2014-2015学年云南省红河州蒙自一中高一(下)开学数学试卷 Word版含解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1．已知集合A={1，2，3}．则满足A∪B=A的非空集合B的个数是（　　）

　    A． 1    B． 2    C． 7    D． 8

2．直线x﹣y=0的倾斜角为（　　）

　    A． 30°    B． 60°    C． 120°    D． 150°

3．函数f（x）=x3﹣2的零点所在的区间是（　　）

　    A． （﹣2，0）    B． （0，1）    C． （1，2）    D． （2，3）

4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

　    A． y=x+1    B． y=﹣x3    C． y=    D． y=x|x|

5．已知函数，则的值是（　　）

　    A．     B． 9    C． ﹣9    D． ﹣

6．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（　　）

　    A．     B． 8π    C．     D． 4π

7．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（　　）

　    A． 若m⊂β，α⊥β，则m⊥α    B． 若m∥α，m⊥β，则α⊥β

　    C． 若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ    D． 若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β

8．有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（　　）

　    A． 12cm2    B． 15πcm2    C． 24πcm2    D． 36πcm2

9．过点M（2，1）的直线与X轴，Y轴分别交于P，Q两点，且|MP|=|MQ|，则L的方程是（　　）

　    A． x﹣2y+3=0    B． 2x﹣y﹣3=0    C． 2x+y﹣5=0    D． x+2y﹣4=0

10．设a=0.76，b=70.6，c=log60.7，则（　　）

　    A． a＞b＞c    B． b＞a＞c    C． c＞b＞a    D． b＞c＞a

11．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（　　）

　    A． 90°    B． 45°    C． 60°    D． 30°

12．已知x0是函数f（x）=2x+2011x﹣2012的一个零点．若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（　　）

　    A． f（x1）＜0，f（x2）＜0    B． f（x1）＞0，f（x2）＞0    C． f（x1）＞0，f（x2）＜0    D． f（x1）＜0，f（x2）＞0

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是　　　　　　．

14．函数f（x）=+的定义域为　　　　　　．

15．在斜二测投影下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是　　　　　　．

16．已知下列四个命题：

①函数f（x）=2x满足：对任意x1、x2∈R且x1≠x2都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]；

②函数f（x）=log2（x+），g（x）=1+不都是奇函数；

③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=﹣2；

④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1，

其中正确命题的序号是　　　　　　．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.）

17．设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．

（1）求a的值及集合A、B；

（2）设全集U=A∪B，求（∁UA）∪（∁UB）的所有子集．

18．已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求直线l'的方程，使得：

（1）l'与l平行，且过点（﹣1，3）；

（2）l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．

19．如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD中点．现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．

（Ⅰ）若点F为BC中点，证明：EF∥平面PCD；

（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCD．

20．设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤﹣1时，f（x）=x+b，且f（x）的图象经过点（﹣2，0），又在y=f（x）的图象中，有一部分是顶点为（0，2），且过（﹣1，1）的一段抛物线．

（1）试求出f（x）的表达式；

（2）求出f（x）值域．

21．如图，有一块半径为2a（a＞0）的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．记AD长为x，梯形周长为y．

（Ⅰ）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；

（Ⅱ）由于钢板有特殊需要，要求CD长不小于，在此条件下，求梯形周长y的最大值．

22．已知函数f（x）在R上满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2．

（1）求f（0）、f（3）的值；

（2）判定f（x）的单调性；

（3）若f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6对任意x恒成立，求实数a的取值范围．

2014-2015学年云南省红河州蒙自一中高一（下）开学数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1．已知集合A={1，2，3}．则满足A∪B=A的非空集合B的个数是（　　）

