【2022】江苏省南京市中考数学模拟试题(及答案解析)

（含答案）

（考试时间：120分钟  分数：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．函数y＝2﹣中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣3    B．x≥﹣3    C．x≠﹣3    D．x≤﹣3

2．下列运算正确的是（　　）

A．3x2•4x2＝12x2    B．x3+x5＝x8    

C．x4÷x＝x3    D．（x5）2＝x7

3．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．在平面直角坐标系中，将点P向左平移2个单位长度后得到点（﹣1，5），则点P的坐标是（　　）

A．（﹣1，3）    B．（﹣3，5）    C．（﹣1，7）    D．（1，5）

5．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：

A．平均数、中位数    B．众数、中位数    

C．平均数、方差    D．中位数、方差

6．一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（　　）

A．16πcm2    B．12πcm2    C．8πcm2    D．4πcm2

7．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD＝（　　）

A．3    B．4    C．4.8    D．5

8．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（　　）

A．6（m﹣n）    B．3（m+n）    C．4n    D．4m

9．如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，点A（﹣3，0），反比例函数y＝（k＜0）图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝α，则k的值为（　　）

A．﹣4tanα    B．﹣2sinα    C．﹣4cosα    D．﹣2tan

10．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）

A．1或﹣5    B．﹣1或5    C．1或﹣3    D．1或3

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分）

11．9的平方根是　   　．

12．分解因式：a3﹣4ab2＝　   　．

13．长城是我国第一批成功入选世界文化遗产的古迹之一，它的总长经过“四舍五入”精确到十万位的近似数约为6700000米，将6700000用科学记数法表示为　   　．

14．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　   　边形．

15．四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠A：∠B＝4：5，则∠A＝　   　度．

16．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为　   　．

17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　   　米．

18．已知△ABC，∠BAC＝45°，AB＝8，要使满足条件的△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围为　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19．计算与化简

（1）|﹣1|﹣﹣（5﹣π）0+4cos45°

（2）（a+b）2﹣a（a﹣2b）

20．（1）解方程：；

（2）解不等式组：．

21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE＝CF．

22．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：

径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；

田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　   　；

（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．

23．某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：

（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；

（2）如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．

24．阅读理解：[x]表示不大于x的最大整数，例[2.3]＝2，[﹣5.6]＝﹣6

（1）[8.2]＝　   　．[﹣]＝　   　．

（2）[x]＝2的x的取值范围　   　．

（3）直接写出方程[2x]＝x2的解．

25．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若DE＝2，tanC＝，求⊙O的直径．

26．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）

27．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．

（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

28．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

答 案

一、选择题

1．函数y＝2﹣中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≤﹣3

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x+3≥0，

解得：x≥﹣3．

故选：B．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

2．下列运算正确的是（　　）

A．3x2•4x2＝12x2 B．x3+x5＝x8    

C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7

【分析】A、利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；

B、原式不能合并，本选项错误；

C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．

【解答】解：A、3x2•4x2＝12x4，本选项错误；

B、原式不能合并，错误；

C、x4÷x＝x3，本选项正确；

D、（x5）2＝x10，本选项错误，

故选：C．

【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握法则是解本题的关键．

3．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．

【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，

从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，

所以可以得出答案为B．

故选：B．

【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．

4．在平面直角坐标系中，将点P向左平移2个单位长度后得到点（﹣1，5），则点P的坐标是（　　）

A．（﹣1，3） B．（﹣3，5） C．（﹣1，7） D．（1，5）

【分析】利用平移规律计算即可得到结果．

【解答】解：由题意知，点P的坐标为（﹣1+2，5），即（1，5），

故选：D．

【点评】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移性质是解本题的关键．

5．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：

A．平均数、中位数 B．众数、中位数    

C．平均数、方差 D．中位数、方差

【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第14、15个数据的平均数，可得答案．

【解答】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+10﹣x＝10，

则总人数为：5+15+10＝30，

故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁，

即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：B．

【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

6．一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（　　）

A．16πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．4πcm2

【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．

【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，

所以这个圆锥的侧面积＝×4×2π×2＝8π（cm2）．

故选：C．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

7．如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD＝（　　）

A．3 B．4 C．4.8 D．5

【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．

【解答】解：∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE＝EC＝4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，

