苏教版六年级数学下册全册知识清单知识归纳总复习

1. 数 与 代 数

　　一、数的认识(一)

1. 整数和小数的意义。

整数

小数

2. 整数的读、写法。

(1)读法:读数前通常先把这个数从右往左每四位一分级,再从高位起,一级一级地读,每一级末尾的0都不读,每一级中间有1个0或连续几个0,都只读一个零。

(2)写法:从高位起,一级一级地写,哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那一位上写0占位。

3. 小数的读、写法。

(1)读法:读小数时,按从左往右的顺序读,整数部分按照整数的读法来读(整数部分是0的读作“零”);小数点读作“点”;小数部分从高位起,依次读出每个数位上的数字,即使是连续的几个0,也要一一读出来。

(2)写法:写小数时,按从左往右的顺序写,整数部分按照整数的写法来写(整数部分是零的写作“0”);小数点写在个位的右下角;小数部分从高位起,依次写出每个数位上的数字。

4. 正、负数的读、写法。

(1)①正数的读法:“+”读作“正”,“+”后面是几就读作几。

②负数的读法:“-”读作“负”,“-”后面是几就读作几。

(2)正、负数的写法。

正数在数的前面加“+”,也可以省略不写;负数则在数的前面加“-”,不可以省略。

5. 整数和小数的数位、计数单位及进率。

6. 数的改写及求近似值。

(1)把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数。

把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数,先把原数的小数点向左移动四位或八位(小数部分末尾是0的要去掉),再在数的后面写上“万”字或“亿”字,中间用“=”连接。

(2)求近似值。

①省略尾数求近似值:先用“四舍五入”法省略万位或亿位后面的尾数,再在数的后面写上“万”字或“亿”字,中间用“≈”连接。

②求小数的近似值:要求把小数保留到哪一位,就看这一位后面一位上的数,再按照“四舍五入”法看是“舍”还是“入”,中间用“≈”连接。

7. 数的大小比较。

(1)整数的大小比较:比较两个整数的大小,先看它们的位数,如果位数不同,那么位数多的数就大;如果位数相同,就从最高位比起,相同数位上的数大的那个数就大。

(2)小数的大小比较:先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,再看小数部分,先比较十分位,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同,百分位上的数大的那个数就大……依此类推。

(3)正、负数的大小比较。

①正数大于负数。

②负数与负数相比较,负号后面的数越大,这个负数就越小。

二、数的认识(二)

1. 因数、倍数。

(1)如果a×b=c(a、b是非0自然数),那么a和b是c的因数,c是a和b的倍数。

(2)一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数;一个数既是它本身的因数,又是它本身的倍数。

2. 2,3,5的倍数的特征。

(1)2的倍数的特征:个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。

(2)5的倍数的特征:个位上是0或5的数都是5的倍数。

(3)3的倍数的特征:如果一个数各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。

3. 奇数、偶数。

(1)是2的倍数的数叫作偶数。

(2)不是2的倍数的数叫作奇数。

4. 质数、合数。

(1)质数:只有1和它本身两个因数,这样的数叫作质数(或素数)。

(2)合数:除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫作合数。

(3)分解质因数:把一个合数写成几个质数相乘的形式,叫作分解质因数。其中每个质数都是这个合数的因数,叫作这个合数的质因数。

(4)分解质因数的方法:把一个合数分解质因数,通常用短除法。

5. 公因数和最大公因数。

几个数公有的因数,叫作这几个数的公因数,其中最大的一个,叫作这几个数的最大公因数。

6. 求两个数的最大公因数的方法。

枚举法;缩小倍数法;短除法;分解质因数法。

7. 公倍数和最小公倍数。

几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫作这几个数的最小公倍数。

8. 求两个数的最小公倍数的方法。

枚举法;扩大倍数法;短除法;分解质因数法。

9. 互质数:公因数只有1的两个数叫作互质数。

三、数的认识(三)