　    A． 1    B． 2    C． 7    D． 8

考点：    并集及其运算．

专题：    集合．

分析：    由已知集合A求出集合A的所有子集，然后根据题意求出满足A∪B=A的非空集合B的个数．

解答：    解：由集合A={1，2，3}，

则集合A的所有子集为：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．

∵A∪B=A的非空集合B的个数，

∴∅不合题意应舍去．

故满足A∪B=A的非空集合B的个数是7个．

故选：C．

点评：    本题考查了并集及其运算，考查了集合子集的求法，是基础题．

2．直线x﹣y=0的倾斜角为（　　）

　    A． 30°    B． 60°    C． 120°    D． 150°

考点：    直线的倾斜角．

专题：    直线与圆．

分析：    利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．

解答：    解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．

∴tanθ=，

∴θ=60°，

故选：B．

点评：    本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．

3．函数f（x）=x3﹣2的零点所在的区间是（　　）

　    A． （﹣2，0）    B． （0，1）    C． （1，2）    D． （2，3）

考点：    函数零点的判定定理．

专题：    函数的性质及应用．

分析：    据要求函数的零点，使得函数等于0，解出自变量x的值，在四个选项中找出零点所在的区间，得到结果．

解答：    解：要求y=x3﹣2的零点，

只要使得x3﹣2=0，

∴x=，（1，2）

∴函数的零点位于（1，2）

故选：C．

点评：    本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是使得函数等于0，解出结果，因为所给的函数比较简单，能够直接做出结果．

4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

　    A． y=x+1    B． y=﹣x3    C． y=    D． y=x|x|

考点：    函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

专题：    函数的性质及应用．

分析：    根据奇函数的定义，导数符号和函数单调性的关系，反比例函数的单调性，二次函数的单调性即可找出正确选项．

解答：    解：A．该函数不是奇函数，所以该选项错误；

B．y′=﹣3x2≤0，所以该函数是减函数，所以该选项错误；

C．该函数是反比例函数，该函数在（﹣∞，0），（0，+∞）单调递增，所以在定义域{x|x=0}上不具有单调性，所以该选项错误；

D．容易判断该函数是奇函数，，根据二次函数的单调性x2在[0，+∞）是增函数，﹣x2在（﹣∞，0）上是增函数，所以函数y在R上是增函数，所以该选项正确．

故选D．

点评：    考查奇函数的定义，y=﹣x3的单调性，反比例函数的单调性，分段函数的单调性，以及二次函数的单调性．

5．已知函数，则的值是（　　）

　    A．     B． 9    C． ﹣9    D． ﹣

考点：    函数的值．

分析：    由已知条件利用分段函数的性质求解．

解答：    解：∵，

∴f（）==﹣2，

∴=3﹣2=．

故答案为：．

故选：A．

点评：    本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

6．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（　　）

　    A．     B． 8π    C．     D． 4π

考点：    球的体积和表面积；球面距离及相关计算．

专题：    计算题．

分析：    求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．

解答：    解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1

球的半径为：R=

所以球的表面积：4πR2=4π×=8π

故选B．

点评：    本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．

7．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（　　）

　    A． 若m⊂β，α⊥β，则m⊥α    B． 若m∥α，m⊥β，则α⊥β

　    C． 若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ    D． 若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β

考点：    空间中直线与平面之间的位置关系．

专题：    空间位置关系与距离．

分析：    根据线面平行的性质定理，线面垂直的第二判定定理，面面垂直的判定定理，可判断B中结论正确，而由空间点线面关系的几何特征，可判断其它结论均不一定成立．

解答：    解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的关系不确定，故A错误；

若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，进而由面面垂直的判定定理得到α⊥β，故B正确；

若α⊥β，α⊥γ，则β与γ关系不确定，故C错误；

若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交（此时交线与m，n均平行），故D错误；

故选：B

点评：    本题考查平面的基本性质和推论，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

8．有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位cm），则该几何体的表面积为（　　）

　    A． 12cm2    B． 15πcm2    C． 24πcm2    D． 36πcm2

考点：    由三视图求面积、体积．

专题：    计算题．

分析：    由该几何体的三视图，我们易得到该几何体为圆锥，且该圆锥的底面直径为6，圆锥的母线长为5，由已知中的数据我们易求出底面积和侧面积，进而得到该几何体的表面积．

