2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(八省联考)数学试题(解析版)

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知,M N 均为R 的子集，且R M N ⊆ð，则()M N ⋃=R ð（

）A.∅

B.M

C.N

D.R 【答案】B

【解析】

【分析】

由题意利用集合的包含关系或者画出Venn 图，结合Venn 图即可确定集合的运算结果.

【详解】解法一：R M N ⊆ ð,R M N ∴⊇ð，据此可得()R M N M ∴= ð.

故选：B.

解法二：如图所示，设矩形ABCD 表示全集R ，

矩形区域ABHE 表示集合M ，则矩形区域CDEH 表示集合R M ð，

矩形区域CDFG 表示集合N ，满足R M N ⊆ð，

结合图形可得：()

R M N M = ð.

故选：B.

2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（

）A.1

6 B.1

3 C.1

2 D.2

3

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.

【详解】设三位同学分别为,,A B C ，他们的学号分别为1,2,3，

用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如()1,3,2表示A 同学拿到1号，B 同学拿到3号，C 同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，

其中满足题意的结果有()()()1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162

p =

=.故选：C.

【点睛】方法点睛：

有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．

(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．

(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

3.关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

【答案】A

【解析】

【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20x ax b ++=的两根，进而可得出结论.

【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的一根为3，

由于两根之和为2，则该方程的另一根为1-，两根异号，合乎题意；

若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x =是方程20x ax b ++=的一根，

由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；

若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；

若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x 的方程20x ax b ++=的两根为1和3，

两根之和为4，不合乎题意.

综上所述，甲命题为假命题.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.

4.椭圆()2222101x y m m m

+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（）

A.1

B.

C.

D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

分析出12F AF 为等边三角形，可得出2a c =，进而可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.

【详解】在椭圆()22

22101x y m m m

+=>+中，a =，b m =，1c ==，如下图所示：

因为椭圆()22

22101x y m m m

+=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123

F AF π∠=Q ，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =2122m a c +===，因此，3m =.

故选：C.

5.已知单位向量,a b 满足0a b ⋅= ，若向量72c b =+ ，则sin ,a c 〈〉= （

）A.7

3 B.2

3 C.7

9 D.2

9

【答案】B

【解析】

【分析】本题借助cos ,a c a c a c

⋅〈〉=⋅ 将72c b =+ 代入化简即可.【详解】因为,a b 是单位向量，所以1a b ==r r .因为72c a b =+ ，所以()2227272723c a b a b a b =+=++ .所以()2727277cos ,3a a b a c a a b a c a c

a c a c c ⋅+⋅+⋅〈〉====⋅⋅⋅ 所以272sin ,133a c ⎛⎫〈〉=-= ⎪ ⎪⎝⎭

.

故选：B.

6.()()()239111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是（

）A.60

B.80

C.84

D.120【答案】D

【解析】

【分析】

()()()239

111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++ ，借助组合公式：11m m m n n n C C C -++=，逐一计算即可.

【详解】()()()239111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是2222

2349

C C C C ++++ 因为11m m m n n n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=，以此类推，2222323234999101098120321

C C C C C C C ⨯⨯++++=+==

=⨯⨯ .故选：D.

【点睛】本题关键点在于使用组合公式：11m m m n n n C C C -++=，以达到简化运算的作用.7.已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，

直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为（）

A.210x y ++=

B.30

x y ++=C.2630

x y ++= D.320x y ++=【答案】B

【解析】

【分析】

先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线AB ，AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程.

【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，

设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则

圆心()2,0

到切线的距离1d ==

，解得k =

，如图，直线):22AB y x -=-，

直线):22AC y x -=-

.

联立)2222y x y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩

，得(

)2314160x x ++-，故16833A B x x -=，由2A x =得8433B x -=，故2363

B y -=，

联立)2222y x y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩

，得(

)2314160x x -++=，

故163A C x x +=，由2A x =

得83C x +=

，故63

C y --=，故2362333

B C y y ---+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知，直线BC 的斜率为

22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，

故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎝⎭

，即30x y ++=.故选：B.

【点睛】方法点睛：

求圆的切线的方程的求法：

（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.

8.已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（

）A.c b a

<< B.b c a << C.a c b << D.a b c <<【答案】D

【解析】

【分析】

令(),0x

e f x x x

=>，利用导数研究其单调性后可得,,a b c 的大小.【详解】因为5e 5e ,5a a a =<，故0a >，同理0,0b c >>，

令(),0x

e f x x x =>，则()()21x e x f x x

-'=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，

故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，

因为5e 5e ,5a

a a =<，故5e e 5a

a =，即()()5f f a =，而05a <<，故01a <<，同理01

b <<，01

c <<，()()4f f b =，()()

3f f c =因为()()()543f f f <<，故()()()f a f b f c <<，

所以01a b c <<<<.

故选：D ．

【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知函数()ln(1)f x x x =+，则（

）A.()f x 在(0,)+∞单调递增

B .()f x 有两个零点

C.曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫--

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

处切线的斜率为1ln 2--D.()f x 是偶函数

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数的定义域可判断D ，利用函数的导数的正负可判断A ，利用导数的几何意义可判断C ，根据函数值的情况及零点定义可判断B.