1. 分数。

(1)分数的意义。

把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫作分数。

(2)分数单位。

把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数叫作分数单位。

(3)分数的分类。

①真分数:分子比分母小的分数叫作真分数,真分数小于1。

②假分数:分子比分母大或分子与分母相等的分数叫作假分数,假分数大于1或等于1。

(4)分数的基本性质。

分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变,这叫作分数的基本性质。

(5)分数与除法的关系。

分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除法中的除数,分数线相当于除法中的除号。

(6)约分:把一个分数化成与它相等但分子、分母都比较小的分数,叫作约分。

(7)最简分数:分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。

(8)通分:把异分母分数分别化成和原来分数值相等的同分母分数,叫作通分。

(9)分数的大小比较。

分母相同的两个分数,分子大的分数比较大;分子相同的两个分数,分母小的分数比较大。

2. 分数的读、写法。

(1)读法:读分数时,先读分数的分母,再读“分之”,最后读分子。读带分数时,先读整数部分,再读分数部分,中间加一个“又”字。

(2)写法:写分数时,先写分数线,再写分母,最后写分子。写带分数时,先写整数部分,再写分数部分。整数部分要对准分数线,距离要紧凑。在列式计算时,分数线要对准“=”的中间。

3. 百分数。

(1)百分数的意义。

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数。百分数又叫百分比或百分率。

(2)百分数的读法。

百分数的读法与分数的读法相同。先读百分号(分母),读成“百分之”,再读百分号前面的数(分子)。

(3)百分数的写法。

百分数通常不写成分数的形式,而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。

4. 数之间的联系。

(1)整数与分数之间的联系。

①整数可以看作分母是1的分数。

②假分数化成整数或带分数的方法:根据分数与除法的关系,用假分数的分子除以分母,如果分子是分母的倍数,所得的商就是整数;如果分子不是分母的倍数,所得的商就是带分数的整数部分,余数就是带分数的分数部分的分子,原分母不变。

③整数化成假分数的方法:把整数化成假分数,用指定的分母作分母,用分母和整数的乘积作分子。

④带分数化成假分数的方法:把带分数化成假分数,用原来的分母作分母,用分母和整数的乘积再加上原来的分子作分子。

(2)判断一个分数能否化成有限小数的方法。

a.要看这个分数是不是最简分数。

b.如果是最简分数,就要看其分母中含有哪些质因数。如果分母中只含有质因数2和5,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5以外的其他质因数,这个分数就不能化成有限小数。

(3)分数、小数与百分数之间的互化。

四、常见的量

1. 常见的计量单位及其进率。

(1)质量单位及其进率。

①常见的质量单位有吨、千克、克。

②1吨=1000千克　1千克=1000克

(2)时间单位及其进率。

①时间单位有世纪、年、月、日、时、分、秒,季度、星期等。

②日、时、分、秒等时间单位的关系。

③1世纪=100年　1日=24时　1时=60分　1分=60秒　1星期=7日

④平年、闰年的判断方法。

根据公历年份判断,一般情况下,整百、整千的年份是400的倍数,其他年份是4的倍数的都是闰年,反之则是平年。

　(3)人民币的单位及其进率。

①人民币的单位有元、角、分。

②1元=10角　1角=10分

2. 24时记时法。

(1)24时记时法的意义。

采用从0时到24时的记时法,通常叫作24时记时法。

(2)普通记时法与24时记时法的换算。

24时记时法中,时针走第一圈时,钟面上的时数与普通记时法相同。时针走第二圈时,相当于用钟面上的时数加上12,也就是比普通记时法的下午时刻多12时。这样,下午1时就是13时,下午2时就是14时……

3. 名数的改写。

把高级单位改写成低级单位,乘进率;把低级单位改写成高级单位,除以进率。

五、数的运算(一)

1. 四则运算的意义。

1. 四则运算定律和运算性质。

(1)运算定律。

①减法的运算性质。

a-b-c=a-(b+c)　a-(b-c)=a-b+c

a+(b-c)=a+b-c

②除法的运算性质(除数不为0)。

a÷b÷c=a÷(b×c)　 a÷(b÷c)=a÷b×c

(a+b)÷c=a÷c+b÷c　(a-b)÷c=a÷c-b÷c

③商不变的性质。

(a×m)÷(b×m)=a÷b(m≠0,b≠0) 