解答：    解：由几何体的三视图，我们可得：

底面直径为6，底面半径为3

圆锥的母线长为5，

故几何体的表面积S=S底面积+S侧面积=32•π+3•π•5=24π

故选：C

点评：    本题考查的知识点是由三视图求面积，由三视图中的数据求出底面半径，进而求出底面面积和侧面积是解答本题的关键．

9．过点M（2，1）的直线与X轴，Y轴分别交于P，Q两点，且|MP|=|MQ|，则L的方程是（　　）

　    A． x﹣2y+3=0    B． 2x﹣y﹣3=0    C． 2x+y﹣5=0    D． x+2y﹣4=0

考点：    直线的截距式方程．

专题：    计算题．

分析：    由题意知M点为PQ的中点，进而得出点P和Q的坐标，然后根据截距式求出方程即可．

解答：    解：设P（a，0），Q（0，b）

∵|MP|=|MQ|，M=（2，1）

∴M点为PQ的中点，

则P（4，0），Q（0，2）

∴即x+2y﹣4=0

故选：D．

点评：    本题主要考查用截距式求直线方程，属于基础题．

10．设a=0.76，b=70.6，c=log60.7，则（　　）

　    A． a＞b＞c    B． b＞a＞c    C． c＞b＞a    D． b＞c＞a

考点：    对数值大小的比较．

专题：    函数的性质及应用．

分析：    利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小．

解答：    解：∵70.6＞70=1，0＜0.76＜0.70=1，log60.7＜log61=0，

∴b＞a＞c．

故选：B

点评：    本题考查了指数函数，对数函数的单调性，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．

11．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（　　）

　    A． 90°    B． 45°    C． 60°    D． 30°

考点：    异面直线及其所成的角．

专题：    计算题．

分析：    设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得GF∥AB，GE∥CD，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案．

解答：    解：设G为AD的中点，连接GF，GE，

则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．

∴GF∥AB，且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，

则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数

又EF⊥AB，GF∥AB，

∴EF⊥GF

则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°

∴在直角△GEF中，sin∠GEF=

∴∠GEF=30°．

故选D．

点评：    本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用三角形中位线定理，得到GF∥AB，GE∥CD，进而得到∠GFE即为EF与CD所成的角，是解答本题的关键

12．已知x0是函数f（x）=2x+2011x﹣2012的一个零点．若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），则（　　）

　    A． f（x1）＜0，f（x2）＜0    B． f（x1）＞0，f（x2）＞0    C． f（x1）＞0，f（x2）＜0    D． f（x1）＜0，f（x2）＞0

考点：    函数的零点．

专题：    函数的性质及应用．

分析：    利用x0是函数f（x）=2x+2011x﹣2012的一个零点，由f（x）=2x+2011x﹣2012=0，得到2x=﹣2011x+2012，做出函数y=2x和y=﹣2011x+2012的图象，利用图象进行判断．

解答：    解：由f（x）=2x+2011x﹣2012=0，得到2x=﹣2011x+2012，

设y=f（x）=2x和y=g（x）=﹣2011x+2012，作出两个函数的图象如图：

由图象可知当x∈（0，x0）时，g（x）＞f（x），

当x∈（x0，+∞）时g（x）＜f（x），

所以f（x1）＜0，f（x2）＞0．

故选D．

点评：    本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是　a≤﹣3　．

考点：    函数单调性的性质．

专题：    计算题；数形结合．

分析：    求出函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，令1﹣a≥4，即可解出a的取值范围．

解答：    解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=﹣=1﹣a，

又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3．

故答案为a≤﹣3

点评：    考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．

14．函数f（x）=+的定义域为　[﹣1，2）U（2，+∞）　．

考点：    函数的定义域及其求法．

专题：    计算题．

分析：    根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．

解答：    解：根据题意：

解得：x≥﹣1且x≠2

∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）

故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）

点评：    本题主要考查定义域的求法，这里主要考查了分式函数和根式函数两类．

15．在斜二测投影下，四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是　8　．

考点：    斜二测法画直观图．

专题：    计算题；作图题．

分析：    根据斜二测画法的规则还原出原图性，应为直角梯形，利用梯形的面积公式求解即可．也可利用直观图和原图面积的联系求解．

解答：    解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则AE=BF=ADcos45°=1，

∴CD=EF=3．将原图复原（如图），

则原四边形应为直角梯形，∠A=90°，AB=5，CD=3，AD=2，

∴S四边形ABCD=•（5+3）•2=8．

故答案为：8．

点评：    本题考查斜二测画法的理解和应用，考查作图能力．

16．已知下列四个命题：

①函数f（x）=2x满足：对任意x1、x2∈R且x1≠x2都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]；

