2020年江苏省南通市等六市高考数学三模试卷(含答案解析)

题号一二总分

得分

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1.已知集合U={-1，0，2，3}，A={0，3}，则∁U A=______．

2.已知复数z=（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为______．

3.如图是一个算法流程图，若输出y的值为4时，则输入的x的值为

______．

4.已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy=90，则该组数据的方差为______．

5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球，从中1次随机摸出2

只球，则2只球都是白色的概率为______．

6.已知函数f（x）=则不等式f（x）＞f（-x）的解集为______．

7.已知{a n}是等比数列，前n项和为S n，若a3-a2=4，a4=16，则S3的值为______．

8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右准线与两条渐近线分别交于A，B

两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为______．

9.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm，将此直角梯形绕AB

边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为______cm3．

10.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=sin2x与y=tan x在（，π）上交点的横坐标为α，则sin2α

的值为______．

11.如图，正六边形ABCDEF中，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ

的值为______．12.如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m，

若从离地高2m的C处观赏它，则离墙m______时，视角θ最大．

13.已知函数f（x）=x2-2x+3a，g（x）=，若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f（x1）|≤g

（x2）成立，则实数a的值为______．

14.在平面四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=1，若•+•=•，则CB+CD的最

小值为______．

二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a（sin A-sin B）=（c-b）（sin B+sin C）．

（1）求角C的值；

（2）若a=4b，求sin B的值．

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP=BC，E，F

分别是PC，AD的中点．求证：

（1）BE⊥CD；

（2）EF∥平面PAB．

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，），圆O：

x2+y2=经过点M（0，1）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N，若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．

18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝

面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF 处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1．

（1）若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；

（2）当风筝面AEA′F的面积为m2时，求点A′到AB距离的最大值．

19.已知数列{a n}满足（na n-1-2）a n=（2a n-1）a n-1（n≥2），b n=-n（n∈N*）．

（1）若a1=3，证明：{b n}是等比数列；

（2）若存在k∈N*，使得，成等差数列．

①求数列{a n}的通项公式；

②证明：l n n+a n＞ln（n+1）-a n+1．

20.已知函数f（x）=（a≠0），e是自然对数的底数．

（1）当a＞0时，求f（x）的单调增区间；

（2）若对任意的x≥，f（x）≥2e b-1（b∈R），求实数的最大值；

（3）若f（x）的极大值为-2，求不等式f（x）+e x＜0的解集．-------- 答案与解析 --------

1.答案：{-1，2}

解析：解：∵U={-1，0，2，3}，A={0，3}，

∴∁U A={-1，2}，

故答案为：{-1，2}

根据补集的定义进行求解即可．

本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．比较基础．

2.答案：-3

解析：解：∵z==是纯虚数，

∴，解得a=-3．

故答案为：-3．

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3.答案：-1

解析：解：程序的功能是计算y=，

若输出y的值为4时，

则当x≤1时，由3-x=4得x=-1，

当x＞1时，由3+x=4得x=1，此时无解，

故答案为：-1

根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可．

本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键．

4.答案：

解析：解：一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy=90，

∴6+6+9+x+y=8×5，

解得x+y=19，又xy=90，

∴x，y的值为10，9，

∴该组数据的方差为：

S2=[（6-8）2+（6-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=．

故答案为：．

推导出x，y的值为10，9，由此能求出该组数据的方差．

本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：

解析：解：一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球，

从中1次随机摸出2只球，

基本事件总数n==6，

2只球都是白色包含的基本事件个数m==3，

∴2只球都是白色的概率为p==．

故答案为：．

从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，2只球都是白色包含的基本事件个数m==3，由

此能求出2只球都是白色的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6.答案：（-2，0）∪（2，+∞）