(a÷m)÷(b÷m)=a÷b(m≠0,b≠0)

2. 估算。

(1)估算的意义。

可以把参与运算的数看作与它最接近的整十、整百、整千……的数(根据实际情况而定),然后估计得数大约是多少。

(2)常用的估算策略。

①凑整的方法。 ②取一个中间数。 ③根据特殊数的特点进行估算。

3. 四则混合运算的顺序。

(1)四则混合运算分为两级。

加法和减法叫作第一级运算,乘法和除法叫作第二级运算。

(2)四则混合运算的顺序。

①在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先算第二级运算,再算第一级运算。

②在一个有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。

七、数的运算(三)

1. 解决问题的一般步骤。

(1)审清题意,并找出已知条件和所求问题。

(2)分析数量关系,确定先算什么,再算什么,最后算什么。

(3)列式解答。

(4)回顾反思,检验并写出答语。

2. 解决问题常用的两种分析方法。

综合法和分析法。

3. 解决问题常用的策略。

画图法、列表法、枚举法、转化法、假设法等是解决问题常用的策略。

4. 简单应用题。

(1)特点。

简单应用题都是由两个已知条件和一个问题组成的,并且问题与两个已知条件都是直接相关的。

(2)解答简单应用题的方法。

按照题中的条件和问题之间的数量关系,根据四则运算的意义选择解题方法,求出答案。

(3)常见的数量关系。

收入-支出=结余　单价×数量=总价

工作效率×工作时间=工作总量

单产量×数量=总产量　本金×利率×时间=利息

速度×时间=路程

……

5. 复合应用题。

(1)归一应用题。

①先求单一量是多少的应用题,叫作归一应用题。

②基本数量关系:总量÷份数=单一量,单一量×份数=总量,总量÷单一量=份数。

(2)归总应用题。

先求出总量,再根据总量和其他条件求出所求量的应用题,叫作归总应用题。

(3)和差应用题。

①已知大、小两个数的和与差,求这两个数各是多少的应用题,叫作和差应用题。

②基本数量关系:大数=(和+差)÷2

小数=(和-差)÷2

(4)倍数应用题。

①已知各数量间的倍数关系及其他条件,求各数量是多少的应用题,叫作倍数应用题。

②分类。

第一:和倍应用题,已知两个数的和与这两个数之间的倍数关系,求这两个数各是多少。

基本数量关系:两个数的和÷(倍数+1)=小数

小数×倍数=大数

或两个数的和-小数=大数

第二:差倍应用题,已知两个数的差与这两个数之间的倍数关系,求这两个数各是多少。

基本数量关系:两个数的差÷(倍数-1)=小数

小数×倍数=大数

或小数+两个数的差=大数

(5)行程应用题。

①相遇问题:相遇时间=总路程÷速度和。

②追及问题:追及时间=追及路程÷速度差。

③行船应用题。

一般是研究船在流水中航行的应用题。它是行程应用题中比较特殊的一种类型,也是一种和差应用题。主要考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

基本数量关系:

顺流速度=船速+水速

逆流速度=船速-水速

船速=(顺流速度+逆流速度)÷2　

水速=(顺流速度-逆流速度)÷2

路程=顺流速度×顺流航行所需时间=逆流速度×逆流航行所需时间

(6)鸡兔同笼应用题。

①已知鸡与兔的总只数和总腿数,求鸡与兔各有多少只的应用题,通常称为鸡兔同笼应用题。

②解题方法:假设全是鸡,兔的只数=(总腿数-2×总只数)÷(4-2);假设全是兔,鸡的只数=(4×总只数-总腿数)÷(4-2)。

6. 分数(百分数)应用题。

(1)求一个数是另一个数的几(百)分之几

①已知甲数和乙数,求甲数是乙数的几(百)分之几。

解题方法:甲数÷乙数

②已知甲数和乙数,求甲数比乙数多几(百)分之几。

解题方法:(甲数-乙数)÷乙数

③已知甲数和乙数,求乙数比甲数少几(百)分之几。

解题方法:(甲数-乙数)÷甲数

(2)求一个数的几(百)分之几是多少。

①已知甲数,求它的几(百)分之几是多少。

解题方法:甲数×几(百)分之几

②已知甲数,求比它多几(百)分之几的数是多少。

解题方法:甲数×[1+几(百)分之几]

