，

BG===3，

∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，

在Rt△B′DG中，B′D===．

故BE+ED的最小值为．

故答案为：．

17．阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则《x》=n．例如：《0.67》=1，《2.49》=2，…．给出下列关于《x》的问题：①《》=2；②《2x》=2《x》；③当m为非负整数时，《m+2x》=m+《2x》；④若《2x﹣1》=5，则实数x的取值范围是≤x＜；⑤满足《x》=x的非负实数x有三个．其中正确结论的个数是　2　个．

【考点】一元一次不等式组的应用．

【分析】根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

《》=1，故①错误；

当x=1.4时，《2x》=《2×1.8》=3，2《x》=2《1.4》=2，则《2x》≠2《x》，故②错误；

当m为非负整数时，《m+2x》=m+《2x》，故③正确；

若《2x﹣1》=5，则4.5≤2x﹣1＜5.5，解得≤x＜，故④正确；

满足《x》=x的非负实数x的值是x=0，故⑤错误；

由上可得，题目中正确的结论有2个，

故答案为：2．

18．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则S2016=　　．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．

【解答】解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，

分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，

∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，

∴B1（1，2），

同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，

则B2（2，4），

B3（3，6）…

∵A1B1∥A2B2，

∴△A1B1P1∽△A2B2P1，

∴=，

∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为1：2，

∴A1B1边上的高为：，

∴S△A1B1P1=××2=，

同理可得出：S△A2B2P2=，S△A3B3P3=，

∴Sn=，

∴S2016==，

故答案为：．

三、解答题（本题有8个小题，共78分，解答需写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）

19．计算或化简：

（1）（2﹣3）2+（2+）（2﹣）

（2）﹣+（﹣2）0+．

【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．

【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；

（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，再利用二次根式的性质和零指数幂的意义化简，然后合并即可．

【解答】解：（1）原式=12﹣12+18+4﹣3

=31﹣12；

（2）原式=2﹣+1+﹣1

=．

20．解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．

【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可．

【解答】解：，

由①得：x≥﹣1，

由②得：x＜3，

不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．

在数轴上表示为：．

不等式组的非负整数解为2，1，0．

21．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．

（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．

（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．

【考点】作图—应用与设计作图；三角形三边关系．

【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．

（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：

①作射线AB，且取AB=4； 

②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C； 

③连接AC、BC．则△ABC即为满足条件的三角形．

【解答】解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．

（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a=2，b=3，c=4时满足a＜b＜c．

如答图的△ABC即为满足条件的三角形．

22．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC垂足为点D，CE⊥AB垂足为点E，AE=CE．

求证：（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF=2CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质和已知条件易证△AEF≌△CEB；

（2）由（1）可知AF=BC，BC=2CD，所以AF=2CD，问题得证．

【解答】解：

（1）证明：∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°．

∵CE⊥AB，

∴∠B+∠BCE=90°．

∴∠EAF=∠ECB，

在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB；

（2）∵△AEF≌△CEB．

∴AF=BC．

∵AB=AC，AD⊥BC．

∴CD=BD，BC=2CD

∴AF=2CD．

23．2010年6月5日是第38个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：

（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据已知信息和若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，列出不等式组，求解得出进车方案．

（2）根据已知列出利润函数式，求最值，选择方案．

（3）根据已知通过计算分析得出答案．

【解答】解：（1）设A型汽车购进x辆，则B型汽车购进（16﹣x）辆．

根据题意得：，

解得：6≤x≤8．

∵x为整数，

∴x取6、7、8．

∴有三种购进方案：

根据题意得：W=（32﹣30）x+（45﹣42）（16﹣x）

W=﹣x+48．                 

∵k=﹣1＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x=6时，w有最大值，W最大=﹣6+48=42（万元）

∴当购进A型车6辆，B型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元．    

（3）设电动汽车行驶的里程为a万公里．

当32+0.65a=45时，解得：a=20＜30．

∴选购太阳能汽车比较合算．

24．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”．

（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值；

（2）A，B的“5和点”有几个，请分别求出坐标；

（3）直接指出点A，B的“m和点”的个数情况和相应的m取值条件．

【考点】勾股定理；坐标与图形性质．

【分析】（1）先由A、B两点的坐标求出AB=4，再根据等边三角形的定义得到AC=BC=AB=4，然后根据“m和点”的定义即可求出m=8；

（2）设点C为点A，B的“5和点”．根据“m和点”的定义可知点C在坐标轴上，再分两种情况进行讨论：①如果点C在x轴上，设C点坐标为（x，0），根据AC+BC=5列出方程|x+2|+|x﹣2|=5，解方程求出x的值，即可得到C点坐标；②如果点C在y轴上，设C点坐标为（0，y），根据AC+BC=5列出方程+=5，解方程求出y的值，即可得到C点坐标；

（3）由AB=4，可知点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况进行讨论：①当m＜4时，根据两点之间线段最短可知A，B的“m和点”没有；②当m=4时，x轴上﹣2与2之间的任意一个数所对应的点都是A，B的“m和点”，所以有无数个；③当m＞4时，A，B的“m和点”x轴上有2个，y轴上也有2个，一共有4个．