解析：解：画出函数f（x）的图象，如图所示，

易知函数f（x）为奇函数，

则f（x）＞f（-x）=-f（x），

即f（x）＞0，

由图象可得，不等式的解集为（-2，0）∪（2，

+∞），

故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．

画出函数f（x）的图象，如图所示，易知函数

f（x）为奇函数，根据奇函数的性质结合图象

即可求出．

本题考查了分段函数和不等式的解法，考查了

数形结合的思想，属于中档题．

7.答案：14

解析：解：根据题意，{a n}是等比数列，设其公比为q，

若a3-a2=4，a4=16，则，解可得q=2，a1=2，

则S3==14；

故答案为：14

根据题意，设数列{a n}的公比为q，结合题意可得，解可得a1与q的值，由等比数列的前n项和公式分析可得答案．

本题考查等比数列的前n项和公式以及通项公式，关键是求出数列{a n}的公比．

8.答案：2

解析：解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．

可得，解得A（，），B（，-），

由△AOB的面积为，

可得：=，因为e=＞1，

所以e=2．

故答案为：2．

【分析】求出双曲线的右准线方程，渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

9.答案：

解析：解：直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm，

将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，

得到的几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为1，圆柱的高为2，圆锥的高

为1，

∴由此形成的几何体的体积为：

V==（cm3），

故答案为：．

几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，代入体积公式计算即可．

本题考查旋转体的体积的求法，考查圆柱、圆锥的结构特征等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，是中档题．

10.答案：-

解析：解：由题意可得：sin2α=tanα，α∈（，π），

可得：sinα＞0，cosα＜0，

可得：16sinαcosα=，

解得：cos2α=，解得：cosα=-，sinα==，

可得：sin2α=2sinαcosα=-．故答案为：-．

由题意可得：sin2α=tanα，α∈（，π），可得：sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，同角三角函数

基本关系式可求cosα，sinα的值，进而可求sin2α的值．

本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

11.答案：

解析：解：依题意，正六边形ABCDEF中，三角形ACE为等边三角形，

设三角形ACE的中心为O，AD∩CE=G，则G为CE中点．

则=2=2×=×=，

故λ+μ==．

故填：．

依题意，三角形ACE为等边三角形，设三角形ACE的中心为O，则=2=2×=，

故λ+μ的值可得．

本题考查了平面向量的分解，属于基础题．

12.答案：

解析：解：如图所示：

过点C作CD⊥DA于点D，

设CD=x，G故：AD=4，BD=1.5，

则：tanθ=tan（∠ACD-∠BCD）==，

当且仅当x=，

即x=时，视角最大．

故答案为：

直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．

13.答案：-

解析：解：f（x）=x2-2x+3a在x1∈[0，3]上先减后增

故当x=1时，函数有最小值f（1）=3a-1，当a=3时，函数有最大值f（3）=3+3a

故f（x1）∈[3a-1，3a+3]，

∵g（x）=在x2∈[2，3]上单调递减，故g（x）∈[1，2]，

∵对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f（x1）|≤g（x2）成立，

∴|f（x1）|max≤g（x2）max，

∴，

解可得，a=-

故答案为：-

由g（x）=在x2∈[2，3]上单调递减，可求g（x）∈[1，2]，对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，

使得|f（x1）|≤g（x2）成立，可得|f（x1）|max≤g（x2）max，结合二次函数的性质可求

本题主要考查了函数的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用．

14.答案：

解析：解：以A为坐标原点，以AB为x轴，以

AD为y轴建立如图坐标系，设C（x，y）．

则=（2，0），=（x，y），=（-2，0），=

（2-x，-y），

=（-x，-y），=（-x，1-y）．

•+•=•，

所以2x-2x+4=（x2-2x+y2），

即（x-1）2+y2=4，即点C在以O（1，0）为圆心，以2为半径的圆上，

取O'（5，0），则，所以△OBC∽△OCO'，

所以，即BC=，

所以CB+CD取得最小值即取得最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，≥O'D==，

故填：．

以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立如图坐标系，设C（x，y）．可以推出点C在圆

（x-1）2+y2=4上，然后将CB+CD的最小值的问题，根据三角形相似转化为的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到CB+CD的最小值．