③已知甲数,求比它少几(百)分之几的数是多少。

解题方法:甲数×[1-几(百)分之几]

　(3)已知一个数的几(百)分之几是多少,求这个数。

①已知甲数的几(百)分之几是多少,求甲数。

解题方法:甲数×几(百)分之几=已知数(设甲数为x)或已知数÷几(百)分之几=甲数。

②已知比甲数多几(百)分之几的数是多少,求甲数。

解题方法:甲数×[1+几(百)分之几]=已知数(设甲数为x)或已知数÷[1+几(百)分之几]=甲数。

③已知比甲数少几(百)分之几的数是多少,求甲数。

解题方法:甲数×[1-几(百)分之几]=已知数(设甲数为x)或已知数÷[1-几(百)分之几]=甲数。

八、式与方程

1. 用字母表示数、数量关系、运算定律和计算公式。

(1)用字母表示数。

(2)用字母表示数量关系。

如果用s表示路程,v表示速度,t表示时间,那么路程、速度、时间之间的关系可以表示为s=vt。

(3)用字母表示运算定律。

①加法交换律:a+b=b+a

②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 

③乘法交换律:a·b=b·a

④乘法结合律:(a·b)·c=a·(b·c)

⑤乘法分配律:(a+b)·c=a·c+b·c

(4)用字母表示计算公式。

正方形的周长:C=4a

长方形的周长:C=(a+b)×2

长方形的面积:S=ab

正方形的面积:S=a2

平行四边形的面积:S=ah

三角形的面积:S=ah÷2

梯形的面积:S=(a+b)h÷2

2. 等式。

(1)等式的意义:表示相等关系的式子叫作等式。

(2)等式的性质。

①等式的性质一:等式的两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。

②等式的性质二:等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,等式仍然成立。

3. 方程。

(1)方程:含有未知数的等式叫作方程。

(2)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。

(3)解方程:求方程的解的过程叫作解方程。

4. 列方程解应用题。

(1)列方程解应用题的优点。

先用一个字母代替未知数,再把它看作已知数参与列式和运算,便于把题中的数量关系直接反映出来,使问题简单化。

(2)列方程解应用题的一般步骤。

①弄清题意,找出未知数并用x表示;②找出等量关系,并根据等量关系列方程;③解方程,求出未知数的值;④检验并写出答语。

九、正比例和反比例

1. 比。

(1)比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。

(2)比的各部分名称及读法。

　5　　　∶　　　6　=　　　读作:五比六

前项　　比号　后项　　比值

(3)比的基本性质。

比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变。

(4)求比值和化简比。

①求比值:比的前项除以后项所得的商叫作比值。

②化简比:运用比的基本性质可以把比化成最简单的整数比,即比的前项和后项是互质数。 

(5)比和除法、分数的联系与区别。

联系:比的前项相当于分子、被除数;比号相当于分数线、除号;比的后项相当于分母、除数;比值相当于分数值、商。

区别:比是一种关系;分数是一个数;除法是一种运算。

(6)比例尺。

①一幅图的图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。

②比例尺=图上距离∶实际距离或比例尺=;图上距离=实际距离×比例尺;实际距离=图上距离÷比例尺。

③比例尺的形式。

a. 数值比例尺:一幅图的比例尺是1∶1000,像这样的比例尺叫作数值比例尺。

b. 线段比例尺:,这种比例尺是用线段表示的,叫作线段比例尺。

(7)按比分配。

①在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。

②按比分配应用题的特征:已知总量和各部分量的比,求各部分量。

③常用的解题方法有两种:一种是先求总份数,再求各部分量占总量的几分之几,最后求各部分量;另一种是先求每份是多少,再求几份是多少。

2. 比例的意义。

(1)比例的意义:表示两个比相等的式子叫作比例。

(2)比例各部分的名称。

组成比例的四个数叫作比例的项,两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。

(3)比例的基本性质。

在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这叫作比例的基本性质。

3. 正比例和反比例。

(1) ①正比例:=k(一定)