【详解】由()ln(1)f x x x =+知函数的定义域为(1,)-+∞，

)ln(1)1(x x f x

x =+'++，当(0,)x ∈+∞时，ln(1)0,01x x x

+>>+，()0f x '∴>，故()f x 在(0,)+∞单调递增，A 正确；

由(0)0f =，当10x -<<时，ln(1)0,()ln(1)0x f x x x +<=+>，

当ln(1)0,()0x f x +>>，所以()f x 只有0一个零点，B 错误；令12x =-，1)ln 1ln 2121(2f =-=---'，故曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

处切线的斜率为1ln 2--，C 正确；

由函数的定义域为(1,)-+∞，不关于原点对称知，()f x 不是偶函数，D 错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.

10.设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（）

A.若23z z =，则23

z z =± B.若1213z z z z =，则23z z =C.若23z z =，则1213

z z z z = D.若2

121z z z =，则12z z =【答案】BC

【解析】

【分析】

取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.【详解】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，因为10z ≠，所以230z z -=，即23z z =，B 正确；因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2

121z z z =，但12z z ≠，D 错误.

故选：BC

11.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A.//AE CD

B.//CH BE

C.DG BH

⊥ D.BG DE

⊥【答案】BCD

【解析】

【分析】

由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，

由图形可知，

AE CD ⊥，故A 错误；

由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确；

因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HC BC C = ,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C 正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确.

故选：BCD

12.设函数cos 2()2sin cos x f x x x =+，则（）

A.()()f x f x π=+

B.()f x 的最大值为

12C.()f x 在,04π⎛⎫-

⎪⎝⎭单调递增 D.()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭

单调递减【答案】AD

【解析】

【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误．

【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos x f x x x

=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x x f x f x x x x x ππππ++=

==++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2x y x

=+，

则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=

+，其中

cos ϕϕ==

1≤即2415y ≤，故2152151515

y -≤≤，当21515y =时，有151cos ,sin 44

ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 21515y =

，故B 错误．

()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'=

=++，当0,4x π⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭

为减函数，故D 正确．当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<，因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈-

⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭

上为增函数，故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭

有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确．

故选：AD

【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．

【答案】61π

【解析】

【分析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.

【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，

如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高2222''543OO OQ O Q =-=-，据此可得圆台的体积：()22135544613V ππ=

⨯⨯+⨯+=.故答案为：61π.

【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积.

14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．

【答案】(1).13(2).3-【解析】

【分析】

先设对角线的倾斜角θ，利用斜率定义列关系tan 2θ=，结合正方形性质求得直线OA 与直线OB 的倾斜角，计算正切值求斜率即可.

【详解】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，

设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，

由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，

故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒=

==+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【点睛】方法点睛：

求直线斜率的方法：

（1）定义式：倾斜角为θ，对应斜率为tan θk =；

（2）两点式：已知两点坐标()()1122,,,A x y B x y ，则过两点的直线的斜率2121AB y y k x x -=

-.15.写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________．

【答案】()sin f x x

π=【解析】

【分析】

根据奇函数性质可考虑正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠，再利用周期计算ω，选择一个作答即可.

【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数()sin f x A x ω=，()0A ≠，

满足()sin ()f x x f x ω-=-=-，即是奇函数；根据最小正周期22T π

ω==，可得ωπ=.

故函数可以是()sin f x A x π=()0A ≠中任一个，可取()sin f x x π=.

故答案为：()sin f x x π=.

16.对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差

2~0,n N n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭

，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．

【答案】32

【解析】

【分析】

因为2~0,n N n ε⎛

⎫ ⎪⎝⎭，得到0μ=，σ=n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-，得到不等式计算即可.

【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，

则()()2,20.5,0.5μσμσ-+⊂-且0μ=，σ=

所以0.532n ≥⇒≥.故答案为：32.【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从2~0,n N n ε⎛

⎫ ⎪⎝⎭

读出所需信息.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+．

（1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列；

（2）若1213,22

a a ==，求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）1

32

n n a -=（n +∈N ）【解析】

【分析】

（1）两边同时加上1n a +即可得到数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）利用待定系数法构造

()21133n n n n a a k a a --+-=-，通过整理解出1k =-，进而得到()21133n n n n a a a a +++-=--，所以{}n a 是以112

a =为首项，3为公比的等比数列，即可得到答案.【详解】（1）由2123n n n a a a ++=+可得：()

2111333n n n n n n a a a a a a +++++=+=+因为各项都为正数，所以120a a +>，

所以{}1n n a a ++是公比为3的等比数列.

（2）构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，整理得：()2133n n n

a k a ka ++=+-所以1k =-，即()

21133n n n n a a a a +++-=--所以11303n n n n a a a a ++-=⇒=，所以{}n a 是以112

a =为首项，3为公比的等比数列.所以1

32

n n a -=（n +∈N ）【点睛】本题关键点在于第（2）问中的待定构造，能够根据特征，构造出()21133n n n n a a k a a +-+-=-是关键.

