数值分析大作业 超松弛迭代法如何选取最佳松弛因子

船建学院 B1301095 wj

一、课题背景

逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel方法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它具有计算公式简单，程序设计容易，占用计算机内存较少等优点，但需要选择好的加速因子（即最佳松弛因子）。

最佳松弛因子ω的确定是数值代数中的一个理论难题，对于不同的矩阵，其最佳松弛因子往往相差很大，没有统一的计算公式来确定ω。由于对称正定矩阵sor方法收敛的充分必要条件为w在0到2之间，故利用对称正定矩阵一定收敛的性质，本文提供一种针对于系数矩阵为对称正定矩阵时，如何选取合适的最佳松弛因子的方法。

二、课题研究流程图

3、SOR迭代公式

　　逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR迭代法，它是在GS法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设解方程的GS法记为

　　　　　　(1)

再由与加权平均得

这里ω＞0称为松弛参数，将（1）式代入则得

　　　　　　　(2)

称为SOR迭代法，[WTBX]ω＞0称为松弛因子，当ω=1时(2)式即为GS法，将(2)式写成矩阵形式，则得

即　　

于是得SOR迭代的矩阵表示

　　　　　　　(3)

4、Matlab程序

%sor法确定对称正定矩阵的最佳松弛因子w%

clc;clear;

n=100;

%矩阵的阶数%

for num=1:100

    X=diag(rand(n,1));

    U=orth(rand(n,n)-0.5);

    a=U'*X*U;

    %以上是利用随机对角矩阵和随机正交矩阵，产生随机的对称正定矩阵，正交变化不改变特征值%

    L=zeros(n,n);

    U=zeros(n,n);

    %分配L和U的内存空间%

    step=0.02;

    %定义w的计算精度%

    for k=1:(2/step) %由于对称正定矩阵sor方法收敛的充分必要条件为w在0到2之间%

        w=(k-1)*step;

        for i=1:n %一个总的for循环给三个矩阵赋值D-L-U=A,%

            for j=1:i-1

                 L(i,j)=-a(i,j);%L矩阵的赋值%

            end

            for j=i+1:n

                U(i,j)=-a(i,j);%U矩阵的赋值%

            end

            D(i,i)=a(i,i);%D矩阵的赋值%

        end

        H=inv(D-w*L)*((1-w)*D+w*U);%sor方法的核心，H矩阵为迭代矩阵%

        p(k)=max(abs(eig(H)));%利用此函数求矩阵的谱半径%

    end

    k_min=find(p==min(p));%find函数寻找不同的w中谱半径的最小值，即寻找收敛最快的w%

    w_min(num)=(k_min-1)*step;%由最小值的序号得到最优的w%

end

hist(w_min,100)%对数量足够多的随机对称正定矩阵做频率统计，w划分100份，做出统计图%

mean(w_min)%对不同矩阵的最小谱半径所对应的w对平均统计%

五、结果

对于不同阶数，计算得到的最佳收敛因子w不同，大致是随阶数增大而增大。对不同阶数对最佳收敛因子w的平均值统计，做出的表格，如下表所示：

图1、不同阶数下的最佳收敛因子w的取值图

分析：（1）最佳收敛因子w随着n阶数增大而增加；

     （2）、当n比较小时最佳收敛因子w在1附近，而且增加很快；当n很大时，最 佳收敛因子向2的方向发展，并逐渐收敛。

图2、N=4时最佳松弛因子的频率统计图

图3、N=5时最佳松弛因子的频率统计图

图4、N=10时最佳松弛因子的频率统计图

图5、N=25时最佳松弛因子的频率统计图

图6、N=50时最佳松弛因子的频率统计图

  图7、N=100时最佳松弛因子的频率统计图

六、总结与展望

本文从研究如何确定对称正定矩阵sor迭代法的最佳松弛因子入手，由matlab构造函数产生随机对称正定矩阵，取n从3到100，计算出各个最佳松弛因子的平均值，然后做出统计表格和发展趋势曲线，由分析可得n越大最佳松弛因子也越大，但增长速度也变慢，最后会收敛到一个数。

可以对其他特殊的矩阵进行确定sor方法最佳松弛因子的研究工作，对工程上快速迭代出计算结果有重要研究价值，同时对n阶数很大的矩阵进一步计算确定其最佳松弛因子，观察其收敛性。

本文为非数学系研究僧撰写，数学系路过的大神请轻喷！（wujun）