【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0），

∴AB=2﹣（﹣2）=4．

∵△ABC为等边三角形，

∴AC=BC=AB=4，

∴AC+BC=4+4=8，即m=8；

（2）设点C为点A，B的“5和点”．分两种情况：

①如果点C在x轴上，设C点坐标为（x，0）．

∵AC+BC=5，

∴|x+2|+|x﹣2|=5，

当x≤﹣2时，﹣（x+2）﹣（x﹣2）=5，解得x=﹣2.5，所以C点坐标为（﹣2.5，0）；

当﹣2＜x≤2时，（x+2）﹣（x﹣2）=5，x无解；

当x＞2时，（x+2）+（x﹣2）=5，解得x=2.5，所以C点坐标为（2.5，0）；

②如果点C在y轴上，设C点坐标为（0，y）．

∵AC+BC=5，

∴+=5，

∴=2.5，

两边平方，得4+y2=6.25，

解得y=±1.5．

经经验，y=±1.5都是原方程的根，

所以C点坐标为（0，1.5），（0，﹣1.5）；

综上所述，A，B的“5和点”有4个，坐标为（﹣2.5，0），（2.5，0），（0，1.5），（0，﹣1.5）；

（3）∵AB=4，

∴点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况：

①当m＜4时，A，B的“m和点”没有；

②当m=4时，A，B的“m和点”有无数个；

③当m＞4时，A，B的“m和点”有4个．

25．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t的函数关系如图1所示．

方成思考后发现了如图1的部分正确信息：乙先出发1h；甲出发0.5小时与乙相遇．

请你帮助方成同学解决以下问题：

（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；

（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；

（3）分别求出甲，乙行驶的路程S甲，S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；

（4）丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，即可解答；

（2）先求出甲、乙的速度、所以OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，根据当20＜y＜30时，得到20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，解不等式组即可；

（3）得到S甲=60t﹣60（），S乙=20t（0≤t≤4），画出函数图象即可；

（4）确定丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：S丙=﹣40t+80（0≤t≤2），根据S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，所以丙出发h与甲相遇．

【解答】解：（1）直线BC的函数解析式为y=kt+b，

把（1.5，0），（）代入得：

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=40t﹣60；

设直线CD的函数解析式为y1=k1t+b1，

把（），（4，0）代入得：，

解得：，

∴直线CD的函数解析式为：y=﹣20t+80．

（2）设甲的速度为akm/h，乙的速度为bkm/h，根据题意得；

，

解得：，

∴甲的速度为60km/h，乙的速度为20km/h，

∴OA的函数解析式为：y=20t（0≤t≤1），所以点A的纵坐标为20，

当20＜y＜30时，

即20＜40t﹣60＜30，或20＜﹣20t+80＜30，

解得：或．

（3）根据题意得：S甲=60t﹣60（）

S乙=20t（0≤t≤4），

所画图象如图2所示：

（4）当t=时，，丙距M地的路程S丙与时间t的函数表达式为：

S丙=﹣40t+80（0≤t≤2），

如图3，

S丙=﹣40t+80与S甲=60t﹣60的图象交点的横坐标为，

所以丙出发h与甲相遇．

26．如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P．

（1）求点P坐标和b的值；

（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．

①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；

②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；

③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；

（2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ=9﹣t，然后根据S=AQ•|yP|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式﹣t+＜3，即可求得t＞7时，△APQ的面积小于3；③分三种情况：当PQ=PA时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（2+1）2+（0﹣3）2，当AQ=PA时，则（t﹣7﹣2）2=（2+1）2+（0﹣3）2，当PQ=AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（t﹣7﹣2）2，即可求得．

【解答】解；（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，

∴3=﹣m+2，解得m=﹣1，

∴点P的坐标为（﹣1，3），

把点P的坐标代入y2=x+b得，3=×（﹣1）+b，

解得b=；

（2）∵b=，

∴直线l2的解析式为y=x+，

∴C点的坐标为（﹣7，0），

①由直线l1：y1=﹣x+2可知A（2，0），

∴当Q在A、C之间时，AQ=2+7﹣t=9﹣t，

∴S=AQ•|yP|=×（9﹣t）×3=﹣t；

当Q在A的右边时，AQ=t﹣9，

∴S=AQ•|yP|=×（t﹣9）×3=t﹣；

即△APQ的面积S与t的函数关系式为S=﹣t+或S=t﹣；

②∵S＜3，

∴﹣t+＜3或t﹣＜3

解得7＜t＜9或9＜t＜11．

③存在；

设Q（t﹣7，0），

当PQ=PA时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（2+1）2+（0﹣3）2

∴（t﹣6）2=32，解得t=3或t=9（舍去），

当AQ=PA时，则（t﹣7﹣2）2=（2+1）2+（0﹣3）2

∴（t﹣9）2=18，解得t=9+3或t=9﹣3；

当PQ=AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2=（t﹣7﹣2）2，

∴（t﹣6）2+9=（t﹣9）2，解得t=6．

故当t的值为3或9+3或9﹣3或6时，△APQ为等腰三角形．