18.在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===．

（1）若32

AB =，求BC ；（2）若2AB BC =，求cos BDC ∠．

【答案】（1）BC =

；（2）cos 1BDC ∠=.【解析】

【分析】

（1）利用余弦定理计算得出cos ABD ∠，进而可得出cos BDC ∠，然后在BCD △中，利用余弦定理可计算出BC ；

（2）设BC x =，利用余弦定理结合BDC ABD ∠=∠可得出关于x 的方程，进而可解得x 的值，即可求得cos BDC ∠.

【详解】（1）在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24

AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，//CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，

在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2

BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，22BC =；（2）设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，2222

4cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x

+-∠===⋅，在BCD △中，2222

2cos 22

BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，即2

22

x x -=，整理可得2220x x +-=，因为0x >，解得31x =

-，因此，cos cos 31BDC ABD x ∠=∠==.

【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

19.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互．

（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；

（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望．

【答案】(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6E X =.

【解析】

【分析】

(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；

(2)首先确定X 可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可.

【详解】(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ，由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===.

部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：

()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.

(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.

且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦

()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，

()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3

+⨯⨯0.398=，

()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()

1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3

+⨯⨯0.092=.

()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，

故X 的分布列为：X 0

123()P X 0.5040.3980.0920.006

其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6

E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.

【点睛】思路点晴：

求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：

（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率；

（2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；

（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望.

20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．

刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3

π，所以正四面体在各顶点的曲率为233

πππ-⨯=，故其总曲率为4π．

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．

【答案】（1）4π；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++= ，按照公式计算总曲率即可.

【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.

可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.

所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，

则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.

（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2

n l m -+=设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l

+++= 所以总曲率为：

()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦

()

222n l m ππ=--()24n l m ππ

=-+=所以这类多面体的总曲率是常数.

【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键．

21.双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．

（1）求C 的离心率；

（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠．

【答案】（1）2；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件可得2

b a

c a

=+，据此可求离心率.（2）设()00,B x y ，则00tan y BFA x c ∠=--，00tan y BAF x a

∠=+，再计算tan 2BAF ∠，利用点在双曲线上化简后可得tan 2tan BAF BFA ∠=∠，从而可得结论成立.

【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝

⎭，因为||||AF BF =，故2

b a

c a

=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =.

（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>.

因为2e =，故2c a =，b =，

故渐近线方程为：y =，所以0,3BAF π⎛

⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭

，又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a

∠=+，所以()()()()0000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a

BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

()()

()

()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭002tan y BFA x a

=-=∠-，因为故220,

3BAF π⎛

⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故BFA ∠2BAF =∠.

【点睛】方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到,,a b c 一组等量关系（齐次式）.（2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式.

22.已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．

（1）证明：当54

x π>-时，()0f x ；（2）若()2g x ax +，求a ．

【答案】(1)证明见解析；(2)2a =.

【解析】

【分析】

(1)由题意分类讨论当4

5,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，[)0,x ∈+∞，几种情况即可证得题中的结论.(2)观察(1)中的结论，首先讨论54

x π>-

时a 的取值，然后验证当54x π-时不等式成立即可求得实数a 的值.

【详解】(1)分类讨论：

①.当4 5,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()04x f x e x π⎛⎫=-+> ⎪⎝

⎭；②.当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

时，()()cos sin ,00x f x e x x f ''=-+=，()

sin cos 04x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝

⎭，则函数()f x '在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭

上单调增，则()()00f x f ''<=，则函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭

上单调减，则()()00f x f >=；③.当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=，

当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥，故函数()H x 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=，即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，

从而函数()sin cos 1x x

f x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1x y e '=-，

当0x ≥时，0y '≥，故1x y e x =--在[)0,+∞单调递增，

故函数的最小值为0

min 010y e =--=，

从而：10x e x --≥.

从而函数()sin cos 10x x f x e x x e x =--≥--≥；综上可得，题中的结论成立.

(2)当54

x π>-时，令()()2sin cos 2x h x g x ax e x x ax =--=++--﹐

则()cos sin x

h x e x x a '=+--，()()0h x f x ''=>，故()h x '单调递增，当 2a >时，

()

020h a '=-<，()()()ln 22ln 204h a a π⎡⎤'+=-+->⎢⎥⎣

⎦，()()10,ln 2x a ∃∈+使得()10h x '=，

当10x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，()()00h x h <=不符合题意;当2a <时，()00h '>，若在5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

上，总有()0h x '≥（不恒为零），则()h x 在5,4π⎛⎫-

+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，但()00h =，故当5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

时，()0h x <，不合题意．故在5,04x π⎛⎫∈-

⎪⎝⎭上，()0h x '<有解，故25,04x π⎛∃∈⎫- ⎪⎝⎭

，使得()20h x '=，且当20x x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，故当()2,0x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意;故2a <不符合题意，

当a =2时，()cos sin 2x

h x e x x '=+--，由于()h x '单调递增，()00h '=，故：

504

x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减;0x >时，()()0,h x h x '>单调递增，

此时()()00h x h ≥=﹔

当54x π-时，()5sin cos 220202x h x e x x x π=++--≥-->，综上可得，a =2.

【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求岀最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.