∴DE＝3，

∴AD＝DC＝＝5．

故选：D．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD的长是解题关键．

8．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（　　）

A．6（m﹣n） B．3（m+n） C．4n D．4m

【分析】设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），根据矩形周长公式计算可得结论．

【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），

则a+3b＝n，

阴影部分的周长为2n+2（m﹣a）+2（m﹣3b）＝2n+2m﹣2a+2m﹣6b＝4m+2n﹣2n＝4m，

故选：D．

【点评】本题考查整式的加减、列代数式、矩形的周长，解答本题的关键是明确整式的加减运算的计算方法和整体代入的思想．

9．如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，点A（﹣3，0），反比例函数y＝（k＜0）图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝α，则k的值为（　　）

A．﹣4tanα B．﹣2sinα C．﹣4cosα D．﹣2tan

【分析】过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥x轴于F，根据平行四边形的对边相等可得OC＝AB，然后求出OC＝2AD，再求出OE＝2AF，设AF＝a，表示出点C、D的坐标，然后根据CE、DF的关系列方程求出a的值，再求出OE、CE，然后利用∠COA的正切值列式整理即可得解．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥x轴于F，

在▱OABC中，OC＝AB，

∵D为边AB的中点，

∴OC＝AB＝2AD，CE＝2DF，

∴OE＝2AF，

设AF＝a，∵点C、D都在反比例函数上，

∴点C（﹣2a，﹣），

∵A（3，0），

∴D（﹣a﹣3，），

∴＝2×，

解得a＝1，

∴OE＝2，CE＝﹣，

∵∠COA＝∠α，

∴tan∠COA＝tan∠α＝，

即tanα＝﹣，

k＝﹣4tanα．

故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据点C、D的纵坐标列出方程是解题的关键．

10．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）

A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3

【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．

【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，

∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，

可得：（1﹣h）2+1＝5，

解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；

②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，

可得：（3﹣h）2+1＝5，

解得：h＝5或h＝1（舍）；

③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，

∴此种情况不符合题意，舍去．

综上，h的值为﹣1或5，

故选：B．

【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，本大题共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在相应的横线上）

11．9的平方根是　±3　．

【分析】直接利用平方根的定义计算即可．

【解答】解：∵±3的平方是9，

∴9的平方根是±3．

故答案为：±3．

【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．

12．分解因式：a3﹣4ab2＝　a（a+2b）（a﹣2b）　．

【分析】观察原式a3﹣4ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4b2符合平方差公式的形式，再利用平方差公式继续分解因式．

【解答】解：a3﹣4ab2

＝a（a2﹣4b2）

＝a（a+2b）（a﹣2b）．

故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止．

13．长城是我国第一批成功入选世界文化遗产的古迹之一，它的总长经过“四舍五入”精确到十万位的近似数约为6700000米，将6700000用科学记数法表示为　6.7×106　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将6700000用科学记数法表示为6.7×106．

故答案是：6.7×106．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是　五　边形．

【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可．

【解答】解：设多边形的边数是n，则

（n﹣2）•180°＝540°，

解得n＝5，

故答案为：五．

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．

15．四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠A：∠B＝4：5，则∠A＝　80　度．

【分析】根据圆的内接四边形对角互补解答即可．

【解答】解：因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A：∠B＝4：5，

可设∠A为4x，∠B为5x，可得：4x+5x＝180°，

解得：x＝20°，

所以∠A＝80°，

故答案为：80

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．

16．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为　2　．

【分析】由点G是△ABC重心，BC＝6，易得CD＝3，AG：AD＝2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．

【解答】解：∵点G是△ABC重心，BC＝6，

∴CD＝BC＝3，＝2，

∵GE∥BC，

∴△AEG∽△ACD，

∴＝＝，

∴GE＝2．

故答案为：2．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质．解题时注意：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

17．甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是　175　米．

【分析】根据图象先求出甲、乙的速度，再求出乙到达终点时所用的时间，然后求出乙到达终点时甲所走的路程，最后用总路程﹣甲所走的路程即可得出答案．

【解答】解：根据题意得，甲的速度为：75÷30＝2.5米/秒，

设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×（180﹣30）＝75，

解得：m＝3米/秒，

则乙的速度为3米/秒，

乙到终点时所用的时间为：＝500（秒），

此时甲走的路程是：2.5×（500+30）＝1325（米），

甲距终点的距离是1500﹣1325＝175（米）．

故答案为：175．

【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解并得到乙先到达终点，然后求出甲、乙两人所用的时间是解题的关键．

