高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题

1、已知向量、满足，，，则              ．

2、设，则              ． 

3、曲面在点处的切平面方程为                  　　         ．

4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数

在处收敛于           ，在处收敛于        ．

5、设为连接与两点的直线段，则           ．

※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．

二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

1、求曲线在点处的切线及法平面方程．

2、求由曲面及所围成的立体体积．

3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

4、设，其中具有二阶连续偏导数，求．

5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部．

三、（本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 

（本题满分10分）

计算曲线积分，

其中为常数，为由点至原点的上半圆周．

四、（本题满分10分）

求幂级数的收敛域及和函数．

五、（本题满分10分）

计算曲面积分，

其中为曲面的上侧．

六、（本题满分6分）

设为连续函数，，，其中是由曲面与所围成的闭区域，求 ．

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备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；

不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】

参考解答与评分标准               2009年6月

一、填空题【每小题4分，共20分】 1、； 2、；3、； 4、3，0； 5、.

二、试解下列各题【每小题7分，共35分】

1、解：方程两边对求导，得， 从而，…………..【4】

该曲线在处的切向量为…………..【5】

故所求的切线方程为………………..【6】

法平面方程为  即 ……..【7】

２、解：，该立体在面上的投影区域为．…..【2】

故所求的体积为……..【7】

３、解：由，知级数发散…………………【3】 

又,.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

４、解：，     …………………………………【3】

【7】

５、解：的方程为，在面上的投影区域为．

又，…..………【３】

故..【7】

三、【9分】解：设为该椭圆上的任一点，则点到原点的距离为……【1】

令，

则由，解得，．于是得到两个可能极值点

…………………【7】

又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故 ……【9】

四、【10分】 解：记与直线段所围成的闭区域为，则由格林公式，得

．………………【5】

而…………【8】

     ………………………【10】

五、【10分】解：，收敛区间为 …………【2】

又当时，级数成为，发散；当时，级数成为，收敛．……【4】

故该幂级数的收敛域为………【5】

令（），则

, () ……【8】

于是，（）………………….【10】

六、【10分】解：取为的下侧，记与所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有………….… 【5】

    …………………….…【7】

而….… 【9】

…………………….… 【10】

七、【6分】解：….… 【2】

….… 【4】

故 【6】