专题 代数推理之二次函数

【专题解读】本专题是以含参二次函数为主线，考查二次函数的图像与性质，与一元二次方程、一元二次不等式的关系，用待定系数法求二次函数表达式等基本知识点，着重呈现了反映二次函数的解析性质和二次函数与几何图形相结合的问题，深度剖析了参数在试题中的作用，从解析性质和图形特征两个视角分析了确定参数的思路，其中用代数式表达线段，结合图形性质确定参数的值是不变的思考，转化、分类、数形结合仍是最主要的数学思想方法．

【思维索引】

例1．如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（    ）

A．①②④            B．①②⑤            C．②③④            D．③④⑤

例2．已知二次函数的图象是，求关于成中心对称的的函数表达式．

例3．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点．在上述条件下，连接并延长交轴于，若，求二次函数的表达式．

例4．已知抛物线．

（1）证明：该抛物线与轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与轴的两个交点分别为，（点在点的右侧），与轴交于点，，，三点都在上．

①试判断：不论取任何正数，是否经过轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点关于直线的对称点为点，点，连接，，，的周长记为，的半径记为，求的值．

【素养提升】

1．若二次函数的图象经过点，则关于的方程的实数根为（    ）

A．，        B．，   C．，       D．，

2．如图是二次函数的图象，则下列结论错误的是                        （    ）

A．它的图象与轴有两个交点                B．方程的两根之积为

C．它的图象的对称轴在轴的右侧            D．时，随的增大而减小

3．已知二次函数开口向上，对称轴是平行于轴且经过点的直线，与轴的一个交点是，则不等式的解为(    )                                     

A．             B．    

C．且       D．或

4．二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 (   )                                                            

A．        B．        C．        D．2

    （第2题图）               （第4题图）

5．二次函数的顶点为，其图象与轴有两个交点，，交轴于点，以下说法：①；②当时，；③当时，抛物线上存在点（与不重合），使得是顶角为的等腰三角形；④抛物线上存在点，当为直角三角形时，有．正确的是                        （    ）

A．①②     B．③④    C．①②③    D．①②③④

6．若二次函数的图象的顶点在第一象限，则的取值范围是__     ____．

7．若点P坐标为，点P随着m的变化在某一个函数图象上运动，则该函数的表达式为___               _．

8．当取任意实数时，抛物线都经过一个定点，则该点的坐标为______．

9．已知二次函数的图象与轴于A、B两点，与轴交于点C，并且△ABC的面积为2，则m的值为______．

10．已知点为坐标原点，抛物线的顶点为，与轴的两个交点为，，其中点在点的右侧，若为等腰直角三角形，则的值为______．

11．如图，以为圆心的交轴于、两点（其中在的左侧），交轴于、两点，且．

（1）求、两点的坐标；

（2）已知为轴负半轴上一动点，为上一动点，当与相切时，若恰好为等腰直角三角形，试求过点、、三点的抛物线的函数表达式．

12．如图，以原点为圆心、3为半径的圆与轴分别交于、两点（点在点的右边），是半径上一点，过且垂直于的直线与分别交于、两点（点在点的上方），直线、交于点，若．

（1）求点的坐标；

（2）求过点和点，且顶点在直线上的抛物线的函数表达式．

13．已知：如图，一次函数的图像经过点，与轴交于点．点在线段上，且．过点作轴的垂线，垂足为点．若．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知以开口向下、以直线为对称轴的抛物线经过点，它的顶点为．若过点且垂直于的直线与轴的交点为，求这条抛物线的函数表达式．

14．正方形，，，，，抛物线（为常数），顶点为．

（1）抛物线经过定点坐标是__    ____，顶点的坐标（用的代数式表示）是___     ___；

（2）若抛物线（为常数）与正方形的边有交点，求的取值范围；

（3）若时，求的值．

15．如图，抛物线的顶点为，与轴的正半轴交于点．

（1）将抛物线上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；

（2）将抛物线上的点变为，变换后得到的抛物线记作，抛物线的顶点为，点在抛物线上，满足，且．

①当时，求的值；

②当时，请你直接写出的值，不必说明理由．