②反比例:xy=k(一定)

(2)运用比例知识解决实际问题。

①比例应用题的分类。

比例应用题分为正比例应用题和反比例应用题。用正比例知识解答的应用题,就是以前学过的归一应用题。用反比例知识解答的应用题,就是以前学过的归总应用题。

②运用比例知识解答应用题的一般步骤。

a. 判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例。

b. 设未知量为x。

c. 列出比例,解比例。

d. 检验并写出答语。 

2. 图形与几何

　　一、图形的认识　测量(一)

(一)直线、射线和线段

1. 直线:把线段的两端无限延长,就可以得到一条直线;直线没有端点,无法度量长度。

2. 射线:把线段的一端无限延长,就可以得到一条射线;射线有一个端点,无法度量长度。

3. 线段:直线上两点间的一段叫作线段;线段有两个端点,可以度量长度。

(二)垂直与平行

1. 平行:在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线,也可以说这两条直线互相平行。

2. 垂直:在同一平面内,两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫作垂足。

3. 点到直线的距离:从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度,叫作这个点到直线的距离。

(三)角

1. 角的定义。

从一点引出的两条射线所组成的图形叫作角。角的大小与两边的长短无关,与两边张开的大小有关。

2. 角的分类。

(1)锐角大于0°而小于90°。

(2)钝角大于90°而小于180°。

(3)直角等于90°。

(4)平角等于180°。

(5)周角等于360°。

(四)三角形

1. 三角形的定义。

由三条线段首尾顺次相连围成的封闭图形,叫作三角形。

2. 三角形各部分的名称。

(1)围成三角形的三条线段叫作三角形的边。每两条边的交点叫作三角形的顶点。每两条边所围成的角叫作三角形的内角。

(2)从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。(作图时高一般用虚线表示,并标上垂直符号)

任何一个三角形都有三条底和三条高,每条底都与一条高相对应。

　　3. 三角形的分类。

(1)按角分。

三个角都是锐角的三角形是锐角三角形;

有一个角是直角的三角形是直角三角形;

有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。

(2)按边分。

①不等边三角形:三条边都不相等的三角形。

②等腰三角形:有两条边相等的三角形。

(3)三角形的内角和:三角形的内角和是180°。

(4)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性。

(五)四边形

1. 四边形的定义。

在同一平面内,由四条线段首尾顺次相连围成的封闭图形,叫作四边形。

2. 四边形的分类。

3. 几种四边形的关系。

(六)圆

1. 圆的定义:圆是一种封闭的曲线图形。

2. 圆各部分的名称。

(1)半径:圆中心的一点叫作圆心,圆心用字母O表示;圆心到圆上任意一点的线段叫作半径,半径用字母r表示。

(2)直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径,直径用字母d表示。

3. 圆的特征。

①在同圆或等圆中,直径=半径×2,半径=直径×;②圆是轴对称图形,圆的直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。

圆有无数条直径和半径。

　　4. 圆的周长。

围成圆的曲线的长叫作圆的周长。

5. 圆周率。

圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用π表示。圆周率是一个无限不循环小数,π=3.1415926535……在小学阶段,计算时一般只取它的两位近似值,即π≈3.14。

6. 画圆的方法。

(1)方法一　用一根线和一支笔画圆。将线的一端固定在一点(即圆心),用笔将线拉直并绕这一固定点旋转一周就可以画出一个圆。

(2)方法二　用圆规画圆。

①确定圆规两脚间的距离(即半径)。

②把带有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)。

③把装有铅笔的一只脚旋转一周,就画出了一个圆。

7. 圆环。

(1)两个半径不相等的圆,当圆心重合时,两个圆之间的部分叫作圆环。通常把较大的圆叫外圆,半径用R表示;较小的圆叫内圆,半径用r表示。

(2)圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积,如果用S表示圆环的面积,则圆环的面积用字母表示是S=πR2-πr2=π(R2-r2)。

二、图形的认识　测量(二)

