北师大版高中数学必修1-知识点总结

第一章集合与函数概念

【】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法

…

表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.

（4）集合的表示法

     ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

：

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等   

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

【】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

交换律：

结合律:

分配律:

}

0-1律：

等幂律：

求补律：A∩  A∪=U   

反演律：(A∩B)=(A)∪(B)   (A∪B)=(A)∩(B)

第二章函数

§1函数的概念及其表示

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一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的      元素，在集合B中都有           元素和它对应，这样的对应叫做          到        的映射，记作                   .

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的        叫做象，         叫做原象。

二、函数

1．定义：设A、B是      ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的          ，记作                  .

2．函数的三要素为     、     、     ，两个函数当且仅当        分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有      、       、      。

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§2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式          的集合.

2．常见的三种题型确定定义域：

① 已知函数的解析式，就是             .

② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的        域是外函数f (x)的         域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得           有意义的自变量的取值集合.

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二、值域：

1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值         的集合.

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑           ，取决于            ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为           法和         法）

例如：① 形如y＝，可采用          法；② y＝，可采用       法或       法；③ y＝a[f (x)]2＋bf (x)＋c，可采用        法；④ y＝x－，可采用          法；⑤ y＝x－，可采用        法；⑥ y＝可采用        法等.

§3函数的单调性

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一、单调性

1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为         .

2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：①       ；②       ；③       .

(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若              ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若            ，则f (x)在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x)        函数；

/

2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为          ；

3．互为反函数的两个函数有         的单调性；

4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为         ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为         .

5．奇函数在其对称区间上的单调性       ，偶函数在其对称区间上的单调性          .

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：

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① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有           ，则称f (x)为奇函数；若            ，则称f (x)为偶函数.  如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有           . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x)                         .

② 简单性质：

1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于       对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于       对称.

2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于         对称.

2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为         ；

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期                  

第三章　指数函数和对数函数

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§1　正整数指数函数

§2　指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数

函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．

2．分数指数幂

(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝；

(2)正分数指数幂写成根式形式：＝(a>0)；

*

(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；

(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)aman＝________(a>0)；

(2)(am)n＝________(a>0)；

(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．

§3　指数函数(一)

1．指数函数的概念

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一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．

2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质

1．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：

(1)loga(MN)＝________________；

）

(2)loga＝________；

(3)logaMn＝__________(n∈R)．

2．对数换底公式

logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)；

特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．

§5　对数函数(一)

1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数. 

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2．对数函数的图像与性质

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．

第四章　函数应用

§1　函数与方程

　利用函数性质判定方程解的存在

2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．

3．方程f(x)＝0有实数根

⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________

⇔函数y＝f(x)有________．

4．函数零点的存在性的判定方法

如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

　利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念

每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________．

2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)

(1)确定区间[a，b]，使____________．

(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.

(3)计算f(x1)．

①若f(x1)＝0，则________________；

②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；

③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．

(4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．