②函数f（x）=log2（x+），g（x）=1+不都是奇函数；

③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=﹣2；

④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1，

其中正确命题的序号是　①③④　．

考点：    命题的真假判断与应用．

专题：    综合题；简易逻辑．

分析：    对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答：    解：①函数f（x）=2x是凹函数，对任意x1、x2∈R且x1≠x2都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]成立，故正确；

②f（x）+f（﹣x）=log2（x+）+log2（﹣x+）=0，∴f（x）=log2（x+）是奇函数，故②不正确；

③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），则f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=f（x），∴f（7）=f（﹣1），

∵f（﹣1）=﹣f（1）且f（1）=2，∴f（7）=﹣2，正确；

④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1，

∵|logax|=k（a＞0，a≠1），∴logax=±k，∴x1=ak，x2=a﹣k，则x1x2=ak•a﹣k=a0=1，∴命题正确；

所以，正确命题的序号是：①③④

故答案为：①③④．

点评：    本题通过命题真假的判定，考查了函数单调的性质与图象的变换以及方程的知识，是容易出错的题目．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.）

17．设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．

（1）求a的值及集合A、B；

（2）设全集U=A∪B，求（∁UA）∪（∁UB）的所有子集．

考点：    交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算．

专题：    计算题．

分析：    （1）根据题意，A∩B={2}；有2∈A，即2是2x2+ax+2=0的根，代入可得a=﹣5，进而分别代入并解2x2+ax+2=0与x2+3x+2a=0可得A、B；

（2）根据题意，U=A∪B，由（1）可得A、B；可得全集U，进而可得CUA、CUB，由并集的定义可得（CUA）∪（CUB）；进而由子集的概念可得其所有子集．

解答：    解：（1）∵A∩B={2}，

∴2∈A，

∴8+2a+2=0，

∴a=﹣5

；

B={2，﹣5}

（2）U=A∪B=，

∴CUA={﹣5}，CUB=

∴（CUA）∪（CUB）=

∴（CUA）∪（CUB）的所有子集为：∅，{﹣5}，{}，{﹣5，}．

点评：    本题考查交并补的混合运算，注意（2）问要求写出（CUA）∪（CUB）的所有子集，要按照子集的定义，按一定的顺序，做到不重不漏．

18．已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求直线l'的方程，使得：

（1）l'与l平行，且过点（﹣1，3）；

（2）l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．

考点：    直线的点斜式方程．

专题：    计算题．

分析：    （1）根据平行直线的斜率相等，先求出斜率，点斜式求得直线方程．

（2）根据垂直关系求出直线的斜率，得到它在坐标轴上的截距，根据与两坐标轴围成的三角形面积为4 求出截距，即得直线方程．

解答：    解：（1）∵直线l的方程为3x+4y﹣12=0

∴直线l斜率为﹣

∵l'与l平行

∴直线l'斜率为﹣

∴直线l'的方程为y﹣3=﹣（x+1）即3x+4y﹣9=0

（2）∵l′⊥l，∴kl′=． 

设l′在x轴上截距为b，则l′在y轴上截距为﹣b，

由题意可知，S=|b|•|﹣b|=4，∴b=±．

∴直线l′：y=x+，或y=x﹣．

点评：    本题考查两直线平行和垂直的性质，两平行直线的斜率相等，两垂直直线的斜率之积等于﹣1，属于基础题．

19．如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD中点．现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如图2．

（Ⅰ）若点F为BC中点，证明：EF∥平面PCD；

（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCD．

考点：    平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

专题：    空间位置关系与距离．

分析：    （Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥CD，由此能证明EF∥平面PCD．

（Ⅱ） 由已知条件推导出平面PBD⊥平面BCD，由此得到CD⊥PB，从而推导出PB⊥平面PCD，由此能证明平面PBC⊥平面PCD．

解答：    解：（Ⅰ）在△BCD中，点E、F分别为BD、BC的中点，

∴EF∥CD…（2分）

又EF⊄平面PCDCD⊂平面PCD

∴EF∥平面PCD．…（4分）

（Ⅱ） 在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，

∴CD⊥BD，…（6分）

∵平面PBD⊥平面BCD，

且平面PBD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，

∴CD⊥平面PBD…（7分）

∴CD⊥PB…（9分）

∵PB⊥PD  PD∩CD=D

∴PB⊥平面PCD…（10分）

又PB⊂平面PBC

∴平面PBC⊥平面PCD．…（12分）

点评：    本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．

20．设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤﹣1时，f（x）=x+b，且f（x）的图象经过点（﹣2，0），又在y=f（x）的图象中，有一部分是顶点为（0，2），且过（﹣1，1）的一段抛物线．