(一)平面图形的周长和面积的定义

1. 周长的定义。

封闭图形一周的长度叫作这个图形的周长。

2. 面积的定义。

物体的表面或围成的平面图形的大小,叫作它的面积。

(二)常见的平面图形的周长和面积的计算公式

1. 周长与面积的计算公式。

(1)长方形的周长:C=2×(a+b)　　 

长方形的面积:S=ab

(2)正方形的周长:C=4a　 

正方形的面积:S=a2

(3)平行四边形的面积:S=ah

(4)梯形的面积:S=(a+b)h÷2

(5)三角形的面积:S=ah÷2

(6)圆的周长:C=πd=2πr　

圆的面积:S=πr2

2. 公式的推导。

(1)长方形:用数方格的方法推导。

(2)正方形:把正方形看作长和宽相等的长方形。

(3)平行四边形:由长方形面积推导而来的,把平行四边形的一角切割平移至另外一角,就能拼成一个长方形,长方形的长就是平行四边形的底,宽就是平行四边形的高,因为长方形的面积=长×宽,所以平行四边形的面积=底×高。

(4)梯形:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底=梯形的上底+下底,平行四边形的高=梯形的高,因为平行四边形的面积=底×高,所以梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

(5)三角形:两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,平行四边形的底就是三角形的底,高就是三角形的高,因为平行四边形的面积=底×高,所以三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

(6)圆:把一个圆平均分成若干等份后,可以拼成一个近似的长方形,长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径,所以圆的面积与拼成的长方形的面积相等。

三、图形的认识　测量(三)

(一)长方体和正方体

1. 长方体的认识。

(1)长方体各部分的名称。

①长方体的两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点。

②长方体相交于一个顶点的三条棱分别叫作长方体的长、宽、高。

(2)长方体的基本特征。

长方体是由6个长方形围成的立体图形(有时有两个相对的面是正方形)。它有6个面、12条棱、8个顶点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱的长度相等。

2. 正方体的认识。

(1)正方体的两个面相交的线叫作正方体的棱。

(2)正方体的基本特征。

正方体的6个面是完全相同的正方形;正方体有12条棱,长度都相等;正方体有8个顶点。

3. 长方体和正方体的相关计算。

(1)长方体。

①棱长总和:长方体的12条棱的长度和叫作它的棱长总和。

计算公式:C=(a+b+h)×4

把平行四边形通过割补、平移转化成长方形。

②表面积:长方体的6个面的总面积叫作它的表面积。

计算公式:S=(ab+ah+bh)×2

③体积:一个物体所占空间的大小叫作它的体积。

计算公式:V=abh

(2)正方体。

①正方体的棱长总和:C=12a

②正方体的表面积:S=6a2

③正方体的体积:V=a3

4. 体积和容积的异同。

(1)意义不同。

①物体所占空间的大小,叫作物体的体积。

②一个容器所能容纳的物体的体积,叫作这个容器的容积。

(2)测量方法不同。

①求物体的体积是从物体的外部来测量相关数据的。

②求物体的容积是从物体的内部来测量相关数据的。

(3)单位名称不完全相同。

体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。计算液体的体积时一般用升或毫升。

(4)计算公式相同。

长方体(或正方体)、圆柱的体积或容积=底面积×高

(二)常用的体积或容积单位及其进率

1. 体积单位。

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

1立方厘米=1000立方毫米

2. 容积单位。

1升=1000毫升　1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

(三)圆柱和圆锥

1. 圆柱的认识。

(1)圆柱各部分的名称。

①圆柱的上、下两个面叫作圆柱的底面,圆柱的两个底面是完全相同的圆。

②围成圆柱的曲面叫作圆柱的侧面。

③圆柱两个底面之间的距离叫作圆柱的高,圆柱有无数条高,所有的高的长度都相等。

　　一般地,长方体的6个面都是长方形,有时有两个相对的面是正方形。

(2)圆柱的基本特征。

两个底面是完全相同的圆;侧面是一个曲面,沿高展开后是一个长方形或正方形;高是两个底面之间的距离,有无数条高且都相等。

(3)圆柱的侧面积。 

圆柱的侧面沿着一条高展开后是一个长方形或正方形,这个长方形的长(或宽)或正方形的边长等于圆柱的底面周长,长方形的宽(或长)或正方形的边长等于圆柱的高,这个长方形或正方形的面积就是圆柱的侧面积,圆柱的侧面积=底面周长×高。