本题借助向量的数量积运算，考查了两距离和最小的问题，考查了构造相似三角形，以及围成三角形的条件．难点在于构造相似三角形将距离和转化为两点间的距离．本题属于难题．

15.答案：（本题满分为12分）

解：（1）由已知：a（sin A-sin B）=（c-b）（sin C+sin B），

由正弦定理，得：a（a-b）=（c-b）（c+b），…（2分）

即：a2+b2-c2=ab…（3分）

所以：cos C==，…（5分）

又：C∈（0，π），

所以：C=…（6分）

（2）因为：C=，a=4b，

所以：sin A=4sin B，可得：sin（-B）=4sin B，

可得：cos B+sin B=4sin B，解得：cos B=sin B，

所以：（sin B）2+sin2B=1，解得：sin2B=，

所以可得：sin B=．……（12分）

解析：（1）由已知a（sin A-sin B）=（c-b）（sin C+sin B）利用正弦定理，得a（a-b）=（c-b）（c+b），即a2+b2-c2=ab．再利用余弦定理即可得出．

（2）由正弦定理可得sin A=4sin B，利用两角差的正弦函数公式可得：sin（-B）=4sin B，进而可求cos B=sin B，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin B的值．

本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16.答案：证明：（1）在△PBC中，∵BP=BC，E