（1）试求出f（x）的表达式；

（2）求出f（x）值域．

考点：    函数奇偶性的性质．

专题：    计算题；函数的性质及应用．

分析：    （1）由题意知，x≤﹣1时，用点斜式求得，x≥1时用偶函数求得，﹣1＜x＜1时，用待定系数法求得函数的解析式即可；

（2）分别求出f（x）各段的值域，最后求并集即可．

解答：    解：（1）经过点（﹣2，0），斜率为1的射线：y=x+2，（x≤﹣1）

抛物线过（﹣1，1）和（0，2）

由于f（x）为定义在R上的偶函数，令y=ax2+c，

则有a+c=1，c=2，

得y=﹣x2+2，（﹣1＜x＜1）

又函数在R上是偶函数

所以x≥1时，射线经过（2，0）且斜率为﹣1，

即y=﹣x+2，（x≥1）

所以f（x）=．

（2）当x≤﹣1时，f（x）=x+2∈（﹣∞，1]，

当﹣1＜x＜1时，f（x）=2﹣x2∈（1，2]，

当x≥1时，f（x）=2﹣x∈（﹣∞，1]，

综上可得，f（x）∈（﹣∞，2]

则f（x）的值域为：（﹣∞，2]．

点评：    本题主要考查分段函数及函数的图象、函数奇偶性的应用、函数的值域，待定系数法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．

21．如图，有一块半径为2a（a＞0）的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．记AD长为x，梯形周长为y．

（Ⅰ）求y关于x的函数解析式，并求出定义域；

（Ⅱ）由于钢板有特殊需要，要求CD长不小于，在此条件下，求梯形周长y的最大值．

考点：    基本不等式在最值问题中的应用．

专题：    应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：    （Ⅰ）作DE⊥AB，由直角三角形的射影定理，可得AE的长，进而得到CD，令CD＞0，可得x的范围，再由y=AB+BC+CD+DA，可得函数的解析式；

（Ⅱ）运用二次函数的配方，求得对称轴，由CD长不小于，可得0＜x≤a，由单调性可得y的最大值．

解答：    解：（Ⅰ）如图，作DE⊥AB，

由已知得：，

又AD=x，AB=4a，∴，

∴，

∴，

又AD=x＞0，，，

∴0＜x＜2a，

所求函数为：；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

又，

∴0＜x≤a，

又，

区间（0，a]为增区间，

∴x=a时，．

点评：    本题考查二次函数的应用题，主要考查函数的解析式和最值的求法，属于中档题．

22．已知函数f（x）在R上满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（1）=2．

（1）求f（0）、f（3）的值；

（2）判定f（x）的单调性；

（3）若f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6对任意x恒成立，求实数a的取值范围．

考点：    抽象函数及其应用．

专题：    函数的性质及应用．

分析：    （1）令x=y=0，可得f（0）=0，再令x=y=1，可得f（2）=4，再x=2，y=1，则有f（3）=6，

（2）用定义判定f（x）的单调性；

（3）利用f（x）的单调性，原不等式转化为4x+2×2x+3＞a恒成立，构造函数g（x）=4x+2×2x+3=（2x+1）2+2，求出函数最值即可．

解答：    解：（1）∵对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0，则有f（0）=f（0）+f（0），

∴f（0）=0，

令x=y=1，则有f（2）=f（1）+f（1），

∴f（2）=4，

令x=2，y=1，则有f（3）=f（2）+f（1），

∴f（3）=6；

（2）任取x1，x2∈R，设x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，又x＞0时，f（x）＞0，

则有f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）是R上的增函数；

（3）f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6恒成立，

由已知及（1）即为f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞f（3）恒成立

∵f（x）是R上的增函数，

∴4x﹣a+6+2x+1＞3恒成立，即4x+2×2x+3＞a恒成立，

令g（x）=4x+2×2x+3=（2x+1）2+2

∵2x＞0，

∴g（x）＞3，

∴a≤3，

即实数a的取值范围为（﹣∞，3]

点评：    本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定以及应用问题，是中档题．