18．已知△ABC，∠BAC＝45°，AB＝8，要使满足条件的△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围为　x＝4或x≥8　．

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，则△ABD是等腰直角三角形；再延长AD到E点，使DE＝AD，再分别讨论点C的位置即可．

【解答】解：过B点作BD⊥AC于D点，则△ABD是等腰三角形；再延长AD到E，使DE＝AD，

①当点C和点D重合时，△ABC是等腰直角三角形，BC＝4，这个三角形是唯一确定的；

②当点C和点E重合时，△ABC也是等腰三角形，BC＝8，这个三角形也是唯一确定的；

③当点C在线段AE的延长线上时，即x大于BE，也就是x＞8，这时，△ABC也是唯一确定的；

综上所述，∠BAC＝45°，AB＝8，要使△ABC唯一确定，那么BC的长度x满足的条件是：x＝4或x≥8．

故答案为：x＝4或x≥8．

【点评】本题主要是考查等腰直角概念，正确理解顶点的位置是解本题的关键

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或验算步骤）

19．计算与化简

（1）|﹣1|﹣﹣（5﹣π）0+4cos45°

（2）（a+b）2﹣a（a﹣2b）

【分析】（1）先求出、（5﹣π）0、cos45°的值，再求出答案即可；

（2）先算乘法，再合并同类项即可．

【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣1+4×

＝；

（2）原式＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab

＝4ab+b2．

【点评】本题考查了整式的混合运算、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能熟练运用整式的运算法则进行化简是解（2）的关键．

20．（1）解方程：；

（2）解不等式组：．

【分析】（1）分式方程两边都乘以（x﹣2），把分式方程化为整式方程，求解，再进行检验即可；

（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【解答】解：（1）方程两边都乘以（x﹣2）得，

1＝x﹣1﹣3（x﹣2），

解得x＝2，

检验：当x＝2时，x﹣2＝2﹣2＝0，

所以，原分式方程无解；

（2），

解不等式①得，x≥﹣1，

解不等式②得，x＜2，

所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE＝CF．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，OA＝OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，OA＝OC，

∴∠OAE＝∠OCF，

在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE＝CF．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

22．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：

径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；

田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为　　；

（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．

【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，

∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；

故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，

∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

23．某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：

（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；

（2）如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．

【分析】（1）抽查人数的样本容量可由A级所占的比例40%，根据总数＝某级人数÷比例来计算；可由总数减去A、C、D、E的人数求得B级的人数，再补全条形统计图；

（2）用样本估计总体，用总人数×达到优秀的员工的百分比，就是要求的结果．

【解答】解：（1）依题意有：20÷40%＝50（人），

则这次抽样调查的样本容量为50．

50﹣20﹣5﹣8﹣5＝12（人）．

补全图①为：

；

（2）依题意有500×＝370（人）．

答：估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数为370人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．会画条形统计图．也考查了用样本估计总体．

24．阅读理解：[x]表示不大于x的最大整数，例[2.3]＝2，[﹣5.6]＝﹣6

（1）[8.2]＝　8　．[﹣]＝　﹣3　．

（2）[x]＝2的x的取值范围　2≤x＜3　．

（3）直接写出方程[2x]＝x2的解．

【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；

（2）结合题目给出[x]的定义，可以判断[x]＝2中，x与2的大小关系；

（3）结合题目给出[x]的定义，可以判断[2x]＝x2中，2x与x2的大小关系，从而列出不等式组，确定x的范围，最后求出x的值；

【解答】解：（1）小于8.2的最大整数位8，小于﹣最大的整数位﹣3；

故答案为：8；﹣3．

（2）∵：[x]表示不大于x的最大整数，

∴2≤x＜3．

故答案为：2≤x＜3．

（3）由题意可得，

解得：0≤x≤2

∵x2为整数

∴x＝0，，，2

方程[2x]＝x2的解为：0，，，2

【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．

25．已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）若DE＝2，tanC＝，求⊙O的直径．

【分析】（1）连接OD，利用D是AC中点，O是AB中点，那么OD就是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可知OD∥BC，而DE⊥BC，则∠DEC＝90°，利用平行线的性质，有∠ODE＝∠DEC＝90°，即DE是⊙O的切线；