是PC的中点，∴BE⊥PC，

∵平面BPC⊥平面DPC，平面BPC∩平面DPC=PC，

BE⊂平面BPC，

∴BE⊥平面PCD，又CD⊂平面DPC，∴BE⊥CD．

（2）取PB中点H，连结EH，AH，

在△PBC中，又E是PC的中点，

∴HE∥BC，HE=BC，

又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点，

∴AF∥BC，AF=BC，

∴HE∥AF，HE=AF，

∴四边形AFEH是平行四边形，

∴EF∥HA，

∵EF⊄平面PAB，HA⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

解析：（1）推导出BE⊥PC，BE⊥平面PCD，由此能证明BE⊥CD．

（2）取PB中点H，连结EH，AH，推导出四边形AFEH是平行四边形，从而EF∥HA，由此能证明EF∥平面PAB．

本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

17.答案：解：（1）由椭圆C的上顶点为（0，），则b=，

又圆O：x2+y2=a2，经过点M（0，1），则a=2，

∴椭圆C的方程为+=1．

（2）若l1的斜率为0，则PQ=，MN=2，

∴△PQN的面积为，不合题意，直线l1的斜率不为0，

直线l1的方程为y=kx+1，由，消y可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1=，x2=，

∴PQ==•|x1-x2|=，

直线l2的方程为y=-x+1，即x+ky-k=0，

∴|MN|=2=，

∴△PQN的面积S=PQ•MN=••=3，解得k=±，即直线l1的斜率为±．

解析：（1）根据由题意可得b=，即可求出a=2，可得椭圆方程，

（2）设直线l1的方程为y=kx+1，再根据韦达定理，和弦长公式，和三角形的面积公式即可求出直线的斜率．

本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式，属于中档题．

18.答案：解：（1）设∠ABF=θ，则∠ABD=2θ，

∵tan2θ==，即=，∴tanθ=或tanθ=-3（舍），

∴AF=，∴S△ABF==，

∴四边形ABA′F的面积为2S△ABF=．

（2）设AE=a（0＜a≤2），∠AEF=θ，则AF=a tanθ，

∴2S△AEF=AE•AF=a2tanθ=，故tanθ=，

过A′作A′T⊥AE于T，则A′T=A′E sin2θ=a sin2θ，

又sin2θ===，

∴A′T==．

∵a+=+≥4=，当且仅当=即a=时取等号．

∴A′T的最大值为=，即点A′到AB距离的最大值为．

解析：（1）设∠ABF=θ，根据tan2θ=计算tanθ，从而可求出AF，进而求出四边形的面积；

（2）过A′作A′T⊥AE于T，设AE=a，∠AEF=θ，根据面积求出a和tanθ的关系，得出A′T关于a的函数，再利用基本不等式求出A′T的最大值．

本题考查三角恒等变换，解三角形的应用，属于中档题．

19.答案：解：（1）由（na n-1-2）a n=（2a n-1）a n-1（n≥2），得=+2-n，

得-n=2[-（n-1）]，得b n=2b n-1，

∵a1=3≠0，

∴b1=-1=1=-≠0，则=2，（n≥2），

则{b n}是以b1为首项，公比q=2的等比数列．

（2）①设-1=λ，由（1）知，b n=2b n-1，则b n=2n-1b1═2n-1λ，

即-n=2n-1λ，则=λ•2k-1+k，

∵，成等差数列，

∴（λ•2k-1+k）+（λ•2k+1+k+2）=2（λ•2k+k+1），

∴λ•2k-1=0，得λ=0，∴即=n，即a n=．

②要证l n n+a n＞ln（n+1）-a n+1．即证a n+a n+1＞ln（n+1）-l n n，

即（a n+1-a n）＞ln，即+＞2ln，设t=，

则+=t-1+=t-，且t＞1，

从而只需要证明：当t＞1时，t-＞2ln t即可，

设f（x）=x--2ln x，（x＞1），则f′（x）=1+-=（-1）2＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，即x-＞2ln x，

∵t＞1时，∴t-＞2ln t成立，

∴原不等式得证．

解析：（1）根据数列递推关系，利用构造法结合等比数列的定义进行证明即可

（2）①由（1）得{b n}的通项公式，结合等差数列的定义建立方程关系进行求解

②利用分析法，进行证明即可．

本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推关系，利用构造法结合等比数列，等差数列的性质建立方程是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

20.答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，e-1）∪（e-1，+∞）．

由．

∵a＞0，可得x时，f′（x）＞0．

∴f（x）的单调增区间为（e，+∞）；

（2）当a＜0时，f（1）=a＜0，不符合题意．

当a＞0时，由．

可得x时，f′（x）＞0．x∈（0，e-1）时，f′（x）＜00．

∴f（x）的单调增区间为（e，+∞），递减区间0，e-1）和（e-1，e）；

∵，∴f（x）在x=e处取得极小值，即取得最小值．

对任意的x≥，f（x）≥2e b-1（b∈R）⇔．a≥e b．

∵a＞0，求的最大值，不妨设b＞0.．设g（b）=，（b＞0），．

可得g（b）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

∴，

∴实数的最大值为．

（3）由（2）知a＞0时，f（x）无极大值，

当a＜0时，f（x）的单调减区间为（e，+∞），递增区间为（0，e-1）和（e-1，e）；

∴f（x）在x=e处取得极大值，即=-2．∴a=-e．

可得F（x）=f（x）+e x=e x-．

当x时，1+ln x＜0，∴F（x）＞0，

当x，+∞）时，．

由（2）可得ex≤e x，又1+2≤（1+ln x）2，

∴F′（x）≥0，∴F（x）在（）递增，且F（1）=0．

∴不等式f（x）+e x＜0的解集为（）．

解析：（1）由．可得f（x）的单调增区间为（e，+∞）；

（2）当a＜0时，f（1）=a＜0，不符合题意；当a＞0时，利用导数求得在x=e处取得极小值，即

取得最小值．从而可得．a≥e b．

不妨设b＞0.．设g（b）=，（b＞0利用导数求解；

（3）由（2）知a＞0时，f（x）的无极大值，当a＜0时，利用导数可得f（x）在x=e处取得极大值，即a=-e．

可得F（x）=f（x）+e x=e x-．可得F（x）在（）递增，且F（1）=0．即可解不等式f

（x）+e x＜0．

本题考查了导数知识的综合运用，考查函数的最值的问题，以及参数的取值范围，属于中档题．