如果用C表示圆柱的底面周长,用h表示圆柱的高,用S表示圆柱的侧面积,那么圆柱的侧面积为S=Ch。

(4)圆柱的表面积。

①圆柱的表面积=圆柱的侧面积+2个底面积

②常见的油桶、无盖水桶、烟囱的表面积。

油桶的表面积=侧面积+2个底面积

无盖水桶的表面积=侧面积+1个底面积

烟囱的表面积=侧面积

(5)圆柱的体积。

①圆柱体积计算公式的推导。

把圆柱的底面等分成16个相同的扇形,按照等分线沿着圆柱的高把圆柱切开后再拼起来,就得到一个近似的长方体。等分成的扇形越多(平均分成的份数必须是偶数),拼成的立体图形就越接近长方体。

拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积,高就是圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高。

②圆柱体积的字母公式。

如果用S表示圆柱的底面积,用r表示底面半径,用h表示高,用V表示圆柱的体积,则圆柱体积的计算公式为V=Sh=πr2h。

2. 圆锥的认识。

(1)圆锥的特征。

一个圆锥是由曲面和平面两部分围成的。曲面部分叫作圆锥的侧面,沿高展开后是一个扇形;平面部分叫作圆锥的底面,圆锥的底面是圆。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高,圆锥只有一条高。

　(2)圆锥的体积。

如果用S表示圆锥的底面积,用r表示底面半径,用h表示圆锥的高,用V表示圆锥的体积,那么圆锥体积的计算公式为V=Sh=πr2h。

3. 立体图形的表面积和体积计算公式。

长方体:S=2×(ab+ah+bh)　V=abh

正方体:S=6a2　V=a3

圆柱:S侧=Ch　S表=Ch+2πr2　V=Sh=πr2h

圆锥:V=Sh=πr2h

四、图形的运动

(一)轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线对折,折痕两侧的图形能够完全重合,那么这个图形就叫作轴对称图形,折痕所在的这条直线叫作对称轴。

(二)平移和旋转

1. 平移。

物体或图形在同一平面内沿直线运动,而本身没有发生方向上的改变,像这样的物体或图形所做的运动叫作平移。

平移的两个要素:一是平移的方向,二是平移的距离。

2. 旋转。

物体或图形绕着一个点或一个轴进行圆弧或圆周运动,像这样的物体或图形所做的运动叫作旋转。

旋转的三个要素:一是围绕旋转的点或轴;二是旋转的方向(逆时针方向或顺时针方向);三是旋转的角度。

(三)图形的放大与缩小

1. 把一个图形的各边按一定的比进行放大或缩小,从而得到该图形的放大图或缩小图(放大图或缩小图统称为原图形的相似图形)。

一个图形的相似图形与原图形相比较:形状相同,大小不同。

2. 把一个图形放大或缩小的方法:先按给定的比计算出放大或缩小的图形中相应的特征线段的长度,再画出原图形的相似图形。

五、图形与位置

(一)确定物体的位置

1. 用数对表示物体的位置。

(1)列、行。

在确定位置时,竖排叫作列,横排叫作行。确定第几列一般从左往右数,确定第几行一般从前往后数。用数对表示位置的列与行的数序都从0开始,0既表示列数的起点,也表示行数的起点。第几列和第几行都是直接用数标在横轴和纵轴上的。