（2）连接BD，由于AB是直径，那么∠ADB＝90°，即BD⊥AC，在△ABC中，点D是AC中点，于是BD是AC的垂直平分线，那么BA＝BC，在Rt△CDE中，DE＝2，tanC＝，可求CE＝4，再利用勾股定理可求CD＝2，同理在Rt△CDB中，CD＝2，tanC＝，可求BD＝，利用勾股定理可求BC＝5，从而可知BA＝BC＝5．

【解答】（1）证明：连接OD．

∵D为AC中点，O为AB中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∴∠ODE＝∠DEC＝90°，

∴OD⊥DE于点D，

∴DE为⊙O的切线；

（2）解：连接DB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴DB⊥AC，

∴∠CDB＝90°

∵D为AC中点，

∴AB＝BC，

在Rt△DEC中，

∵DE＝2，tanC＝，

∴EC＝，

由勾股定理得：DC＝，

在Rt△DCB中，BD＝，

由勾股定理得：BC＝5，

∴AB＝BC＝5，

∴⊙O的直径为5．

【点评】本题主要是作出合适的辅助线．利用了三角形中位线的判定和性质、平行线的性质、切线的判定、直径所对的圆周角等于90°、三角函数值、勾股定理．

26．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）

【分析】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据题意列出方程，解方程即可；

（2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件．根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果；

（3）设生产成本为W元，根据题意得出W是a的一次函数，即可得出结果．

【解答】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，

依题意得：，

解得：；

答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．

（2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件．

依题意得：

解得：38≤a≤40；

∵a的值为非负整数，

∴a＝38、39、40；

答：共有如下三种方案：

方案1、A产品22个，B产品38个，

方案2、A产品21个，B产品39个，

方案1、A产品20个，B产品40个；

（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．理由如下：

设生产成本为W元，则W与a的关系式为：

W＝（25×4+35×1+40）（60﹣a）+（35×3+25×3+50）a＝55a+10 500，

即W是a的一次函数，

∵k＝55＞0

∴W随a增大而增大

∴当a＝38时，总成本最低；

即生产A产品22件，B产品38件成本最低．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用；根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组、一次函数关系式是解决问题的关键．

27．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．

（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；

求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；

解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；

（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B＝PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°．

【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，

∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，

∴AE＝PE＝×＝1，

∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

∴AB＝＝．

②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，

可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．

∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°

∴PP′＝PA＝2，

∴PD＝P′B＝＝＝；

解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的

延长线交PB于G．

在Rt△AEG中，

可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．

在Rt△PFG中，

可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．

在Rt△PDF中，可得，

PD＝＝＝．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°

得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，

∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，

且P、D两点落在直线AB的两侧，

∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）

此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．

此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．

【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置．

28．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN＝AC＝3．设点M的横坐标为x，则求出MN＝|x2﹣4x|；解方程|x2﹣4x|＝3，求出x的值，即点M横坐标的值；

（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S＝﹣（t﹣1）2+；当t＝1时，s有最大值为．

【解答】解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx．

∴，

解得，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y＝kx，将D（3，1）代入，

求得k＝，

∴直线OD解析式为y＝x．

设点M的横坐标为x，则M（x， x），N（x，﹣ x2+x），

∴MN＝|yM﹣yN|＝|x﹣（﹣x2+x）|＝|x2﹣4x|．

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN＝AC＝3．

∴|x2﹣4x|＝3．

若x2﹣4x＝3，整理得：4x2﹣12x﹣9＝0，

解得：x＝或x＝；

若x2﹣4x＝﹣3，整理得：4x2﹣12x+9＝0，

解得：x＝．

∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直线OC的解析式为y＝3x，直线OD的解析式为y＝x．

如解答图所示，

设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．

设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；

设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），

则图中AF＝t，F（1+t，0），Q（1+t， +t），C′（1+t，3﹣t）．

设直线O′C′的解析式为y＝3x+b，

将C′（1+t，3﹣t）代入得：b＝﹣4t，

∴直线O′C′的解析式为y＝3x﹣4t．

∴E（t，0）．

联立y＝3x﹣4t与y＝x，解得x＝t，

∴P（t， t）．

过点P作PG⊥x轴于点G，则PG＝t．

∴S＝S△OFQ﹣S△OEP＝OF•FQ﹣OE•PG

＝（1+t）（+t）﹣•t•t

＝﹣（t﹣1）2+

当t＝1时，S有最大值为．

∴S的最大值为．

【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN＝AC＝3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．