(2)数对。

数对有两个数,在表述的时候,先表示列数,再表示行数,前后的顺序不能颠倒。

(3)数对的书写格式。

用括号把列数与行数括起来,并在列数和行数之间用逗号隔开。

(4)根据数对在方格纸上确定物体的位置。

2. 用方向和距离描述位置。

(1)用上、下、前、后、左、右等方位词确定物体的位置。

(2)能辨认东、南、西、北、东北、西北、东南、西南8个方向。

(3)认识地图上的8个方向。

绘制地图时,通常是按上北、下南、左西、右东绘制的。北偏东45°是东北方向;北偏西45°是西北方向;南偏东45°是东南方向;南偏西45°是西南方向。

3. 把方向和距离结合起来确定物体的位置。

(1)以观测点为中心,画一个表示东、南、西、北四个方向的“十”字图,并分别标出东、南、西、北四个方位词,即画出方向标。

(2)把观测点和观测目标点连起来,这样就有了一条射线,然后测量出该射线与正北或正南或正西或正东的夹角度数。

(3)测量出观测点与观测目标点之间的距离。

(4)把方向和距离这两个条件结合起来确定物体的位置。

(二)画路线

1. 看懂并描述路线图。

(1)根据方向标确定路线图的方向。

(2)根据比例尺和测得的图上距离算出相应的实际距离。

(3)明确从一个地点按什么方向走,走多远到另一个地点。

2. 画路线图。

(1)确定方向。

(2)根据实际距离及图纸的大小确定比例尺。

(3)求出图上距离。

(4)以某一地点为起点,根据方向和图上距离确定下一地点的位置,再以下一地点为起点继续画。

东与西相对,南与北相对,东南与西北相对,西南与东北相对。

一般情况下,东南方向不说成南东方向,但可以说成南偏东45°;西南方向也不说成南西方向,但可以说成南偏西45°……

东、南、西、北是确定的,而前、后、左、右会不断发生变化。

确定物体的位置,一要找准方向,二要准确测量出偏离南或北方向的角度;三要利用比例尺正确计算出图上距离;四要标注清楚。

3. 统计与可能性

　　一、数据的收集和整理

1. 数据的收集方法。

为了研究某一对象,先要收集与之相关的数据。可以通过调查、测量、实验、查阅资料等方法收集数据。

2. 数据的分组整理方法。

(1)找出原始数据的范围。

(2)把原始数据的范围划分成几组,并按照一定的顺序排列编制成表。

(3)统计各组中原始数据的数目,填写统计表。

二、统计表

1. 统计表的意义。

把统计数据填写在一定格式的表格内,用来反映情况和说明问题,这样的表格叫作统计表。

2. 常见的统计表的分类。

(1)单式统计表:只含有一个统计项目的统计表。

(2)复式统计表:含有两个或两个以上统计项目的统计表。

3. 统计表的制作步骤。

(1)收集整理数据。

(2)确定统计表的格式和栏目数量,并根据纸张的大小制成表格。

(3)填写栏目和各项目名称,并根据整理好的数据填表。

(4)计算总计和合计,并填入表中。

(5)写好统计表的名称和制表时间。

三、统计图

1. 条形统计图。

作用:很容易看出各种数量的多少。

绘制方法及注意事项:

(1)画出横轴和纵轴。选取一定的长度作为单位长度,每个单位长度表示一定的数量。

(2)根据项目数据的大小画出宽窄相同、长短不同的直条,并按一定的顺序排列起来。各直条间的间隔相同。

(3)写出统计图的名称、制图日期、单位,复式条形统计图要标明图例。

　2. 折线统计图。

作用:不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况。

绘制方法:与条形统计图的绘制方法基本相同。只是不画直条,而是按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来。

3. 扇形统计图。

作用:可以清楚地表示出各部分数量与总数量之间的关系。

绘制方法:

(1)计算出各部分数量占总数量的百分比。

(2)计算各扇形圆心角的度数。

(3)画出圆和大小不同的扇形。

(4)标明各部分名称及所占总数量的百分比。

(5)标明统计图名称和制图日期。

四、平均数

1. 平均数的意义。

求平均数的实质就是将几个数在和不变的情况下,通过移多补少,使它们变为相等的数。

2. 平均数的计算方法。

平均数=全部数据的总和÷数据的总个数

五、可能性

1. 确定事件与不确定事件的认识。

(1)确定事件:生活中,有些事件的发生是确定的,一般用“一定”或“不可能”来描述。

(2)不确定事件:生活中,有些事件的发生是不确定的,一般用“可能”来描述。

2. 用可能性的大小判断游戏规则的公平性。

在游戏规则里,如果每种现象发生的可能性都相等,那么这个游戏规则就是公平的;如果每种现象发生的可能性不相等,那么这个游戏规则就是不公平的。